利用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真

1、课程设计说明书 NO.1利用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真1.课程设计目的掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。2课程设计的要求与内容2.1 MATLAB介绍MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完全

2、相同的事情简捷得多.在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,c+ ,JAVA的支持.可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。2.2设计思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采

3、样信号的频谱。 在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.22.3连续信号的采样2.3.1连续信号的采样原理信号采样原理图如图1 所示： 图1 信号采样原理图由图1可见，其中，冲激采样信号的表达式为：其傅立叶变换为，其中。由于，分别为，的傅立

4、叶变换函数，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 若设是带限信号，带宽为，经过采样后的频谱就是将在频率轴上搬移至处（幅度为原频谱的倍）。因此，当时，频谱不发生混叠；而当时，频谱发生混叠。一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列的幅值调制器，即理想采样器的输出信号，是连续输入信号调制在载波上的结果，如图2所示： 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.3(a)连续时间信号 (b)取样脉冲序列 （c）取样信号图2 信号的采样 用数学表达式描述上述调制过程，则有: 理想单位脉冲序列可以表示为: 其中是出现在时刻，强度为1的单位脉冲。由于的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设 所以又可表示为： 2.

5、3.2连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。 信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：1 必须是带限信号，其频谱函数在 各处为零； 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.4取样频率不能过低，必须满足（即），或者说取样间隔不能太长，必须满足，否则将

6、会发生混叠。当采样频率时，频谱不发生混叠；而当时，频谱发生混叠。则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间以外为零的频带有限信号，可唯一的由其在均匀间隔 上的样点值所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理推出频域采样定理。一个时间受限信号，它集中在（）的时间范围内，则该信号的频谱在频域中以间隔为的冲激序列进行采样，采样后的频谱可以惟一表示原信号的重复周期，或频域间隔（其中）。采样信号的频谱是原信号频谱的周期性重复，它每隔重复出现一次。当时，不会出现混叠现象，从而能从采样信号中恢复原信号 。连续信号与采样信号()时的比较如图3所示：连续信号与采样信号()时的比较如图

7、4所示：连续信号与采样信号()时的比较如图5所示： 图3连续信号与采样信号()时的比较 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.5 图4连续信号与采样信号()时的比较 图5连续信号与采样信号()时的比较2.3.3信号采样 采样器的作用是把连续信号变为脉冲或数字序列。一连续信号f(t)经采样器采样后变为离散信号的过程如图6所示： 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.6 图6连续信号f(t)经采样器采样后变为离散信号过程2.4信号重构设信号被采样后形成的采样信号为，信号的重构是指由经过内插处理后，恢复出原来信号的过程,又称为信号恢复。若设是带限信号，带宽为，经采样后的频谱为。设采样频率，则由式（9）知

8、是以为周期的谱线。现选取一个频率特性（其中截止频率满足）的理想低通滤波器与相乘，得到的频谱即为原信号的频谱。与之对应的时域表达式为 而将及代入得此式即为用求解的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数在此起着内插函数的作用。，由时域采样定理知采样间隔，取（过采样）。利用MATLAB的抽样函数来表示，有。据此可知：通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts</wm, 该取样间隔又称为 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.7奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达

9、式为： 式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数来表示Sa(t)，有，于是，信号重构的内插公式也可表示为： * =3.课程设计的主要内容3.1详细设计过程3.1.1 Sa(t)的临界采样及重构实现程序代码：当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为临界采样。修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。Sa(t)的临界采样及重构程序代码；wm=1;%升余弦脉冲信号带宽wc=wm;

10、 %频率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率n=-100:100; %定义序列的长度是201nTs=n*Ts %采样点 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.8f=sinc(nTs/pi); %抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); %信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylab

11、el('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;程序运行运行分析与结果图程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函数生成函数Sa(t)Pi %圆周率n=-170:170; %时域采样点t=-45:Dt:45 %产生一个时间采样序列fa=f*Ts*wc/pi*sin

12、c(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t) %信号重构sinc(t1/pi) %绘制f1的非的非零样值向量plot(t,fa) %绘制fa的图形stem(t1,f1) %绘制一个二维杆图程序运行结果图如图7所示： 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.9图7的临界采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。3.1.2 Sa(t)的过采样及重构实现程序代码当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为

13、过采样.Sa(t)的过采样及重构程序代码：wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts; 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.10n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(

14、9;kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('过采样信号与原信号的误差error(t

15、)') ;程序运行运行分析与结果图程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函数生成函数Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重构信号与原信号误差 f1=sinc(t1/pi); %f1的非零样值向量 xlabel('t') %横坐标轴ylabel('fa(t)') %纵坐标轴title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)')%书写图名程序结果图如图8所示： 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.11图8的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行分析：将原始信号分别修

16、改函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指数信号e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。3.1.3 Sa(t)的欠采样及重构实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为过采样。利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。Sa(t)的欠采样及重构程序代码：wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f

17、*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.12f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号sa(t)');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t

18、9;);ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采样信号与原信号的误差error(t)');程序运行运行分析与结果图程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函数生成函数Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重构信号与原信号误差f1=sinc(t1/pi); %f

19、1的非零样值向量程序结果图如图9所示： 沈 阳 大 学课程设计说明书 NO.13 图9 的欠采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图误差分析：绝对误差error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在区域内的频谱相互“干扰”所致。3.2程序中的常见函数和功能程序中的常见函数和功能:abs( )求绝对值;sinc( ) Sa(t)函数;ones( )全1矩阵;plot( )绘图;subplot( ) 绘制子图;stem( ) 绘制离散序列数据图 。3.3设计方案优缺点3.3.1MATLAB优缺点优点：MATLAB在绘图方面提供了相当高级的函数序及程序界面，即使用户没有丰富的程序设计经验，也能够快速地得到自己想要的结果，熟练的使用MATLAB的程序员或研究人员能缩短研究开发时间，从而提高竞争力，MATLAB和其他高级语言有良好的接口，可以方便地实现与其他语言的混合编程，从而进一步扩宽MATLAB的应用潜力。缺点：MATLAB占用内存空间很大，并且会因硬盘分区是NTFS格式还是FAT格式而有差异。3.3.2程序优缺点优点：以上3个程序程序简洁而且可以较好的反映出采样、过采样、临界采样的特点。缺点：调整某些参数图型的变化非常小，无法直观看出更改后的结果。4.收获和体会经过此次MATLAB课程设计我学到了很多知识和学习方法。仅凭我在信号与系统实验课上所学的