求二次函数解析式的几种方法

1、沁乐教育沁心学习乐在其中2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用学校:姓名：二次函数的图象与基本性质(一)、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】2y=axy=ax2+k,.、2y=a(xh)y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c开口方向顶点对称轴最值增减性【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】(1) a决定抛物线的开口方向：a>0,开口向;a<0,开口向(2) c决定抛物线与的位置：c>0,图像与y轴的交点在;c=0,图像与y轴的交点在;c<0,图像与y轴的交点在;(3) a,b决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：;(4) =b24ac决

2、定抛物线与交点情况：0与x轴有两个交点=b2-4acoWx轴有一个交点0与x轴没有交点【知识点三：二次函数的平移】设m0,n0,将二次函数yax2向右平移m个单位得到；向左平移m个单位得到;向上平移n个单位得到；向下平移n个单位得到。简单总结为,。(注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作)【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数yax2bxc(a0),当y0时，即变为一元二次方程22axbxc0(a0),从图象上来说，二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴的交点的横坐标x的值就是方程ax2bxc0(a0)的根。【知识点五：二次函数解析式的求法】(1) 知抛物

3、线三点，可以选用一般式：yax2bxc,把三点代入表达式列三元一次方程组求解；(2) 知抛物线顶点或对称轴、最大(小)值可选用顶点式：ya(xh)2k；其中抛物线顶点是(h,k)；(3)知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)可选用交点式：ya(xxi)(xx?),特别：此时抛物线的对称轴为直线1 ,、x-(xix2)2(二)、感悟与实践例1:(1)求二次函数y=x24x+1的顶点坐标和对称轴.(2)已知二次函数y=-2x2-8x-6,当时，y随x的增大而增大;当x=时，y有值是.变式练习1-1:二次函数y=x2+mx中，当x=3时，函数值最大，求其最大值.例2：已知二次函数yax

4、2bxc(a0)的图象如图1所示，则有：(1) a0,b0,c0(2) b24ac0(3) a+b+c0(4) a-b+c031-变式练习2-1：已知二次函数y=ax，bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=-1,给出下列结果：b2>4ac;abc>0;2a+b=0;a+b+c>0;a-b+cv0,则正确的结论是()A、B、C、D、变式练习2-2：已知二次函数yax2bxc的图像如图3所示，那么一次函数ybxc和a反比例函数ya在同一平面直角坐标系中的图像大致是()CD例3:(2012?广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A.y=x

5、2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)变式练习3-1:(2012泰安)将抛物线y3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A.y3(x2)23B.y3(x2)23C. y 3( x 2)2 3D. y 3(x 2)2 3例4:二次函数 yx2 2x k的部分图象如图4所示，则关于 x的一元二次方程2x 2x k 0的一个解x1 3,另一个解x2=()A、 1 B、1C、 2D、 0图4px q ( p 0)的图象与x轴变式练习5-1:(2009广州25)如图6,二次函数yx2交于A、B两点，与y轴交于点C(0,1),zABC的面积为5.4(

6、1)求该二次函数的关系式；二次函数的性质的综合应用1，例1.已知抛物线y12x-x2(或yx22x3)2(1) 把它配方成ya(xh)2k的形式；(2) 写出抛物线的开口方向，顶点M的坐标、对称轴方程;(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值(4)当-2<xW1时，求函数y的最值4)当1<x<4时，求函数y的取值范围；(6)求出与y轴交点N的坐标及与x轴的交点P,Q的坐标(点P在点Q的左边)7)作出函数的大致图像8当x取何值时，函数值y随x增大而增大，y随x值的增大而减小；(9)图像过点A(2,0)、B(0,y2)、C(6,D(4,y,)比较y,y2yy,的大小1

7、0)观察图象，当x取何值时，y0，y0，y0；11)当x取何值时，y<2;(12)求PQM的面积。13)求四边形PQMN的面积22例2.已知抛物线yx2kxkk2，根据下列条件，求k的值。(1) 抛物线过原点；(2) 顶点在x轴上；(3) 顶点在y轴上；(4) 顶点在y轴左侧；(5) 当x=-1时，函数有最小值；(6) 关于直线x=-1对称;(7) 函数y的值恒大于0;(8) 顶点在x轴上方;(9) 抛物线在x轴上截得的线段长为1;8.如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是

