DSP4_快速傅里叶变换

1、1第第4 4章章 快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFTFFT）4.1 概述概述4.2 时间抽取基时间抽取基 2 算法算法4.3 频率抽取基频率抽取基 2 算法算法4.4 减少运算量的措施减少运算量的措施4.5 分裂基算法分裂基算法4.6 输入、输出取少数点的简化算法输入、输出取少数点的简化算法4.7 线性调频线性调频 Z 变换变换24.14.1 概述120120)( )0,1,11( )( )0,1,1Njnk NnNjnk NkX kx n ekNx nX k enNN（Fast Fourier-TransformFFT是是DFT的快速算法，的快速算法，不是新的变换方法不是新的变换方法3直

2、接计算直接计算DFTDFT的复杂度为的复杂度为O(NO(N2 2) )计算计算DFTDFT的计算量的计算量： 每算一个每算一个X X(k)(k)，需要，需要N N次复数乘法，次复数乘法，N-1N-1次加法次加法 因此，因此，N N点点DFTDFT需要需要N N* *N N次复数乘法，次复数乘法，N(N-1)N(N-1)次复数加法次复数加法尽管预先算好并保存旋转因子尽管预先算好并保存旋转因子 可节省部分运算，可节省部分运算，但按定义求但按定义求DFT的运算量仍然很大的运算量仍然很大kNW42421,212( ):10241048576():512,262144 !x nNNx n nNNN，解决

3、耗时的乘法问题是将解决耗时的乘法问题是将DSPDSP理论用于实际的理论用于实际的关键。特别是关键。特别是4040年前，计算机的速度相当慢。年前，计算机的速度相当慢。很多学者致力于解决很多学者致力于解决DFTDFT的快速计算问题。的快速计算问题。Cooley J W, Tukey J W. An algorithm for the machine computation of complex Fourier series.Mathematics of Computation, 1965, pp297301DSP的正式开端！5FFT 的思路：的思路：10)( )0,1,1NnknX kx n Wk

4、N（2/jNWe01.1W 2.1,1NmNWW3.N rrWW24.1NW 25.NrrWW 如何充分利用这些关系,4jWNjWN43/2/2kmkkNmNNWWW6.换底换底6 经过周期性与对称性简化后经过周期性与对称性简化后, ,容易容易发现发现DFTDFT运算中存在着不必要的重运算中存在着不必要的重复计算复计算 避免这种重复避免这种重复, ,是简化运算的关键是简化运算的关键nknkWWN)(2DFTDFT的复杂度与点数的复杂度与点数N N有关！有关！7四点四点 DFT11111111(0)11(1)(2)1111(3)11xWWxxxWW0000012302460369(0)(0)(1

5、)(1)(2)(2)(3)(3)WWWWXxXWWWWxXxWWWWXxWWWW11111111(0)11(2)(1)1111(3)11xWWxxxWW16乘，乘，12加加811(0) (0)(2) (1)(3)(1) (0)(2) (1)(3)(2) (0)(2) (1)(3)(3) (0)(2) (1)(3)XxxxxXxxxxWXxxxxXxxxxW几个乘法？几个乘法？11(0)(2)xx(1)(3)xx(0)(1)XX(2)(3)XX111W(0)(2)xx(0)(2)xx(1)(3)xx(1)(3)xx94.2 4.2 时间抽取基时间抽取基 2 2 算法算法 N点点DFTN/2点点

6、DFTN/4点点 DFT 2点点 DFT 1个 2个 4个 N/2个问题是如何分最有效？可以对时间变量分问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分，也可对频率变量分(DIF）（库里（库里-图基算法）图基算法）1010/2 1/2 12(21)00)( )(2 )(21)NnknNNrkrkNNrrX kx n Wxr WxrW（令：令：0,1,2 1rN21nr2nr/2 1/2 1/2/200(2 )(21)NNrkkrkNNNrrxr WWxrW11/2 1/2 1/2/200)(2 )(21)NNrkkrkNNNrrX kxrxrWWW（( )B k0,1,/2 1

