数字黑洞的改良算法是本篇研究的问题

1、摘要 數字黑洞的改良算法是本篇研究的問題，目前國內科展關於此問題的最好結果可參考李光宇3, 民90的報告，由於李光宇是用分類的方法去找出需要檢查的數字，因此如何減少需要檢查的數字個數是研究的重點。本報告提出一個新的簡化分類方法達到減少檢查個數的目標，為了方便和李光宇3作比較，列表如下：n位數2345678910李光宇3檢查個數995655未列出未列出700多700多1405本報告檢查個數6621215656126126壹、 研究動機有一次上課時，老師跟我們講了一個數字黑洞的問題：他說任取一個二位數字；假設是12，將這個數的每位數字重新排列，得出最大數(即21)及最小數(即12)，然後將最大數減

2、最小數得出一個新數字；即21-1209 (因為要把9看成二位數)，接著對新數字09重複以上步驟；即90-0981，經過幾次的相減，就會發現不管開始選的數字是多少，最後都會進入了二位數的環狀黑洞(black hole)981 63 27 45。後來，我們找到李光宇3中，有關於二位數到十位數黑洞的證明。對於一個小學生，居然能做出這樣的結果，實在令人吃驚！不過，因為此篇報告中要檢查的數字實在不少，於是我們繼續著手研究是不是有更簡單的證明方法，能更有效率找出n位數的所有黑洞和規律，以減少計算的時間。貳、研究目的一、改良二位數到九位數黑洞的證明。参、研究設備及器材電腦、計算機、紙、筆肆、研究過程為了說明

3、的方便，需要規定下面的符號：定義一 所有的四位數abcd以abcd表示，在符號abcd加底線是避免有所誤會，因為abcd一般是代表a × b × c × d。但當a、b、c、d是數字0至9時，因不會搞混，所以書寫時不加底線，例如：3648。另外，abcd = a1000b100c10d1。定義二設abcd的四位數字a、b、c、d按大小排列後，得出的最大數為pqrs，而最小數為srqp，則abcd重排後最大數減最小數的差以符號Dabcd表示，可得Dabcd = pqrs - srqp。有時候，為了方便會把最大數減最小數的差稱為換序差。類似地，符號D(k)abcd表示

4、的是abcd重排後，計算k次換序差的值。因此，可知D(1)abcd = Dabcd例1：D5347 = 7543 - 3457 = 4086。例2：D(1)5347 = 7543 - 3457 = 4086。D(2)4086 = 8640 - 0468 = 6172。定義三 若Dabcd = abcd，則稱abcd是四位數的一個黑洞。類似地，若D(k)abcd = abcd，則會產生四位數的一個含k個數的環狀黑洞；以abcdD(1)abcdD(k-1)abcd表示。 我們新的簡化分類方法包含下列步驟，以二位數為例：步驟一：因為a、b如果相同，可得Dab = Dba，所以可知取ab計算就已經包含

5、所有情形。步驟二：取r(ab)，則可得DabDr0，其中r = 0 9。步驟三：利用r的對稱性質，將需計算的r值減為0 6。 此方法在位數較小時，減少計算的個數還不顯著，但在八位數之後至少會減少5分之1以上的計算個數。定理一每位數字不全相同的二位數，其黑洞只有981632745。證明：步驟一設ab是一個每位數字不全相同的二位數(其中a、b是數字0至9)，很明顯地，取ab計算Dab就已經包含所有二位數字的情形了。因ab，可知Dab = abba = a10b1b10a1 = (ab)10(ab) = (ab)00(ab) ，設r(ab) = r00r = Dr0如上，可知計算Dab計算Dr0。步

6、驟二 又9 r 0，所以我們將r分成兩種情況繼續運算：情況一：若r0，則D0000000情況二：若r0由9r1可得Dr0r00r(r1)(10r) ；如第1式第1式觀察下表r123456789Dr0組成數字(r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr0的組成數字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同因此，只須計算r1 5的情形，共計有5 (種)。步驟三由上可知，只要討論1156種情形，即可找出二位數的黑洞。由於資料較多，以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理二每位數字不全相同的三位數，其黑洞

