数学概念形成的问题情景创设

1、数学概念形成的问题情景创设 广州市番禺区教育局教研室严运华内容摘要：长期以来,由于受应试教育的影响,在数学教学中,仍然大量存在“重结论，轻过程”的现象，特别是在数学概念的教学中显得更为突出，很多教师不注重概念的形成过程.针对这种现象,本文根据数学概念产生的方式对如何创设数学概念形成的问题情景作了一些探索.关键词：数学概念形成 问题情景数学概念形成的问题情景创设 广州市番禺区教育局教研室严运华内容摘要：长期以来,由于受应试教育的影响,在数学教学中,仍然大量存在“重结论，轻过程”的现象，特别是在数学概念的教学中显得更为突出，很多教师不注重概念的形成过程.针对这种现象,本文根据数学概念产生的方式对如

2、何创设数学概念形成的问题情景作了一些探索.关键词：数学概念形成 问题情景 数学概念的教学一般来说要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用（包括概念所涉及的数学思想方法的运用）等阶段.但就目前的现状,并不令人乐观,从笔者2000学年深入学校所听的近100节课的情况看,仍然大量存在“重结论，轻过程”的现象，特别是在数学概念的教学中显得更为突出，很多教师不注重概念的形成过程，只是重视概念运用的教学.这种教学模式忽视了数学知识的产生与形成的重要阶段，强行地将一些新的数学概念灌输给学生，没有体现学生的主体性，严重影响了学生形成正确的数学观，阻碍了学生的能力发展.造成这种现象的原因，一方面是由

3、于教师的教学观念比较陈旧，在数学教学中不重视学生的思维活动,不能使学生的认知过程是一个再创造的过程,实现发现，理解、创造与应用;另一方面是更多教师却不知如何创设数学概念形成的问题情景，循序渐进地引导学生开展探索活动.针对这种现象，笔者作了一些思考，在数学概念教学中，教师如何设计有效的问题情景，充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，探究规律，得出新的数学概念.从而使学生体验到数学概念的产生过程，提高他们对数学的认识水平，掌握数学思想方法，培养数学能力.本文对此谈些肤浅认识. 数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来，有些是由数学自身

4、的发展而产生，而有些数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生.根据数学概念产生的方式，结合学生的认知特点，可以有下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景： 一、创设类比发现的问题情景 中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师先引导学生研究已学过概念的属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样，新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建. 例1 异面直线距离的概念教学（1）展示概念背景：我们已经知道：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，还要刻划其远近程度，需要用另一个量异面直线之间

5、的距离.（2）创设类比发现的问题情景：先回顾一下过去学过哪些距离？（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离）请大家回忆各种距离概念的定义，在这几种距离的 “发展”中有什么共同点？（各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离定义都是确定的而且最小）BACDMNab（3）启迪发现阶段：定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，那么异面直线a,b上哪两点之间的距离最小呢？为什么？ 进一步诱导：如右图，过直线a上一点B作AB直线b,则线段AB的长为异面直线a,b间的距离,对吗?因为过A作AC直线a,在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性.再过C作CD直线b,如此下去，线段只垂直于a,b

6、中的一条时,总是某直角三角形的斜边,不可能是a,b上任两点间距离的最小者，那么，异面直线a,b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a,b都垂直相交的线段.（4）表述论证阶段：最后引导学生发现:a,b的公垂线段MN的长度具有最小性,又公垂线是唯一的,所以,可以用线段MN定义为异面直线a,b之间的距离. 以上通过引导学生研究已有 “距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭.这样的概念还有很多，如复数模的概念与实数的绝对值类比，三元均值不等式与二元均值不等式的类

7、比，二次方程概念与一次方程概念的类比等等. 二、回顾已有相关概念的扩充历程,创设冲突引发进一步扩充概念的情景 有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示已有概念的扩充规律，便可以水到渠成的引入新概念.例2 复数概念的教学：先回顾已经历过的几次数集扩充的事实： 正整数 自然数 非负有理数 有理数 实数 并提出问题:1. 上述数集扩充的原因及其规律如何？（实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行）数集的扩充过程体现了如下规律：（1） 每次扩充都增加规定了新元素；（2） 在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立；（3） 每次扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题.有了上述准