7、kN()( )( )0,1,122kNNNX kA kW B kk( )A k( )X k( )A k( )B kkNW1()2NX k ( )( )( )0,1,12kNNX kA kW B kkA(k), B(k)为为N/2点的点的DFT12/2 1/4 1/4 1/4 1/4 12(21)/2/2/2/4/2/400000/2( ) , ( )221,0,1,.,/4 1,( )(2 )(4 )(42)(4 )(42)( )( )0,.,NNNNNrklklklkklkNNNNNNrllllkNA kB krlrllNA kxr Wxl WxlWxl WWxlWC kWD kkN继续按照

8、上述方法分解，令：和则：/2/4 1/20/4 1/20/2 1/4 12/2/200/4 1(/4)( )( )0,.,/4 1( )(4 );0,1,.,/4 1/4( )(42);0,1,.,/4 1( )(21)(41)(4kNNrkNlNrkNlNNrklkNNrlA kNC kWD kkNC kxl WkNNDFTD kxlWkNB kxrWxlWxl两个点的同理：/4 1/4 1/4 1(21)/2/4/2/4000/2/2/4 1/20/23)(41)(43)( )( )0,1,.,/4 1(/4)( )( )0,.,/4 1( )(41);0,1,.,/4 1( )(43)N

9、NNlklkklkNNNNlllkNkNNrkNlrNWxlWWxlWE kWF kkNB kNE kWF kkNE kxlWkNF kxlW/4 10/4;0,1,.,/4 1NklNDFTkN两个点的13( ),( )A kB k 都是都是 N/2 点的点的 DFT，它们各自又，它们各自又可分成可分成 N/4 点的点的DFT，如此继续分下去，直至，如此继续分下去，直至两点两点DFT。两点。两点DFT不需要乘法运算：不需要乘法运算：(0)(0)(1)(1)(0)(1)XxxXxx20,1,1MNMmM对， 共可分次，即，每一级有每一级有 N/2 个如下的个如下的“蝶形蝶形”单元：单元：( )

10、mxp( )mxqrNW11( )mxp1( )mxq每分一次每分一次称一称一“级级”1411( )( )( )( )( )( )rNmmmrNmmmxpxpxq Wxqxpxq W即即: 每一个蝶形单元仅需一个复数乘法，两个复每一个蝶形单元仅需一个复数乘法，两个复数加法。数加法。p,q两点构成一个蝶形单元，并且这两两点构成一个蝶形单元，并且这两点不再参与别的蝶形单元的运算：点不再参与别的蝶形单元的运算：同址运算同址运算( )mxp( )mxqrNW11( )mxp1( )mxq15同址同址（in place）计算计算l每一级的蝶形运算的输入和输出在运算前后每一级的蝶形运算的输入和输出在运算前

11、后可以存储在同一地址的存储单元中，这种存可以存储在同一地址的存储单元中，这种存储策略称为同址计算储策略称为同址计算l同址计算可以节省存储单元，从而降低算法同址计算可以节省存储单元，从而降低算法对计算机存储容量的要求，降低了硬件实现对计算机存储容量的要求，降低了硬件实现的成本的成本16 所需运算量所需运算量：22log22logcaNNMMNMNMNN注意：注意： 因子的规律；因子的规律； 输入序列的顺序输入序列的顺序 码位倒置码位倒置rWcA第第0级级第第1级级第第2级级4组组2组组1组组17FFT算法与直接算法与直接DFT算法运算量的比较算法运算量的比较NN2计算计算量之量之比比 NN2计算

12、计算量之量之比比2414.012816 38444836.641644.025665 5361 02464.0864125.4512262 1442 304113.816256328.010241 048 5765 120204.83210288012.820484 194 30411 264372.464404919221.4NN2log2NN2log218 所需运算量所需运算量：22log22logcaNNMMNMNMNN注意：注意： 因子的规律因子的规律； 输入序列的顺序输入序列的顺序 码位倒置码位倒置rWcA第第0级级第第1级级第第2级级4组组2组组1组组19旋转因子（指数因子）旋转因

13、子（指数因子） 的确定：的确定： 随着蝶形运算在随着蝶形运算在DIT中的中的级数级数以及该级以及该级DIT节点数节点数的不同而有规律的变化的：的不同而有规律的变化的： kNWkNW级级 数数 的取值范围的取值范围 重复组数重复组数 第第0级级 第第1级级 第第2级级 第第m-1级级 第第M-1级级 1kNW0NW2/N0NW4/NNW4/N0NW0NW0NW8/NNW8/2NNW8/3NNWmNNW2/mNNW2/mNNW2/2mNNW2/2mmNNW2/) 12(112/NNW8/NmN 2/)log(2NM 20 所需运算量所需运算量：22log22logcaNNMMNMNMNN注意：注意