7、只有495。證明：步驟一 設acb是一個每位數字不全相同的三位數(其中a、c、b是數字0至9)，很明顯地，取acb計算Dacb，就已經包含所有情形的Dacb了(此假設是為了突顯出三位數與二位數必須檢查的數字個數是一樣多的！)。因acb，可知Dacb = acbbca = a100c10b1b100c10a1 = (ab)100(ab) = (ab)0000(ab) ，設r(ab) = r0000r = Dr00如上，可知計算Dacb計算Dr00。步驟二 又9 r 0，所以r的情形與二位數一樣，只需再討論下列兩種情況即可：情況一：若r0，則D0000000000情況二：若r0由9r1可得Dr00

8、r000r(r1)9(10r) ；如第2式第2式觀察下表r123456789Dr00組成數字(r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr00的組成數字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同因此，只須計算r1 5，有5 (種)步驟三計算1156種情形(與二位數相同)，即可找出找三位數的黑洞。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理三每位數字不全相同的四位數，其黑洞只有6174。證明：步驟一 設abcd是一個每位數字不全相同的四位數(其中a、b、c、d是數字0至9)，很明顯地，取abcd的a、b、

9、c、d計算Dabcd，就已經包含所有情形的Dabcd了。因abcd，可知Dabcd = abcddcba = a1000b100c10d1d×1000c100b10a1 = (ad)1000(bc)100(bc)10(ad) = (ad)(bc)0000(bc)(ad) ，取r(ad)、s(bc) 可得rs = rs0000sr = Drs00如上，可知計算Dabcd計算Drs00。步驟二又9 r s 0，所以我們把r、s的組合分成三種情況，繼續第二次運算：情況一：若r0，可得s0，則D0000000000000情況二：若r0且s0由9r1可得D r000r000000r(r1)99

10、(10r)；如第3式第3式觀察下表r123456789D r000組成數字= (r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr000的組成數字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r1 5即可，共有5 (種)情況三：若r0且s0由9rs1可得D rs00rs0000srr(s1)(9s)(10r) ；如第4式第4式觀察下面兩個表r123456789D rs00組成數字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rs00的組成數字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的

11、(左右對稱r5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r1 5即可s123456789D rs00組成數字= (s1)、(9s)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rs00的組成數字(s1)、(9s)在s1 4和s6 9是相同的 (左右對稱s5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算s1 5且sr即可因此r1 5、s1 5且sr組合共有×5×615 (種)。步驟三由上可知，要討論1151521種情形，便可找出四位數所有的黑洞。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理四每位數字不全相同的五位數，其黑洞有3個：5-1C2：

12、53955599945-2C4：619748296275933639545-3C4：62964719738395274943證明：步驟一 設abecd是一個每位數字不全相同的四位數(其中a、b、e、c、d是數字0至9)，相同地，取abecd時的Dabecd，就已經包含所有情形的Dabecd了。(此假設是為了突顯出五位數與四位數必須檢查的數字個數是一樣多的！)因abecd，可知Dabecd = abecddceba= a10000b1000e100c10dd10000c1000e100b10a= (ad)10000(bc)1000(bc)10(ad)= (ad)(bc)000000(bc)(ad

13、) ，取r(ad)、s(bc) 可得rs= rs000000sr= Drs000步驟二因9 r s 0與四位數相同，所以仍把r、s的組合分成三種情況，繼續第二次運算：情況一：若r0，可得s0，則D0000000000000000情況二：若r0且s0由9r1可得D r0000r00000000r(r1)999(10r)；如第5式第5式觀察下表r123456789D r0000組成數字= (r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr0000的組成數字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r1 5即可，共

14、有5 (種)情況三：若r0且s0由9rs1可得D rs000rs000000srr(s1)9(9s)(10r)；如第6式第6式觀察下面兩個表r123456789D rs000組成數字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rs000的組成數字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的 (左右對稱r5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r1 5即可s123456789D rs000組成數字= (s1)、(9s)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rs000的組成數字(s1)、(9s)在s1 4和s6 9是相同的 (左右對稱

15、s5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算s1 5且sr即可r1 5、s1 5組合共有×5×615 (種)步驟三由上可知，討論1151521種情形(與四位數相同)，再從新討論一次即可。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理五每位數字不相同的六位數，其黑洞有3個：6-1C1：5499456-2C1：6317646-3C7：420876851742750843840852860832862632642654證明：步驟一相同地，設abcdef是一個每位數字不全相同的六位數(其中a、b、c、d、e、f是數字0至9)，取abcdef計算Dabcdef計算Dr