8、备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性.那么，怎样解决这个问题呢？2. 借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定（略）这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，同时为概念的理解和进一步研究奠定基础. 三、创设发现新、旧概念间联系及迁移的问题情景 许多数学概念间存在着一定的联系，教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景，引导学生将新的概念转化为已有认知结构中的相关概念，建立起新旧概念间的联系，便可以使学生牢固的掌握新的概念.例3 异面直

9、线所成角的概念教学：（1）展示概念背景（导引阶段）教师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着教师指出：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步考虑它们的相对位置这就给数学提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数学量来刻划这种相对位置？(2) 情境设计阶段：我们知道平面几何中用“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？我们还

10、知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角以它的大小来度量异面直线所成的角的大小为了解决这个问题，我们看一道题：一张纸上画有两条能相交的直线、（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出、所成的角的大小？(3) 启迪发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a,b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线所成的角呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线所成角可转化为平面内两条相交直线所成的角（即过一点分别作a,b的平行线，这两条平行线所成的角）(4) 精确表述论证阶段：教师提问，这角（或平行线）一定可以作出来吗？角的大小与作

11、法有什么关系？（以上即是存在性和确定性问题）通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选一般总是将点选在特殊位置至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法四、提供感性材料,创设归纳、抽象的问题情景有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来，对于这些概念教学要通过一些感性材料，创设归纳、抽象的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性.例4 数轴概念的教学.观察生活中的杆秤特点：拿根杆秤称物体，移动秤砣使

12、秤杆平衡时，秤杆上的对应星点表示的数字即为所称物体的重量；显然秤砣越往右移，所称的物体越重.同样的我们日常生活中使用温度计也有类似的特点.进一步引导学生抽象出本质属性：（1） 度量的起点（2）度量的单位（3）增减的方向我们能否用一个更加简单形象的图示方法来描述它呢？由此启发学生用直线上的点表示数，从而引进 “数轴”的概念.这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高.五、通过具体实验，创设问题情景 有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示及自己操作（几何画板提供了很好的软

13、件）中领悟数学概念的形成.例5 椭圆概念的教学. 可分几个步骤进行（1）实验 获得感性认识（要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆）（2）提出问题，思考讨论.椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？（3）揭示本质，给出定义.象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的实质会掌握得很好.不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误.以上列举了五种方法，事实上，这五种方法不是独立的，而是相互联系的，有

14、些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法.关于数学概念的教学这里仅探讨了概念的形成的教学，并没有包括概念教学的全部，还有概念的剖析、概念的运用及概念的变式等问题.参考文献1 叶芳琴. 暴露什么与怎样暴露. 数学通报1997.102 章建跃. 关于课堂教学中设置问题情景的几个问题 数学通报1994.63 严运华. “问题链”的设计与教学 广东教育2000.12.该文已发表在山西教学与管理2000年第6期上。数学概念形成的问题情景创设 广州市番禺区教育局教研室 严运华 数学概念的教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用（包括概念所涉及的数学思想方法的运用）等阶段。在数学

15、概念的教学中，很多教师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段，强行地将一些新的数学概念灌输给学生，无从体现学生的主体性，将严重影响学生形成正确的数学观，阻碍学生的能力发展。造成这种现象的原因，一方面是由于教师的教学观念比较陈旧，在教学中不重视学生的思维活动,不能使学生的认知过程成为一个再创造的过程,实现发现、理解、创造与应用；另一方面是许多教师不知如何创设数学概念形成的问题情景，循序渐进地引导学生开展探索活动。在数学概念教学中，如何设计有效的问题情景，充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，探究规

16、律，得出新的数学概念。从而使学生体验到数学概念的产生过程，提高他们对数学的认识水平，掌握数学思想方法，培养数学能力，这是数学概念教学要研究的首要问题。一、 创设数学概念形成的问题情景的途径数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的，有些是由数学自身的发展而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。根据数学概念产生的方式及数学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。（一）回顾已有相似概念，创设类比发现的问题情景 中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题