14、： 因子的规律；因子的规律； 输入序列的顺序输入序列的顺序 码位倒置码位倒置rWcA第第0级级第第1级级第第2级级4组组2组组1组组21( )nx n( )X kk0 000 000 0 100 001 1 010 010 2 110 011 3 001 100 4 101 101 5 011 110 67 111 111 7码位倒置（倒读，码位倒置（倒读，倒位序）：倒位序）：是指按二进制表是指按二进制表示的数字首尾位示的数字首尾位置颠倒，重新按置颠倒，重新按十进制读数十进制读数22倒位序的树状图（倒位序的树状图（N=8） 第一次分组观察最低位第一次分组观察最低位n023)0(x)4(x)2(

15、x)6(x) 1 (x)5(x)3(x)7(x)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(XDIT-FFT运算流程图运算流程图)0(2x) 1 (2x)2(2x)3(2x)4(2x)5(2x)6(2x)7(2x)0( 1x) 1 ( 1x)2( 1x)3( 1x)4( 1x)5( 1x)6( 1x)7( 1x组（群）组（群）mpq224DIT-FFT算法流程算法流程 全部计算分解为全部计算分解为M级，或称为级，或称为M次迭代次迭代 输入序列输入序列x(n)按码位倒置顺序排列，输出序按码位倒置顺序排列，输出序列列X(k)按自然顺序排列按自然顺序排列 每级都包含每级都包含N/

16、2个蝶形单元个蝶形单元 每级的若干蝶形单元组成每级的若干蝶形单元组成“组（或称群）组（或称群）”。第第0级群数为级群数为N/2，第，第1级群数为级群数为N/4，第第i级群数为级群数为N/2i+1，最后一级的群数为，最后一级的群数为1 每个蝶形单元都包含乘每个蝶形单元都包含乘W与加、减法各一次与加、减法各一次 同一级中，各个群的同一级中，各个群的W分布规律分布规律完全相同完全相同254.3 4.3 频率抽取基频率抽取基 2 2 算法算法/2 110/2/2 1/2 1/200/2 10)( )( )( )(/2) ( )( 1)(/2)NNnknkNNnn NNNnknkNkNNNnnNnkkN

17、nX kx nx nx nx nNx nx nNWWWW WW （2 ,210,1,2 1krkrrN令：（Sande-Tukey算法）算法）26/2 1/20/2 1/20(2 ) ( )(/2)(21) ( )(/2)NnrNnNnrNnXrx nx nNnXrx nx nNNWWW/2 1/20/2 1/20(2 )( )(21)( )NnrNnNnrNnXrg nXrh nWW各是各是 N/2 点的点的 DFT( )g n( )h n（换底）（换底）27( )( )(/2)( ) ( )(/2)nNg nx nx nNh nx nx nNW0,1,2Nn (0)x(0)h(0)g(1)

18、x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(1)g(2)g(3)g(1)h(2)h(3)h111138W28W18W08W28将将 分解：分解： Decimation In Time, DIT 时间抽取时间抽取将将 分解：分解： Decimation In Freq. ,DIF 频率抽取频率抽取nk/2 1/20/2 1/20(2 )( )(21)( )NnrNnNnrNnXrg nXrh nWW各是各是 N/2 点的点的 DFT继续分解，直到两点继续分解，直到两点DFT DFT 注意注意 DIT DIT 和和 DIF DIF 的对偶性质的对偶性质29DIT分解规则：分解规则：规则规则

19、1 对时间进行偶奇分；对时间进行偶奇分；规则规则2 对频率进行前后分。对频率进行前后分。DIF分解规则：分解规则：规则规则1 对时间进行前后分；对时间进行前后分；规则规则2 对频率进行偶奇分对频率进行偶奇分 。30输入正序，输出倒序。注意输入正序，输出倒序。注意 因子的位置因子的位置rW31DIT与与DIF的异同的异同1. 相同运算量，相同运算量，相同分级数、每级蝶形数，相同分级数、每级蝶形数，同址运算特点同址运算特点2. DIT输入码位倒置，输入码位倒置，DIF输出码位倒置输出码位倒置不是本质区别不是本质区别：输入输出可以重排：输入输出可以重排3. 蝶形单元不同：蝶形单元不同：DIT先复乘后

