2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末考试数学试题(解析版)

1、1沈阳市郊联体 2020-2021 学年度高一上学期期末考试试题数学考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分注意事项：本试卷由第I卷和第U卷组成第I卷为选择题，一律答在答题卡上；第U卷为非选择题，按 要求答在答题纸的相应位置上第I卷（选择题 60 分）一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，计 40 分）1已知向量a 1,2，b 6,k，若a/b，则k（）A. -12B. 12C. 3D. -32. 疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家 人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流

2、，也可缓解压力、休息大脑.经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响.现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100 名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A. 30B. 70C.80D. 1003. 从装有大小和形状完全相同的8 个红球和 2 个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A.“至少一个白球”和“都是红球”B.“至少一个白球”和“至少一个红球”C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D.“恰有一个白球”和

3、“都是红球”4. 在同一直角坐标系中，函数f（X）xax 0，g（x） logax的图像可能是（）1J1LJ11IIV人(l. J-o1KO卜X0z1JtQ卜X22A.-1-B.-1C.-1iD.-1-35.函数f(x) In x 1的零点所在的大致区间是()xA.0,1B.1,2C.2,e0 136已知a 3.,b 0.9,c Iog20.2，则()7.某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001 , 002, 003899, 900.若采

4、用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第个 数 开 始 ， 从 左 向 右 依 次 读 取 数 据 ， 每 次 读 取 三 位 随 机 数 ， 一 行 读 数 用 完 之 后 接 下 一 行 左 端75%分位数为( )05 26 93 70 6022 35 85 58 5151 03 51 59 7759 56 78 06 8352 91 05 70 7407 97 10 88 2309 98 42 99 6461 71 62 99 1506 51 29 16 9358 05 77 09 5151 26 87 85 8554 87 66 47 5473 32 08 11 12

5、44 95 92 63 1629 56 24 29 48A. 680B. 585C. 467D. 1598.区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256 比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5 1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为(参考数据

6、lg2 0.3010,lg3 0.477)A.4.5 1073秒B.4.5 1065秒C.4.5 107秒D. 28 秒二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题 5 分，计 20 分）9.在疫情防护知识竞赛中，对某校的 2000 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100, 60 分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）D.3,4A.a b cB.b c aC.c baD.c a b900 名考.则样本编号的24A. 成绩在70,80的考生人数最多B

7、. 不及格的考生人数为500C. 考生竞赛成绩的众数为75 分D. 考生竞赛成绩的中位数约为75 分10.下列有关向量命题， 不正确的是(A若a,b是平面向量的一组基底，则B.a，b，c均为非零向量，若a/b，b/c，则a/cC.若a/b，则存在唯一的实数，使得a bD.若a 1，b 6，则a bi的取值范围5,711.已知函数f(x) 4xx2a，下列命题正确的有()A. 对于任意实数a，f(x)为偶函数B. 对于任意实数a，f(x) 0C. 存在实数a，f (x)在，1上单调递减D. 存在实数a，使得关于x的不等式f(x) 5的解集为，1 U 1,12.直角三角形ABC中，P是斜边BC上一

8、点，且满足BP 2PC，点M、N在过点P的直线上，若AMmAB,ANnAC, (m0,n 0),则下列结论正确的是()A.1-为常数B.m 2n的最小值为 3mn)a 2b, a 2b也是平面向量的一组基底频率5C.m n的最小值为16D.m、n的值可以为:1m,n292第U卷(非选择题)三、填空题(本大题共 4 个小题每小题 5 分，共 20 分)13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100 分)的茎6屮乙S 976 46 5 28 1 1 J6 491 1 6上的奇函数，当x 0时，f(x) x22x，若x f(x)则x的取值范围是_x22x

9、 1(x 0)x-ix x3x4，贝U_a的最小值是，_x4x1x2162的最大值是X3x4四、解答题：本大题共 6 个小题.共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.甲、 乙二人独立破译同一密码， 甲破译密码的概率为 密码，事件B:乙破译密码.(I)求甲、乙二人都破译密码的概率；(n)求恰有一人破译密码的概率；(川)某同学在解答“求密码被破译的概率”的过程如下:0.8，乙破译密码的概率为 0.7，记事件A:甲破译解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为使p是q的必要非充分条件的m的取值范围.19.工厂质检员从生产线上每半个小

10、时抽取一件产品并对其某个质量指标 品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则X y的值为14.已知y f(x)是定义在，0 U 0,15.求值：2log2128327lg100(、 、2 1)lg116.已知函数f (x)log1x(x 0)，若方程f (x) a有四个不同的解x-i，x2，x3，x4，且18.B，所以P(A B)已知集合.1x一4P(A) P(B)0.8 0.7 1.5请指出该同学错误的原因？并给出正确解答过程x x22mx m210,Cx| x m(I)若m2， 求集合ADB；

11、(n)在B,C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题A，命题q:x，求Y进行检测，一共抽取了36 件产Y有关，具体见表.7质量指标Y9.8,10.210.2,10.610.6,11.0频数61812年内所需维护次数201(I)每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数)(H)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标至少有一个在10.2,10.6内的概率；(川)已知该厂产品的维护费用为200 元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50 元，该产品即可一年内免费维