17、情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。 例1 异面直线的距离的教学（1）展示概念背景：向学生指出：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，若要刻划其远近程度，需要用另一个量异面直线之间的距离。（2）创设类比发现的问题情景：先引导学生回顾一下过去学过的有关距离的概念（点与点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离），并概括出它们的共同点：各种距离概念都归结为点与点间的距离；每种距离都是确定的而且是最小的。BACDMNba（3）启迪发现阶段：指出定义两异面直线的距离也必须遵循上述原则，然后引导学

18、生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的距离最小？为什么？ 进一步诱导：如右图，过直线a上一点B作AB直线b，垂足为点A，则线段AB的长为异面直线a,b间的距离,对吗?因为过A作AC直线a，垂足为C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再过C作CD直线b，如此下去，线段只垂直于a、b中的一条时,总是某直角三角形的斜边,不可能是a、b上任两点间距离的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间距离的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、b都垂直相交的线段。（4）表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN的长度具有最小性,又公垂线是唯一的，所以，可以把线

19、段MN定义为异面直线a,b之间的距离。以上通过引导学生研究已有 “距离”概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点”，以类比方法获得异面直线距离的概念，学生觉得这一概念是已有距离概念的一种自然发展，不感到别扭。这样的概念还有很多，如复数的模与实数的绝对值类比、二次方程与一次方程的类比、空间的二面角与平面的角类比等等。这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知基础”，通过与熟悉的概念类比（类比的形式多样，如平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比，还有方法类比、结构类比、形式类比等等），可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然

20、要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。（二）由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景 有些数学概念是已有概念的扩充，若能揭示概念的扩充规律，便可以水到渠成地引入新概念。例2 复数概念的教学先回顾已经历过的几次数集扩充的事实：正整数 自然数 非负有理数 有理数 实数，然后教师提出以下问题:（1）上述数集扩充的原因及其规律如何？实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行，数集的扩充过程体现了如下规律： 每次扩充都增加规定了新元素； 在原数集内成立的运算规律，在数集扩充后的更大范围内仍然成立； 扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。有了上述准

21、备后，教师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？（2）借鉴上述规律，为了扩充实数集，引入新元素i，并作出两条规定。（略）这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定基础。这类数学概念形成的问题情景创设的关键是揭示出相关概念的扩充发展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。（三）联想相关数学概念，创设引发猜想的问题情景 许多数学概念间存在着一定的联系，教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景，引导学生建立起

22、新旧概念间的联系，便可以使学生牢固地掌握新的概念。例3 异面直线所成角的概念教学（1）展示概念背景：教师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着提问：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？教师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置显然是不够的。在生产实际与数学问题中，有时还需要进一步精确化，这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数量来刻划这种相对位置？(2)情境设计阶段：我们知道平面几何中用“距离”来刻划两平行直线间的相对位置，用“角”来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两

23、异面直线的相对位置呢？我们还知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角，用它的大小来度量异面直线的相对倾斜程度。为了解决这个问题，我们研究一道题：一张纸上画有两条能相交的直线、（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出、所成的角的大小？(3)猜想发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a,b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线的倾斜程度呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线的倾斜程度可转化为平面内两条相交直线的角（即过一点分别作a、b的平行线，这两条平行线所成的角）(4)表述论证阶段：教师提问，这角（或平行线）一

24、定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？（以上即是存在性和确定性问题）通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在（0，内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O（一线的平行线与另一线的平行线的交点）的选取无关，点O可任选一般总是将点选在特殊位置至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新、旧数学概念间的本质属性，为新概念的产生创设适当的固着点，使其孕育新的数学概念的形成。（四）提供感性材料,创设抽象与概括的问题情景有些数学概念源于现实生活，是从生产、生活实际问题中抽象出来的

25、，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性。 例4 数轴概念的教学教师先出示下列问题：小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。若规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到少年宫记作什么？温度计显示零上20C，零下3C，你如何用有理数表示。教师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：（1）能用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻划）（2）度量的起点（0C和小张家）（3）度量的单位（温度计每格表示1C）（4）有表示相反意义的方向（向东为正，

26、向西为负；零上为正，零下为负）这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“ ”表示正方向，从而引进 “数轴”的概念。这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高。这类数学概念形成的问题情景创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。（五）通过学生实验，创设观察、发现的问题情景 有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通