20、加减，先复乘后加减， DIF先减再复乘先减再复乘 本质区别！本质区别！4. DIF、DIT蝶形单元互为蝶形单元互为易位易位（转置）（转置）（交换输入输出，所有支路反向）（交换输入输出，所有支路反向）32作业作业 l 画出画出DIF蝶形单元，写出迭蝶形单元，写出迭代公式代公式33第第0级级第第1级级第第2级级4组组2组组1组组4.4 4.4 进一步减少运算量的措施进一步减少运算量的措施34,0,1,2 1rNWrNFFT中乘法运算主要来自和复指数相乘：中乘法运算主要来自和复指数相乘：/2,0,1,4 1rNWrN/4,0,1,8 1rNWrN42,0,1,0rrWrWr（1 组）（2 组）（4

21、组）（N/2 组）复数复数乘法乘法数数2log2NN（N/4 组）4.4.1 多类蝶形单元多类蝶形单元3582,0,1,2,3rmWr41,0,1rmWr20,0rmWr1,0,1,2 1rNmMWrN0141WWj 不需要乘法：不需要乘法：平凡平凡（trivial ）旋旋转因子转因子 旋转因子旋转因子（twiddle factor)36M 级，前两级都是级，前两级都是 ，去除之：，去除之：014,WW(2)2cNMM后后 M-2 级，含有级，含有248/22NNNNN个个014,NWW再去除之：再去除之：(3)22cNMM（复乘）（复乘）（ 如第如第2级共有级共有 N/8 组，组，每组每组2

22、个平凡因子个平凡因子）014,WW37 两个复数相乘，需要四次实乘、两次实加。两个复数相乘，需要四次实乘、两次实加。实现和实现和 的相乘，需两次实乘，两次实加。的相乘，需两次实乘，两次实加。N点点FFT中，有多少个中，有多少个 18(1) 2 /2Wjcjc虚实部相等，虚实部相等，trivial 18W 将所有平凡旋转因子去除，或单独考虑将所有平凡旋转因子去除，或单独考虑18W248/22NNNNN个个18WjccjW2/2)1 (3838W第第2级起，每组各有级起，每组各有138(27) 123(1)4RRMNMAN M实乘实乘实加实加各种算法比较的基础各种算法比较的基础 以上称为多蝶形单元

23、运算以上称为多蝶形单元运算 计算量的减少以增加程序复杂度为代价计算量的减少以增加程序复杂度为代价4(3)2(2)2(2)222RNNNMM39多蝶形单元运算所需计算量的比较多蝶形单元运算所需计算量的比较4404.4.2 旋转因子的生成旋转因子的生成产生旋转因子的方法直接影响运算速度。产生旋转因子的方法直接影响运算速度。方法一：方法一：在每一级运算中直接产生；在每一级运算中直接产生；方法二：方法二：在在FFT程序开始前预先计算出旋程序开始前预先计算出旋转因子，存放在一个数组中，作为转因子，存放在一个数组中，作为旋转旋转因子表因子表，在程序执行过程中采用查表法，在程序执行过程中采用查表法，这样运算

24、速度可大大提高，缺点是旋转这样运算速度可大大提高，缺点是旋转因子表要因子表要占用较多的内存占用较多的内存41作业作业2 P 181， T 实序列的实序列的FFT42 基基2 算法算法： 1965年，年， DSP 发展里程碑；发展里程碑； 基基4 算法算法 : 对基对基2 算法的改进；算法的改进； 分裂基算法分裂基算法： 1984年，年， 接近最优的接近最优的 FFT！4.5 4.5 分裂基分裂基 (Split-radix) (Split-radix) 算法算法2MN Winograd 算法算法：1976年提出，是具有鲜明特年提出，是具有鲜明特色的色的FFT! 用到较多的数论知识