8、否存在点Q,使彳QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点巳使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC勺面积最大值.若没有，请说明理由.二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立

9、平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1.二次函数在没有范围条件下的最值：2.12009四月调考】某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。(1)请写出每月售出书包的利润y(元)与每个书包涨价x(元)间的函数关系式；(2)设某月的利润为10000元，

10、此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；(3)请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于6000元？3 .某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%&每个月的利润不低于2250元？三、前期投入，亏损、盈利型4 .【2011年四月】杰瑞公司成立之初投资1

11、500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本60元。按规定，该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件，该产品销售量y(万件)与产品售价x(元)之间的函数关系如图所示。(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利达1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。四、面积有关问题5 .【2010年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长

12、为30米的篱笆围成。已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；苗圃园(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象,直接写出x的取值范围。五、二次函数与建模(高频型)6.R2015调考要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m.(1)建立适当的平面直角坐标系.，使水管顶端的坐标为(0,2.2

13、5),水柱的最高点的坐标为R(1,3),求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式(不要求写取值范围)；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m,最内轨道的半径为rm,其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？六、细节变化、陷阱题9.中百超市每天购进一种水产品300千克，其进货成本(含运输费)是每千克3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过10元，一天内没有销售完的水产品只能按2元处理给食品深加工公司

14、，而且这种水产品每天的损耗率是10%根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y>0)与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：960 元？(1)求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；(2)根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元?(3)请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于【巩固练习】A组：1.二次函数y=x2-2x-6的图象开口方向,顶点坐标是,对称轴yx4x2、抛物线2与x轴的一个交点的坐标为(1,0),则它与x轴的另一个交点的坐标是,一一23、二次函数y=(x1)2的图像的对称轴是直线.24、抛物线y=2x-bx+3的对

15、称轴是直线x=1,则b的值为;若抛物线y=a(xh)2m形状与它一样，则a=5抛物线y(x2)23的顶点坐标是()A.(2,3)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,3)26二次函数y(x1)2的最小值是().2A.2B.1C.3D.-37抛物线y2(xm)2n(m,n是常数)的顶点坐标是()A.(m,n)B.(m,n)C.(m,n)D.(m,n)8、若抛物线yax2+c的图像经过点P(m,m),则此抛物线也经过点()A(-m,n)B(m,-n)C(n,m)D(-n,m)9、二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是()A.(18)B.(18)C.(1,2)D.(1,4)210、二次函数y(x1

16、)2的图象上最低点的坐标是A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)2211、若把代数式x22x3化为xmk的形式，其中m,k为常数，则mk=.12、已知A、B是抛物线yx24x3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是.(写出一对即可)13、函数yx(23x),当x为时，函数的最大值是；.2914、若二次函数y(m1)xmx2的取大值为一，则吊数m；4B组：1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bxoC)若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的?(D.第15秒。)D.x33函数

17、y(x2)(3x）取得最大值时，x()A只有一个交点B有两个交点C没有交点D交点数不确定5.（2010台州）如图，点A,B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线ya（xm）2n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于则点D的横坐标最大值为（）C.51a象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当a0,a1,a2时二次函数的图y.二次函数应用题练习1.九五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺30间，据预测，当每间的年租金为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间

18、每年交各种费用5000元。A.第8秒2抛物线ya（x1）（x3）（a0）的对称轴是直线（A.x14、已知二次函数yax2bxc若ac0,则其图象与x轴的位置关系是C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3,A.-3B.1D.8196.如图，两条抛物线y1x21、y22于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为27.（2010株洲|）已知二次函数yx2aa1（a为常数），当a取不同的值时，其B.第10秒C.第12秒B.x1C.x312一、，一x1与分别经过点22,0,2,0且平行DxyA(1,4)B(4,4)第5题图第7题图O（1）当租金为13万元时，能租出多少间商铺?(2)当每间商铺的年

19、租金定为多少时，该公司的年收益最大?(3)若公司要求收益不低于275万元，则年租金定在什么范围?2 .一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系：y10x500.设经销商每月获得利润为w(元)(1),当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？(2)如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元?2<6 5)(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3 .如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米

20、的处飞出(在轴上)，运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.(2)足球第一次落地点距守门员多少米？(取4，37)(3)运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？(取4 .有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千

21、克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q-收购总额)?5 .随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？6 .一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式;（2） 求 支 柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是