27、过现代教育技术手段演示及自己操作（如几何画板提供了很好的工具）去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作、探索反思中掌握数学概念。例5 椭圆概念的教学 可分下列几个步骤进行：（1）实验 获得感性认识（要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画得图形为椭圆）（2）提出问题，思考讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？（3）揭示本质，给出定义。象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的实质会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中

28、的定长应大于两定点之间的距离的错误。这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为教师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进行动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现！以上列举的几种方法不是独立的，而是相互联系的，有些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法才能创设出利于学生发现的问题情景。二、 数学概念形成阶段教学应注意的问题在创设问题情景时，还应创设师生共同研究问题的良好氛围。教

29、师要积极鼓励学生独立提出问题、独立分析、解决问题，还要鼓励学生之间互相研讨问题，大胆向教师提问题或提出创见性的观点，努力营造一种师生之间平等共同研讨、分析解决问题的民主气氛，形成师生间和谐良好的人际关系，使课堂教学充满活力。在教学中要注意以下问题：（一） 注意问题的呈示方式 有了合适的问题情景，还必须注意问题的呈示方式。我们认为：问题的呈示要以学生主体的充分发挥为前提，重视知识的发现和探索过程，重视学生的内心体验。通过问题的呈示能使学生充分地展开思维活动（包括动手、动脑），教师应留给学生一定的思考时间和空间，不要急于将答案告诉学生，应把发现问题的机会，大智若愚地让给学生，让学生的思维得到充分的

30、暴露，教师根据学生出现的一些问题，有针对性地组织讨论、辨析，并在关键处予以点拨，真正使学生体验到新的数学概念的形成过程。（二） 教学形式要多样化课堂教学从本质上说是一种“沟通”与“合作”的活动，是教师主导与学生主体相互作用以实现学生有意义学习的过程，要使这个过程顺利进行，必须充分发挥师生双方的积极性和主动性。为了充分调动学生的积极性，教学形式应尽可能多样化。教学不能只是教师的讲授，还应包括学生的独立自主探究，集体研究，小组讨论或先学生独立研究再相互交流，或带着问题自学等多种方式。这样有利于激发学生的学习积极性。至于如何确定教学形式，这要考虑所研究问题的难易程度及学生的知识和思维水平。一般来说，

31、要尽可能让学生参与数学活动，只要学生有能力通过活动解决的问题，就应该让学生独立完成。对有一定难度的问题，可先让学生独立研究，再组织小组交流（教师参与小组研究，并在关键处作适当点拨），最后师生一起探索得出结论。（三） 渗透数学思想方法数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要依据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此教师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进行提炼，让学生学会思维，提高自我探索、发现创造的能力。如例5中学生根据操作过程类比圆的概念产生这样的定义：平面内到两个定点的距离之

32、和等于定长的点的轨迹叫椭圆。怎样使学生意识到这一定义不完备呢？如何让学生完善这一定义呢？可让学生将两个定点由近到远地多画些椭圆，当学生将此操作进行至极限（即细线的长等于两定点之间的距离时）时发现画出的是一条线段。这样的过程能够使学生独立地发现和完善椭圆的定义。这种不断实验、观察、进而得到发现的“科研”方法要让学生通过学习逐步掌握。学生掌握这些方法将受益终身！【参考文献】1 叶芳琴 暴露什么与怎样暴露 数学通报1997年第10期2 章建跃 关于课堂教学中设置问题情景的几个问题 数学通报1994年第6期3 严运华 “问题链”的设计与教学 广东教育2000年第12期4 严运华 提高数学教学中学生的参

33、与程度 教学与管理1999年第3期5 罗增儒著 中学数学课例分析陕西师范大学出版社 2001年7月第1版6 石志群 问题与活动课堂教学的核心 中学数学2000年第10期重视概念形成过程 引导学生主动探究文章摘要：概念教学是小学数学教学的重要组成部分。在概念教学中教师要根据学生的认知特点设计教学过程，充分调动他们的积极性、主动性、创造性，使学生全面、深入地掌握所学概念。本文依据学生学习的主体性原则和使学生学会学习，自主发展的教学理念，提出在教学中，重视概念形成过程 引导学生主动探究。大致内容如下： 一、在初步建立概念的过程中引导学生主动探究； 二、在概念的巩固、深化过程中引导学生主动探究。关键词