25、，可用于用到较多的数论知识，可用于N不不等于等于2的整次幂情形的整次幂情形4311(0) (0)(2) (1)(3)(1) (0)(2) (1)(3)(2) (0)(2) (1)(3)(3) (0)(2) (1)(3)XxxxxXxxxxWXxxxxXxxxxW11(0)(2)xx(1)(3)xx(0)(1)XX(2)(3)XX111W(0)(2)xx(0)(2)xx(1)(3)xx(1)(3)xx= -j44(0)(1)xx(2)(3)xx(0)(2)XX(1)(3)XX1111j基基4 DIF 的基本单元：的基本单元：以以 4 为基，分解时级数可减少为基，分解时级数可减少1半，因此可半，因

26、此可减少乘法次数。减少乘法次数。242MMN 不需要乘法！45/2 1/20/2 1/20(2 ) ( )(/2)(21) ( )(/2)0,1,12NnrNnNnrNnXrx nx nNnXrx nx nNNNrWWW基基2 DIF: 旋转因子都出现在奇序号项输出，在求旋转因子都出现在奇序号项输出，在求出偶序号项时不需要乘法出偶序号项时不需要乘法。每一级都是如此每一级都是如此基基2 2 和基和基4 4 算法的比较：算法的比较：基基 4 446/4 1/40/4 1/40/4 1/40/4 1/40(4 ) ( )( )2(42) ( )( )(41) ( )( )3(43) ( )( )Nn

27、rNnNnrNnNnrNnNnrNnXra nc nnXra nc nNnXrb njd nNnXrb njd nNWWWWWWW3( )( )()( )()()2443( )( )()( )()()244NNNa nx nx nc nx nx nNNNb nx nx nd nx nx n令令则则47分析上述结果可知，在基分析上述结果可知，在基4 算法中，算法中，N/4个个偶序号输出也要乘偶序号输出也要乘W因子。而基因子。而基2 算法的算法的偶序号项都不要乘偶序号项都不要乘W因子。因子。如何将基2和基4的优点都兼收？对偶序号项输出用基对偶序号项输出用基2 算法，算法， 对奇序号项输出用基对奇序

28、号项输出用基4算法。算法。48/2 1/20/4 1/40/4 1/40(2 )( )(41) ( )( )3(43) ( )( )NnrNnNnrNnNnrNnXra nnXrb njd nNnXrb njd nNWWWWW3( )( )()( )()()2443( )( )()( )()()244NNNa nx nx nc nx nx nNNNb nx nx nd nx nx n令令则则基基 2 / 4 算法算法4950 各种算法所需计算量的比较各种算法所需计算量的比较5143826( 1)39981622( 1)399MRMRMMNNAMNN 358211138463RRMMNNAMNN

29、2712334RRMMNNAMNN基基2基基4分裂基分裂基使使用用四四类类蝶蝶形形时时所所需需计计算算量量222RMNMM极限极限524.6 4.6 输入输出点数较少时的输入输出点数较少时的FFTFFTDFT：输入：输入N点，输出点，输出N点点, 输入、输出点数输入、输出点数相同。输出的相同。输出的N点均匀分布于单位圆上，频域点均匀分布于单位圆上，频域分辨率为分辨率为 2sNfN120120)( )0,1,11( )( )0,1,1Njnk NnNjnk NkX kx n ekNx nX k enNN（53在实际应用中：在实际应用中：1 1. . 当输入点数极少时，若希望频率分点较多，当输入点

30、数极少时，若希望频率分点较多，则需要补零，结果是增加了计算量则需要补零，结果是增加了计算量; ;2. 2. 对于对于窄带窄带信号，信号，我们只希望通带内分点密，我们只希望通带内分点密，带外可以较疏，或根本不用计算。带外可以较疏，或根本不用计算。1.Pruning1.Pruning（简化（简化FFTFFT）2. CZT2. CZT54（一）输入端（一）输入端 Pruning（ DIF ）不需要的不计算！不需要的不计算！一一. Pruning（剪枝）（剪枝）55 （二）输出端（二）输出端 Pruning（窄带情况）（窄带情况）不需要的不计算！56二、二、CZT（Chirp-Z变换）变换）线性调频线

31、性调频Z变换变换0)()(nnznxzX()sssssTjTTj Tjzeeeere 其中：其中：Z在其在其 ROC 内取值，现为内取值，现为Z指定一离散路径：指定一离散路径：00000000,0,1,1,rrjjrjjrrzAWrMAA eWW ezA eWeZ变换：变换：571100()( )( )NNnnnrrrnnX zx n zx n A W信号点数信号点数 N 和变换路径点数和变换路径点数 M 可以可以不相等！不相等！1, 1 , 0Mr58做做DFT时，时，Z变换在变换在单位圆上的等分的单位圆上的等分的 N个点上取值个点上取值CZT时，离散路时，离散路径可在单位圆内、径可在单位圆