16、st000(如下，取r(af)、s(be)、t(cd)即可包含所有的情形。Dabcdef abcdeffedcba(af)×105(be)×104(cd)×103(cd)×102(be)×10(af)(af)(be)(cd)000000(cd)(be)( af)取r(af)、s(be)、t(cd) 可得rstrst000000tsrDrst000步驟二因9 r st0，我們把r、s、t的組合分成四大類，繼續第二次運算：情況一：若r0，可得rs0，則D0000000000000000000情況二：若r0且s0，可得t0。與五位數情況二相同，計算r

17、1 5即可有5 (種)情況三：若r0且s0且t0。與五位數情況三相同，計算r1 5、s1 5且sr。有15 (種)情況四：若r0、s0且t0，由9rst1可得D rst000rst000000tsrr s (t1)(9t)(9s)(10r) ；第7式第7式觀察下面三個表r123456789D rst000組成數字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rst000的組成數字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的 (左右對稱r5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r5 9即可(此修改是配合下一表中s的計算範圍！)s123456789D rs

18、t000組成數字= s、(9s)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rst000的組成數字s、(9s)在s1 4和s5 8是相同的 (左右對稱s4.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算s5 9且sr即可t123456789D rst000組成數字= (t1)、(9t)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rst000的組成數字(t1)、(9t)在t1 4和t6 9是相同的 (左右對稱t5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算t5 9且tsr即可有=() =(×6×11×5×6)(5

19、515) = 35 (種)步驟三由上可知，要討論115153556種情形。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理六每位數字不相同的七位數，其黑洞只有1個：75098439529641871972286494327519743842965276197338439552證明：步驟一設abcgdef是一個每位數字不全相同的七位數(其中a、b、c、g、d、e、f是數字0至9)，取abcgdef計算Dabcgdef計算Drst0000(取r(af)、s(be)、t(cd)即可包含所有的情形。(此假設是為了突顯出七位數與六位數必須檢查的數字個數是一樣多的！)步驟二因9 r st0，r、s、t的

20、組合與六位數相同，第二次運算的情形也與六位數相同：情況一：若r0，可得rs0，則D0000000000000000000000情況二：若r0且s0，可得t0。與六位數情況二相同，計算r1 5即可有5 (種)情況三：若r0且s0且t0。與六位數情況三相同，計算r1 5、s1 5且sr即可有×5×615 (種)情況四：若r、s0且t0，與六位數情況四相同，計算r5 9、s5 9、t5 9且tsr即可有= 35 (種)步驟三由上可知，討論115153556種情形。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理七每位數字不相同的八位數，其黑洞只有4個：8-1C1：6331766

21、48-2C1：975084218-3C3：6430865483208762865264328-4C7：43208766853176427530864384308652863086328632663264326654證明：步驟一設abcdefgh是一個每位數字不全相同的八位數(其中a、b、c、d、e、f、g、h是數字0至9)，取abcdefgh計算Dabcdefgh計算Drstu000(取r(ah)、s(bg)、t(cf)、u(de)即可包含所有情形。步驟二因9 r stu0，我們把r、s、t、u的組合分成四種情況，繼續第二次運算：情況一：若r0，可得rsu0，則D000000000000000

22、0000000000情況二：若r0且s0，t0，u0，種數和六位數情況二相同，皆為5(種)情況三：若r0且s0且t0且u0，種數和六位數情況三相同，皆為15(種)情況四：若r0、s0且t0且u0，種數和六位數情況四相同，皆為35(種)情況五：若r0、s0且t0且u0，由9rstu1可得D rstu0000rstu00000000utsrrst(u1)(9u)(9t)(9s)(10r) ；第8式第8式觀察下面四個表r123456789D rstu0000組成數字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rstu0000的組成數字r、(10r)在r1 4和r6 9

23、是相同的 (左右對稱r5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算r5 9即可(此修改是配合下一表中s的計算範圍！)s123456789D rstu0000組成數字= s、(9s)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rstu0000的組成數字s、(9s)在s1 4和s5 8是相同的 (左右對稱s4.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算s5 9且sr即可t123456789D rstu0000組成數字= t、(9t)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rstu0000的組成數字t、(9t)在s1 4和s5 8是相同的 (左右