34、：主动探究 本质属性 认知冲突 概念体系 概念教学是小学数学的重要组成部分。学生对数学知识的理解以及智力、能力的培养和提高都建立在一定的概念基础之上。因此，概念教学是数学教学中必须抓好的重要环节。小学生在学习概念中有如下特点：1、认识事物正处于由具体形象思维向抽象思维过渡；2、喜欢观察但不善于观察；3、不善于掌握概念之间的联系和区别。结合以上特点，在概念教学中教师要依据学生学习的主体性原则和使学生学会学习、自主发展的教学理念引导学生积极参与，主动探究,使学生在创造性的学习中理解和掌握所学概念，从而达到培养创新意识和实践能力的最终目的。 一、在初步建立概念的过程中引导学生主动探究学生学习概念的过

35、程包括：概念的引入、概念的理解和概念的总结概括三个阶段。在整个过程中教师要善于引导学生发挥主体作用，给与他们较大的探究的时间与空间。（一） 创设情境，引入概念：苏霍姆林斯基曾说过：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界里这种需要特别强烈。”学生主动探究的愿望和积极的思维活动是建立在浓厚的兴趣及丰富的情感基础之上的。因此，在引入概念的时候引导学生入情入境，可以很好地调动学生的积极性，进而产生浓厚的探究欲望。例如，在讲解“圆的认识”一课时，我设计了如下情境进行导入。“几个小朋友站成一排向前方一定距离的指定位置同时投掷沙包，（如图1）请问，

36、哪个小朋友投的会更准确？为什么？”学生结合生活实际发现离目标越近的同学会越准确。这时，教师再次引导“怎样站比赛才是公平的？”学生回答“组成长方形或正方形进行比赛才公平。”教师同时出示示意图，（如图2）学生看图后发现这样站仍不公平。最后想到围成一个圆形才最合理。教师再引出课题“圆”，使学生在不知不觉中对圆有了一定的认识，感知到“圆心到圆上任意一点的距离都相等”并对这一新的平面图形产生了浓厚的兴趣。 当然，对于一个新概念而言，引入的方法是多种多样的。但不管怎样，教师结合新知内容精心安排，创设一个良好的学习情境，对学生产生浓厚的探究欲望具有十分积极的作用，它必将有利于学生理解并掌握所学概念。 （二）

37、抓住本质，探究概念。所谓概念的本质属性是指某个概念有决定意义的、独有的属性。就课堂教学而言，引导学生调动多种感官对概念本质进行探究，教师要精心设计教学过程，采用科学有效的方法使学生更为深入地理解并掌握所学概念。 1.调动多种感官主动参与。课堂教学中学生通过摆实物、测量、剪拼等途径对概念进行探究比光看书上、黑板上的图形、算式效果更好。再如“圆的认识”一课，当学生通过观察具体实物抽象出圆形后，可引导学生徒手和利用简单学具画图。首先，徒手绘画，简要评价，使学生初步感知；而后，给学生提供有限的学具（一根铅笔、一根线、一个图钉），让学生在小组合作中完成任务。反馈中再进行评价，引导学生分析在画图中应注意的

38、问题。使学生在多种感官参与的过程中紧紧抓住了圆心、半径等关键概念。而后，在理解其作用和相互关系的基础上出示规范的名称，从而顺利完成对圆这一概念的把握。这样，将操作与观察、思维与语言结合在一起，不仅使学生积极参与到概念的探究过程，而且启迪了思维，达到了数学教学既长知识又长智慧的目的。2.注重观察加强比较。有些概念学生常常发生混淆，有必要将它们加以区分、比较，避免互相干扰。正如乌申斯基认为“比较是一切理解和一切思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”在比较的过程中，要引导学生观察思考，探究出概念间的异同，使学生更准确地抓住概念地本质。例如，“线段、射线和直线”的教学中，在逐个揭示了这三

