河北省承德市高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数导学案新人教A版选修1

1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.重点：利用导数的知识求函数的极值.难点：函数的极值与导数的关系.方法：合作探究一新知导学1 .如图是函数y=f(x)的图象，在x=a邻近的左侧f(x)单调递,f'(x)0,右侧f(x)单调递,f'(x)0,在x=a邻近的函数值都比f(a)小，且f'(a)0.在x=b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有,(e,f(e),与b类似的点还有.我们把点a叫做函数f(x)的极值点，f(a)是函数的一个极值；把点b叫做函数f

2、(x)的极值点，f(b)是函数的一个极值.2 .一般地，已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0,对于包含x0在内的开区间内的所有点x,如果都有,则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个;如果都有,则称函数f(x)在点x0处取得,并把x0称为函数f(x)的一个.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为3 .理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的点而言的.(2)极值点是函数的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点.(3)若f(x)在定义域a,b内有极值，那么f(x)在a,b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数极

3、值.(4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极值.(如图)(2)牛刀小试1 .函数y=x3+1的极大值是()A.1B.0C.2D.不存在2 .下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值3 .函数y=x36x的极大值为()A.45B.3心C.-3/2D.-4a/24 .函数y=2x315x2+36x24的极大值为,极小值为二例题分析例1求函数y=3x3x+1的极值.练习：设

4、函数f(x)=x3ax29x的导函数为f'(x),且f'(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.例2已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处的极小值为一1,试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间.练习：设函数f(x)=(xa)21nx,aCR.若x=e为y=f(x)的极值点，求实数a.例3右图是函数y=f.(x)的导函数y=f'(x)的图象，对此图象，有如下结论：在区间(一2,1)内f(x)是增函数；r在区间(1,3)内f(x)是减函数；OI23/45xx=2时，f(x)取到极大值；/2在x=3时，f(x)

5、取到极小值.其中正确的是(将你认为正确的序号填在横线上).练习：函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有一个极大值点、两个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点例4若aw0,试求函数f(x)=3ax3x2+a2x2+2ax的单调区间与极值.例5已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=1时有极值0,求常数a、b的值.三作业后记与感悟：一、选择题1. (2015杭州高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(-a,b)内的图象如图所示，则函数f(x

6、)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=()A. 2 或 2C. 1 或 13.设函数 f(x) =xex,贝U ()A. x= 1为f(x)的极大值点C. x=- 1为f (x)的极大值点B. 9 或 3D. 3 或 1B. x=1为f (x)的极小值点D. x= 1为f(x)的极小值点4 .函数y=ax3+bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为。和J则()3A. a-2b=0C. 2a+b=0、一一25 .设函数 f(x)=+lnx,则()xB. 2a-b=0D. a+2b=01A. x= 2为f

7、(x)的极大值点1B. *=为£(冲的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f (x)的极小值。点6.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9二、填空题7.函数f (x)-3x3+12一，一，2x2 +2x取得极小值时,x的值是58 .(2015陕西文)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.9 .若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是三、解答题10.设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切,若函数的极小值为一

8、4.(1)求a,b,c的值；(2)求函数的递减区间.答案aadddd17. 一18.y=一一e19.0<b%10.解析(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y'r=3x2+2ax+b,故0=3X02+2ax0+b,解得b=0.所以y=x3+ax：则y'=3x2+2ax.令y'=0,解得x=0或x=2a,3一一2，即x=0和x=-3a是极值点.由图象知函数在x=r0处取极大值,故在x=2Ya时取极小值.当x=,时，函数有极小值一4,所以(一|a)3+a(2a)2=-4,3整理得a=27,斛得2=3.故2=3,b=0,c=0.(2)由