12、修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这 36 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？1-20.如图，在 OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足AP AB,Q是OB中点.3(I)若O 0,0,A 1,3,B8,0，且ONOA,求NQ的坐标和模?33(n)若AQ与OP的交点为M，又OM tOP，求实数t的值21.已知函数axf (x) log33 x log3(常数a R).9(I)当a0时，求不等式f (x)0的解集；(n)当x1,27时

13、，求f (x)的最小值.922.已知函数f (x)log2x a a 0当点M x, y在函数y g(x)图象上运动时，对应的点N 3x,2y在函数y f(x)图象上运动，则称函数y g(x)是函数yf(x)的相关函数(I)解关于x的不等式f (x)1；(n)对任意的x 0,1,f(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围;8(川)设函数F(x) f (x) g(x)，x 0,1当a 1时，求F(x)的最大值.沈阳市郊联体 2020 - 2021 学年第一学期期末测试高一数学试卷标准答案一、【单项选择题】1-5: ABDDB6-8: CAB【详细解答】1、由题意，因为a 1,2,b

14、6,k，且a/b，所以k 12，故选 A ；2、 因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70%,所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取100 70% 70人，故选 B ;3、A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件；B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都 是白球”事件，故不是对立事件

15、；可知只有D 正确；a4、函数y x x 0与y logax x 0,选项 A 中没有幕函数图像；选项 B 中yxax 0中a 1,ylogax x0中0 a1，不符合；选项 C 中yxx 0中0 a 1,y logaxx0中a 1，不符合；选项 D 中yxx 0中0a1,y logaxx0中0 a 1，符合，故选 D ；25、 考察零点的存在性定理，由于f (x) ln(x 1)，可知f (x)在0,单调递增，x依次带入数值：f 1 ln 2 2 0,f 2 ln3 1 0，可知存在xo1,2，使得f x00.故选 B ；(n)对任意的x 0,1,f(x)的图象总在其相关函数图象的下方，求a

16、的取值范围;96、a 30.1301,0(0.9)31,c log20.2 log210,所以c b a，故选 C.107、由已知，从第一行的第5 个数开始，即从数字“ 9 开始，每次选取三位数进行抽取：937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，易V除），151（保留），035（保留）,159 （保留），775 （保留），956 （超范围，剔除），780 （保留）故留下的 8 个编号为：060, 223, 585, 151 , 035, 159, 775, 780,按从小到大的顺序进行排序为：035, 060, 151 , 159, 223, 585

17、, 775, 780,585775因为数据的个数为 8,而且8 75% 6，所以样本编号的75%分位数为680，故选 A2&设这台机器破译密码所需时间大约为x秒，贝y x 2.5 10112256,两边同时取以 10 为底的对数可得：lg x 2.5 1011lg 2256,即lgx 1 2lg 2 11 256lg 2 lg x 258lg 2 12 65.658, 可得x 1065.6581065100.658，又Ig4.5 lg92lg3 lg 2 0.653,2所以100.658可以近似表示为 4.5，故x 4.5 1065，故选 B二、【多项选择题】9、AC10、AC 11、

18、ACD 12、ABD【详细解答】9、由频率分布直方图可知，成绩在70,80的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故A 正确;成绩在40,60的频率为0.005 10 0.015 100.2，故不及格的人数为2000 0.2 400，故 B 不正确；成绩在70,80的频率最大，故众数为 75,故 C 正确；成绩在40,70的频率和为 0.4,所以中位数为70 100173.33，故 D 错误；故选 AC0.3I-I-10、由基底向量的概念，a 2b a 2b，两向量平行，不能做基底，故A 错误；由于a,b,c均为非零向量，所以a/b,b/c，贝y a一定平行于c,B正确；若a/b，使得a

19、b, 要强调b 0, C错误；由定义可知，D 选项正确.故选不正确的为 AC.11、函数f (x)4%x2a,f （x），故函数f （x）为偶函数故选项 A 正确.对于选项 B :当x 0时a2时,x 0，故选项 B 错误.对于选项 A :由于x R，且f x11对于选项 C:由于函数f X的图象关于y轴对称，在X 0时，函数为单调递增函数，在x 0时，函数为单调递减函数，故f (x)在，1上单调递减，故选项C正确.对于选项 D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x 0时，函数为单调递增函数，在x 0时，函数为单调递减函数，故存在实数a 0时,使得关于x的不等式f(x) 5的解集为，1 U 1,

20、，故选项D 正确故选 ACD.12、P是斜边BC上一点，且满足BP2PC， 贝U APAB -AC ,3若AMmAB,AN nAC，贝U AP1 AM3m2AN,3n又由P、N三点共线，则丄3m21 ,3n1可得-m对于 B ,当且仅当对于 C,当且仅当2n2m故丄-为常数,m nA 正确;2nm，2m2n1时等号成立，则2m时等号成立，故 C 错误;2m 2n：n mm1,n 2，满足-3，此时M2m n当对于 D ,13、1314、,2 U 2,【写成x15、-316、1 ; 4【第一空 2 分,【详细解答】13、由题意可得79 78 82 80 x 852n的最小值为3，故 B 正确;为