39、个概念，找出其各有特点之后给学生提出探究的要求“找出三线之间的联系和区别”，并出示表格引导学生观察、填写。 （图3） 直 线 “三线”比较表类别短点个数是否有限曲直直线射线线段 线段 射线 经常引导学生进行观察比较，既有利于学生掌握易混淆概念，又有利于学生提高理解概念的能力，从而达到对概念本质属性的掌握。（三）创设认知冲突、逐步抽象概念。 学生由感性认识上升为理性认识是一个逐步提高的过程。因此，对于一些较为抽象不易理解的概念，教师要在引导学生探究过程中不断设置认知冲突，使学生层层深入的进行抽象概括。例如，“分数的意义”一课，为了使学生完成由理性到感性的飞跃，可结合学生的认知规律巧妙设疑，引导学

40、生对概念本质进行探究。首先，结合具体实物（如一块蛋糕、一根钢管）分析具体分数（如、）的特征，概括出“几分之一”的意义；然后引导学生思考表示这样一份的数叫“几分之一”，那么表示这样几份的数呢？进而探究“几分之几”这类分数的意义； 而后，提问：“什么样的数叫分数呢？”引导学生初步建立分数的概念。接着，继续设疑“难道仅仅把一个物体平均分，表示这样一份或几份的数才叫分数吗？”引导学生进一步思考。最后通过群体“单位1”的探究引导学生准确建立分数的概念，“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数。”可见，在探究过程的关键处不断造成学生的认知冲突，学生在解决冲突的过程中也就抓住了概念本质进行探究

41、，最终完成对概念的抽象概括。 二、在概念的巩固深化中引导学生主动探究。概念初步形成后，要通过开阔学生思维的广度来加深对概念的理解，并在运用中求巩固。在学生初步理解了概念后，根据不同的教学内容进行练习，引导学生在探究过程中形成概念体系，使学生在反复运用中逐步深化。（一） 巧设练习，深入理解。精心安排好练习题，利用初步掌握的概念解决实际问题，可使学生从懂到会，从知识到能力，从多种角度加深理解。例如，教学“三角形的认识”时，当学生初步建立了直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三个概念之后，可设计如下练习： （图4） 请学生根据纸袋中三角形露出的角的形状判断纸袋内的三角形是什么三角形？使学生对三角形外延

42、的理解更加深刻。引导学生大胆发表自己的看法，通过互相补充纠正，最终明确“三角形的高是相对于某一底而言的”这一结论。虽然练习的形式是多种多样的，但习题的设计应该是便于揭露学生在概念认识上的矛盾的问题；应该是有启发性便于举一反三的问题；应该是有典型性便于触类旁通的问题；应该是学生在概念的过程中再次进行有意义的主动探究的问题。（二） 总结归纳，构建体系。 引导学生理清所学知识的来龙去脉，把旧知按一定的系统梳理成线，构建成网，进一步理解知识间的内在联系和区别，使学生在理解中进一步掌握。例如：1.甲数能被乙数整除 甲数是乙数的倍数 几个数公有的倍数叫他们的公倍数 公倍数中最小的一个叫他们的最小公倍数。

43、2.甲数能被乙数整除 乙数是甲数的约数 几个数公有的约数叫他们的公约数 有几个公约数时，其中最大的一个叫做他们的最大公约数。 另外，还可以利用集合图，表格等帮助整理。总之，引导学生沟通概念之间的联系有利于学生更好的掌握概念，更灵活的运用概念。 综上所述，在进行概念教学的过程中，教师要遵循学生的认知规律，重视概念的形成过程，运用多种手段，引导学生主动探究，充分发挥学生在学习中的主体作用，努力培养学生的创新精神和实践能力，提高概念教学的质量。参考文献：孙少辅 小学数学概念教学 光明日报出版社 P1、P110 李世英 孙宏博 主编 小学数学教学改革与研究 北京日报出版社 P25 林雄 “质疑与探究”