32、内、外，或圆上外，或圆上rjrjreWeAz00002/jk Nkze59rjrjreWeAz0000CZT在在Z平面上的变换平面上的变换路径是一条螺旋线：路径是一条螺旋线：决定决定CZT的起点；的起点；决定变换路径如决定变换路径如何倾斜；何倾斜；决定变换的步长决定变换的步长00,A00W00APQ0ArW60rjrjreWeAz000001A 01W 001AW CZT变成了变成了DFT0001,0,AWMN00APQ0 时，起点在单位圆外，时，起点在单位圆外，反之在圆内反之在圆内时内旋，反之外旋；时内旋，反之外旋； 时时 CZT变换变换路径路径 为单位圆上一段弧，为单位圆上一段弧，ArW6

33、1CZT的特点的特点CZT可计算可计算单位圆上（单位圆上（希望得到的是信号希望得到的是信号的频谱分析，故常在单位圆上实现的频谱分析，故常在单位圆上实现CZT，即取即取A0=W0=1 ）任一段曲线上的任一段曲线上的Z 变换，变换，可任意给定起止频率；可任意给定起止频率；作变换时输入的点数作变换时输入的点数N和输出点数和输出点数M可以可以不相等；不相等；可达到频域可达到频域“细化细化”的目的。的目的。62CZT的计算：的计算：由定义：由定义：0000jjrrrrzAWA eWe22/2/2( )( )( )nnng nx n A Wh nW令令1100()( )( )NNnnnrrrnnX zx

34、n zx n A W由于：由于：2221() 2nrrnrn所以所以2221/2/2() /20()( )Nrnnr nrnX zWx n A WW二次相位复指数序列二次相位复指数序列或或Chirp信号信号或线性调频信号或线性调频信号6322221/20/2/21() /20()( ) () ( )* ( )( )( )( )* ( )( )0,1,1NrrnrrNr nnX zWg n h rnWg rh rWy ry rg rh rg n WrM，则：则：式中：式中：64 65CZT CZT 的实际计算方法：的实际计算方法：21() /20( )( )* ( )( )0,1,1Nr nny

35、 rg rh rg n WrM，( )g nN1. 是是 点系列，由点系列，由 所决定：所决定：( )x n2/2( )nh nW2/2( )( )nng nx n A W2. 是双边无穷长序列，由定义所决定：是双边无穷长序列，由定义所决定：( )h n663. 是是 点序列，由需要所决定。点序列，由需要所决定。 ()rX zM0n( )g n1N 0n( )h n0r( )y r1M r希望用希望用DFT实现实现截短截短延拓延拓67Step1( )01( )0()11h nnMh nMnLNh LnLNnL ) 1(MNL68Step 2.( ),0,1,1( ),0,1,1( )01g n

36、nNg nnNg nNnL求出( ),( ):g nh nL点序列点序列2/2Step 3.( ),( )( ),( );Step4.( )( )( ),( );Step5.()( )rrg nh nH k G kY kH k G ky rX zy r W（取前（取前M个点）个点）69与本章有关的与本章有关的MATLAB文件主要是文件主要是fft, ifft和和 czt.m。fft实现快速傅立叶变换，实现快速傅立叶变换，ifft实现快实现快速傅立叶反变换，速傅立叶反变换，czt.m实现线性调频实现线性调频Z变换变换 fft的调用格式是：的调用格式是：X=fft(x), 或或 X=fft(x，N)1. czt.m 调用格式是：调用格式是： Xczt(x, M, W, A) 。x是待变换的时域信号，其长度设为是待变换的时域信号，其长度设为N，M是是变换的长度，变换的长度，W确定变换的步长，确定变换的步长，A确定变确定变换的起点。若换的起点。若M=N, A=1, 则则CZT变成变成DFT70例例 设模拟信号设模拟信号 ，以，以 t = 0.01n (n=0: N-1) 进行取样，试用进行取样，试用fft函数对其做频函数对其做频谱分析。谱分析。N分别为：分别为：(1) N=45；(2