24、對稱t4.5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算t5 9且tsr即可u123456789D rstu0000組成數字= (u1)、(ut)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rstu0000的組成數字(u1)、(9u)在t1 4和t6 9是相同的 (左右對稱u5)第2次計算最大數最小數時，新得出的換序差會相同計算u5 9且utsr即可有=×(r4)(r3)(2r7)×(r4)(r3) =×2(r4)(r3)(r2)=×(r4)(r4)23(r4)2 =×(r4)33(r4)22(r4)=3×

25、15;6×116×5=(15216530) =70步驟三由上可知，驗算115153570126種，即可找出八位數所有的黑洞。以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 定理八每位數字不相同的九位數，其黑洞只有3個：9-1C1：5549994459-2C1：8641975329-3C14：762098733964395531863098632965296431873197622865395432753098643954197541883098612976494321874197522865296432763197633844296552證明：步驟一設abcdiefgh是一個

26、每位數字不全相同的九位數(其中a、b、c、d、i、e、f、g、h是數字0至9)，取abcdiefgh計算Dabcdiefgh計算Drstu0000(取r(ah)、s(bg)、t(cf)、u(de)即可包含所有情形。(此假設是為了突顯出九位數與八位數必須檢查的數字個數是一樣多的！)步驟二因9 r stu0， r、s、t、u的組合與情況都與八位數相同：情況一：若r0，可得rsu0，則D0000000000000000000000000000情況二：若r0且s0，t0，u0，種數和八位數情況二相同，皆為5(種)情況三：若r0且s0且t0且u0，種數和八位數情況三相同，皆為15(種)情況四：若r0、s

27、0且t0且u0，種數和六位數情況四相同，皆為35(種)情況五：若r0、s0且t0且u0，種數和六位數情況五相同，皆為70(種)步驟三由上可知，驗算115153570126種(與八位數相同)，即可找出九位數所有的黑洞，以下關於要檢查數字的換序差計算請參考附錄一。 伍、研究結果將李光宇3證明中需檢查的數字個數減少，為了方便和作比較，列表如下：n位數2345678910李光宇3檢查個數995655未列出未列出700多700多1405本報告檢查個數6621215656126126陸、討論李光宇3中指出若要找出十位數的所有黑洞，需檢查1405個十位數才能確定。但是使用我們的新方法，初步計算只要檢查252

28、個。接下來的工作，就是把本報的方法寫出程式來計算(畢竟用計算機還是很累！)，才有可能作出超越李光宇3的結果。不過，撰寫程式目前對我們來說，還是超出能力很多，希望接下來的一年，可以克服此困難。柒、參考資料及其他1.張兆嘉（民67）。中華民國第18屆中小學科學展覽會，高中教師組數學科作品6174 （312-319頁）。臺北市：國立科學教育館。2.謝欣芝、王惠珊、黃國順、張嘉珮（民83）。中華民國第34屆中小學科學展覽會，國中組數學科作品三位數的討論。（108-115頁）。臺北市：國立科學教育館。3.李光宇（民90）。中華民國第41屆中小學科學展覽會，高小組數學科作品數字黑洞。臺北市：國立科學教育館

29、。4.鄒宗辰、陳磐琳、游惠鈞、潘彥甫（民92）。中華民國第43屆中小學科學展覽會，國中組數學科作品數的黑洞。臺北市：國立科學教育館。附錄一 n位數的換序差計算表二位數(6種)項次Dr0=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=710000002109816327459320186327459816343027459816327540362745981632765045981632745三位數(6種)項次Dr00=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=710000000002100998917926935944954953200198792693594495495430029769359449

30、549554003965944954956500495495四位數(21種)項次Drs00=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8100000000000025000499553551998808285326174617434000399662644176617461744300029977173635430878352617461745200019988082853261746174610009998991808285326174617475500544510899621835261746174854005355199880828532617461749530052653996626441766174617410520051755994535519988082853261746174115100508579927173635430878352617461741244004356308783526174617413430042664176617461741442004176617461741541004086817274433996626441766174617416330032675265399662644176617461741732003177635430878352617