44、课堂教学的出探 福建教育 96年 第6期数学概念的学与教章建跃 概念是思维的基本单位。由于概念的存在和应用，人们可以对复杂事物作简化、概括或分类的反映；由于概念是在揭示了经验的内在联系，获得了事物的本质特征以后形成的，所以概念增加了经验的意义。概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，因此概念的形成可以帮助学生了解事物之间的从属或相对关系。概念也可以使人们在没有直接经验的条件下获得抽象观念，而这些观念可以用于新的情景分类，也可以用作同化或发现新知识的固着点，同时，概念之间也可以组成具有潜在意义的命题，因而概念的学习是最重要的学习课题之一。一、概念学习概述 1.概念的定义 概念是哲学、

45、逻辑学、心理学等许多学科领域的研究对象。由于研究角度的不同，因而各学科对概念的理解也有差异。例如，哲学中把概念定义为人脑对事物本质特征的反映，而心理学则把概念与人类的分类行为紧密地联系在一起。例如，行为主义者认为概念是有机体对相似刺激物或同类刺激物作出共同反映的能力，这种解释对初级的具体概念比较适宜，但它没有指出概念应该抽象出事物的本质属性；认知心理学则把概念定义为“符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质”，这里的符号主要是指具有一般意义的词。例如，看到“圆”这个词，人们的脑子里立刻引起一般的圆的表象，它不是指某一个具体的圆，而是指抽象的圆，世界上并不存在这种离开具体圆的抽象圆，

46、这时，“圆”这个词就代表了一个概念。现代认知心理学认为，概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象性水平发展，从日常概念（有时这种概念是错误的）向科学概念发展。概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。2.概念的分类 分类，就是依照某种标准，按“不重不漏”的原则，将事物划分为若干个类别。当然，这些类别之间具有

47、内在联系性。这里的“标准”通常是事物的某一本质特征。世界是由大量可辨别的物体、事件和人物组成的。世上不存在完全相同的两个人，所谓“一个人不能同时跨进一条河”说的就是事物随时间、地点、条件的变化而变化的道理。人类之所以能应付周围环境的随时变化，就是因为有分类能力。凭借这种能力，人们就可以将接收到环境信息做出分类，并利用类别做出推理，从而超越信息，达到认知（学习）的目的。例如，当学生遇到一个数学问题时，他首先会将问题归结为几何问题或代数问题等；对于几何问题，他又会进一步归结为平面几何或立体几何，然后又归结为是度量问题（求角度、长度、面积、体积等）还是关系问题（位置关系、大小关系等），再归结到三角形

48、、四边形，最后用具体知识解答之。因此，整个解题活动可以被看成一系列的分类过程。所以，分类是人类认知的基本手段，分类“就是要分别对待各种相同的事物，对周围的各种物体、事件和人进行归类，并根据它们这一类别的成员关系而不是它们的独特性对它们做出反应”，而类别则是人类认知的工具。学习和利用类别是一种最基本、最普遍的认知形式。人类是通过这种认知形式来适应环境的。分类活动以掌握事物的关键属性为前提。分类活动必须符合一定的规则，这些规则是：（1）要以本质属性作为标准的。如“凸平面四边形”的本质属性有：平面图形、封闭的、四条边、四个角、凸图形等。（2）指明本质属性的组织方式。如四条边共面、组成首尾相连的封闭图

49、形、任何一条边向两方延长其他各边都在延长所得直线的同侧，等。（3）要确立公认的限制条件。如凸平面四边形可以有大小、形状等差别，但它只能有四条边，这是公认的限制条件之一。（4）要权衡各种不同的属性（即哪些是本质属性，哪些是非本质属性）。例如，四条边的长短、四个角的大小都不是本质属性。在概念学习过程中，分类活动占有非常重要的地位。分类是概念获得的基础，是对概念的内涵进行认识的过程；分类活动有助于学生更深刻地理解概念之间的关系；分类活动有助于学生从整体上把握概念；分类是概括的基础，因此分类活动有助于提高学生的概括能力；通过分类，可将事物依其属性而归类，依其相互之间的联系而成系统，而类别清晰、逻辑关系

