江南中学初中数学竞赛题

1、.word格式,江南中学初中数学竞赛题2012.4班级姓名成绩、选择题(每小题7分，共42分)1 .设/3+22+33+66=&+和+Jz,且x、y、z为有理数.则xyz=().(A)3/4(B)5/6(C)7/12(D)13/182 .某次数学测验共有20道题.评分标准规定：每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是().(A)两人答对的题数一样多(B)两人答对的题数相差2(C)两人答对的题数相差4(D)以上三种情况都有可能3 .能判定四边形ABCD菱形的条件是().(A)对角线AC平分对角线BD,且ACL

2、BD(B)对角线AC平分对角线BD,且/A=/C(C)对角线AC平分对角线BD,且平分/A、ZC(D)对角线AC平分/A、/C,且/A=/C4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与直线y=k(X-1)-t.无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点.那么，抛物线4的解析式是().(A)y=x2(B)y=x2-2x(C)y=x2-2x+1(D)y=2x2-4x+25 .如图，在ABC中，ZB为直角，ZA的平分线为AR边BC上的中线为E,且点DE顺次分BC成三段的比为1：2：3.则sin/BAC=().A222.3(A)12/13(B)4.3/9(C)2.6/5(D)LA_r一4

3、a：。/.c6 .已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,P是线段AB上一点，PM/Lx轴于点M,PNLy轴于点N.则矩形OMPNT积的最大值至少为().(A)3(B)4(C)6(D)8二、填空题(每小题7分，共28分)7 .正方形ABC曲边长为5,E为边BC上一点，使得BE=3.P是对角线BD上的一点，使得PE+PC勺值最小.则PB=.8.一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000km后报废；若安装在后轮，则行驶3000km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶km.9.已知方程x2+x-1=

4、0的两个根为“、3:3 -3.则万十丁的值为10.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10cm,l是过点。的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OMi爬行，蚂蚁P到点。的距离与M到l的距离f始终相等.1分钟,专业.专注y.word格式,的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是cm.三.解答题11.（18分）某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售

5、单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）.（1）直接写出y与x之间的函数关系式.（2）求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若方损，最少万损是多少？（3）该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销

6、售单价应定为多少元？12.（16分）已知二次函数y=x2+2mx-n2.若此二次函数的图像经过点（1,1）,且记m,n+4两数中较大者为P,试求P的最小值；（2）若mn变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆,证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标专业.专注.word格式,13.（16分）实数x、y、z、w满足x>y>z>w>0,且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值参考答案1. A.两边平方得3+.2+.3+6=x+y+z+2,xy+2,yz+2xz.根据有理数x、y、z的对

7、称性，可考虑方程组x+y+z=3,2,xy=2,2yz=.3,2xz=.6.解得x=1,y=1/2,z=3/2.此时,xyz=3/4.2. D.根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、的各种可能发现：(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分；(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答(3)小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答.3. D.如图4,AC平分BD,ACLBQAC也平分/A和/C,故可排除选项(A)、(C).而选项(B)的条件只

8、能推出四边形ABC皿平行四边形，故排除选项(B).'弋I""4. C./由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得。ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由题设知，方程有两个相等的实根，则A=(b-k)2-4a(c+k+k2/4)=0,即(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因为k为任意实数，所以，抛物线的解析式为y=x2-2x+1.5. C.设BD=kAB=y,贝UDE=2x,EC=3x.由BD/DC=AB/AC彳导AC=5y.又AB"+B(C=AC2,即y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3,sinZBAC=

9、6x/5y=2V6/5.6. C.设点P的坐标为(x。，y0),矩形OMPNJ面积为S.则xo>0,y0>0,S=xy0.因为点P(xo,y0)在y=2kx+3-4k上，所以，yo=2kxo+3-4k.专业.专注故S=X0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.一一、2ec42k0-(3-4k)目口2c因止匕，S最大=,即16k-(24-8S最大)k+9=0.42k因为k为实数，贝U有A=-（24-8S最大）2-4X16X会0.故|24-8S最大|>24.解得S最大>6或S最大W0（舍去）.当S最大=6时，k=-3/4.7. 15,2/8.因为PE+PC=

10、PE+PA所以，当AP、E三点共线时，PE+PAt小.如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD：y=x,lAE:3x+5y=15.所以，P（15/8,15/8）.故PB=15«2/8.8. 3750.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k/5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k/3000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有kx + ky j5000 3000kx 4 ky.3000 5000=k.两式相加得=kx+y=3 750 (km9. .-7.

11、3 l ：,3 、工令 A=K+募 B=a由已知有a+3=-1,a3=-1.故B=(a+3)2-2a3=1+2=3.A+B=)=(a3+33)(1/a+1/3)=-4.由式、得A=-4-3=-7.10. 207t.是分别以OQ、OQ为直径的两个作l的垂线交。于点Q、Q.联 QOP.故/ OPQ=/ ONM=90.如图，以点。为圆心、10cm为半径作。.过M作MNLl于点N,过O结PQ1.则MN/OQ,/M=ZMOQ1.又因OM=OQMN=OP所以，OMN因此，点P在以OQ为直径的圆上.同理，点P在以OQ为直径的圆上.从而，蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就圆.移动的路程为

12、2X10X=20兀.11、(1)y=-2-x+28,100<x<200;25y=-x+32,200<x&300.10(2)当100<x<200时，w=xy-40y-(1520+480).将y=-x+28代入式得w=x(-x+28)-40(x+28)-2000.252525整理得w=-(x-195)2-78.25当200<xW300时，同理可得w=-(x-180)2-40.10故w=-(x-195)2-78,100WxW200;25w=-(x-180)2-40,200<x0300.10若100WxW200,当x=195时，wna)=-78;若20

13、0<xW300时，Wmax<-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元.(3)依题意可知，第二年w与x之间的函数关系式为w=(x+28)(x-40),100wxw200;25w=(x+32)(x-40),200<x<300.10当两年总利润刚好为1842万元时，依题意得(-x+28)(x-40)-78=1842,25100wx<200或(-110x+32)(x-40)-78=1842,200<x<300.解得xi=190,x2=200.故当190WxW200时，总利润不低于1842万元.由y=-2-x+28(100<x<200)

14、可知，当销售单价定为190元时，销售量最大.25212(1)由二次函数过点(1,1MHm=n/2.注意至Um-(n+4)=n2/2-(n+4)=(n-2n-8)=(n-4)(n+2),22所以，P=n2/2,nw-2或n>4;P=n+4,-2<n<4.再利用函数图像可知，当n=-2时，Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(xi,0)、B(x2,0)、C(0,-n2).又xix2=-n2,若n=0,则与三个交点不符，故xix2=-n2<0.所以，xi、x2分在原点左右两侧又|x1x2|=n2X1,所以，存在点Pb(0,1)使得|OA|OB|=|OPo|OC|.故A、曰CP0四点共圆，即这些圆必过定点Po(0,1).13.设z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c.贝Ua、b、c>0,且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3