21、AB的中点，C为AN的中点,2或x 2或集合也给满分】第二空 3 分】鱼旦戲86 x 8故logo.5X3logo.5X4log0.5X3X40，故X3X41,12883 y 5，所以x y 13.14、由题意画图，L /7当x 2时，f(x) 0,故x f(x) 0成立；当0 x 2时，f(x) 0,故x f(x)0不成立;1 944故答案为x 0时，f (x)0,故x f (x)0不成立;2时，f (x)0, 故x f (x)0成立;综上,x的取值范围是:15、2log24827lg1100C-2 1)lg12x1(x0)f 02x1，f 12，故a的取值范围是X4，故f (x)的图像与y

22、 a有四个不同的交点,又由图,又由图可知,1 x1x22，1,2，故a的最小值是 1.lOg0.5X3log0.5x4，3.-3.13所以P(AB) P(A)P(B) 0.8 0.7(n)事件“恰有一人破译密码”可表示为AB AB，且AB，AB互斥，所以P AB AB P AB P AB P A P B P A P B0.2 0.7 0.8 0.3 0.38.(川)错误原因：事件A,B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，可以表示为ABAB AB，且AB，AB，AB两两互斥，所以P ABABAB PAB P ABP AB

23、PAPB P A P B P A P B0.2 0.70.8 0.3 0.80.7 0.94.【注意】记C“甲、 乙二.人中至少有人破译密码”所以P C1P AB 1P A P B1 0.20.30.94.18、【解析】(I)由已知，将m 2代入x22mx m21 0,可得X24X30,解得1 X 3，即B X|1 X 3.故XX1X22X3X42X4X4又当a1时，lOg0.5X41X416故X42,4又y2x4在X42当a2,4X424.2四、【解答题】【详细答案】2时,log0.5X42 X417、 【解析】(I)由题意可知P(A)0.8,P(B)0.7事件“甲、乙二人都破译密码”可表示

24、为时为减函数，故当X42时,，且事件A,B相互独立,2X416取最大值X4AB，0.56；故logo.5X3logo.5X4log0.5X3X40，故X3X41,14又Ax12x8Ax22_ x_322A x2x3,4所以ADBx 1 x3.(n)若选B由x22mx2m10，得x(m 1)x (m 1)0,.m 1xm1, .Bx| m1 x m1,由p是q的必要非充分条件，得集合B是集合A的真子集,m 12m 1 3，解得1 m 2,若选 C :由x m 2，得m 2 x m 2,C x| m 2 x m2,解得0 m 1.19、【解析】解：(I)指标Y的平均值为：-10 6 10.4 18

25、 10.8 12376.8“一Y10.47.3636(n)由分层抽样方法知：先抽取的 6 件产品中， 指标Y在9.8,10.2的有 1 件， 记为A, 在10.2,10.6的有 3 件， 记为B1,B2,B3， 在10.6,11.0的有 2 件，记为 G ,C?,从 6 件中随机抽取 2 件，共有 15 个基本事件分别为：A,B|,A, B2,A,B3,AC1,A,C2,B1,B2,Bl,B3,B1, C1,B1,C2,B2,B3,B2, C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,其中满足条件的基本事件有12 个，分别为：由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子集,A,Bl

26、,A,B2,A,B3,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1, C2,B2,B3,B2,C1B2,C215B3, C1,B3,C2所以这 2 件产品的指标至少有一个在10.2,10.6内的概率为：16因为AP13所以OPOA1OB OA，可以化简为：OP2OA OB,333又OMtOP, 所以OM tOP t212t OA -OBOAOB3333不妨再设AMAQ，即OM OAOQ OAOM1OA OQ,1由Q是OB的中点，所以OQ OB,2即OM1OA OB2r 124P.155（川）设每件产品的售价为x元，假设这 36 件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为:1400s （36

27、x 6 400 12 200） x（元），363假设这 36 件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为:1250s 36（x 50）6 200 xx363所以该服务值得消费者购买.4003.12 分解：（I）根据题意,Q是OB中点，即OQ1 1 严，又ON -OA，且A1,3,B訐，41可知OQ -,0,ON ,1 NQ OQ ON 1, 1,33且NQ、:1212.2.17由，可得12ttt 3.3234【注意】若学生在处理0MtOPt -OAOB2tOA-OB2tOA OQ，333333直接由A，M，Q三点共线， 即22t1t3扣除 2分，若能证明共线的条件，则不扣分33421、【解析】解: (I)当a 0时，f(x) log3X gx 2,由f (x)0得f(x) log3x log3x 2,所以f(x) 0的解集为x 1 x 9log3x a log3x 22log3x (a 2) log3X 2a.1令u log3x，因为x , 27，所以u 2,3,91