50、明确的概念系统有利于记忆和检索。能否依据本质属性对事物进行恰当的分类是衡量学生是否已经习得概念的标准。所以，教师必须十分重视概念分类这一环节。人们从事分类活动时，一般是根据问题的各种属性及其关系做出判断的。那么，人们是如何组合各种属性从而做出分类的呢？心理学家认为，组合不同属性的方式有三种，它们分别代表了三种类型的概念：一是“联合属性”，即几种属性联合起来对概念来下定义。这样所定义的概念称为“合取概念”。例如，“映射”就是一个合取概念：设A、B是两个集合，|:A?B是一个对应法则，如果对于集合A中任意一个元素a，通过法则|，在集合B中都有唯一的一个元素b与之对应，则法则|称为从集合A到集合B的

51、映射。这里，对于集合A中任意一个元素a，通过法则|，在集合B中不但有元素与之对应，而且是唯一的，“有”和“唯一”就是两个属性。二是“单一属性”，即在许多事物的各种属性中，找出一种共同属性来对概念下定义。这样所定义的概念称为“析取概念”。例如，在“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”中“析取” 共同属性“从顶点向两侧伸长的两叶圆锥面和任一平面相交而成的曲线” 就定义了“圆锥曲线”。三是“关系属性”，即以事物的相对关系作为对概念下定义的依据，如此定义的概念称为“关系概念”。例如，“正方形”就是一个关系概念，它既要是凸四边形，又要求四条边相等，还要求四个角是直角。显然，在数学中，上述三种概念都是大量存在的

52、。3.数学概念的特点 数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式，这种关系和形式是脱离了事物的具体物质属性的，因此，数学概念有与此相对应的特点。（1）数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象物理属性以后的抽象，反映了一类对象在数与形方面内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。（2）数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学有比别的学科更加简明、清晰、准确的表述形式。数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。例如，在数学发展史上，数

53、系的建立经历了两千多年，如今，学生凭借现有的数的符号，可以在较短的时间内掌握数系的全部概念。而在中国数学的发展史上，由于没有发明简明的数学符号而使数学的发展受到极大阻碍的例子是非常多的（如以一、二、三、四、五作为数的符号，在书写和运算上均不如用1、2、3、4、5方便），这说明在数学的发展中引进恰当的符号来表示概念是非常重要的，这是数学概念的一个重要特点。（3）数学概念是具体性与抽象性的辨证统一。一些数学基本概念是一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，具有明显的直观意义，但通常以形式化语言来表述；数学中有许多概念是在抽象之上的抽象，是由概念所引出的概念（如1、2、3是对真实事物的直接抽

54、象，而那些较大的数则是建立在已有概念的抽象分析之上：对于“已知x，则可得x+1”的理解使人们可以获得自然数的无限序列：1，2，3，n，n+1，）；数学中还有许多概念是“思维的自由想象和创造的产物”，它们与真实世界的距离是非常遥远的，如“虚数”、“n维空间”等。所有这些都说明，数学是高度抽象的。但另一方面，数学概念又是非常具体的，任何一个数学概念的背后都有许多具体内容支撑着。学生只有掌握了数学概念的定义，同时又能够举出概念的具体事例，才算真正掌握了数学概念。（4）数学概念具有很强的系统性。前已指出，数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化

55、体系就是这种系统性的最高反映。数学概念的这种特性要求学生在数学学习时必须做到循序渐进，一步一个脚印，扎扎实实地打好基础。值得指出的是，数学概念的特点不能与个体所掌握的数学概念的特点相混淆。个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解。例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。这种抽象水平的层次性反映了学生数学认知结构水平对概念掌握的制约性，这是教师把握

56、概念教学要求的依据之一。二、数学概念的获得 1.概念获得的不同形式 学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同本质属性的过程。例如，学习“棱锥”这个概念，就是掌握：凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三角形等这几个关键属性。同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成；也可以用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。通常，由于数学学习是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转变成自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的最基本的方式。但是，由于学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较简单、数学知识比较贫乏而具体，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备，这时他们就只能采取概念形成的方式来学习。另一方面，随着年龄的增长，知识经验的不断丰富，学生所掌握的概念系统也从具体到抽象、从简单到复杂、从未分化到分化、从分散到统一地连续不断地获得发展，相应的，学生获得概念的方式也在发生变化。年龄越小，认知结构越简单而具