模糊图像的盲去卷积算法

1、模糊图像的盲去卷积算法肖宿 韩国强 沃焱（华南理工大学计算机科学与工程学院 广州 510006）摘要 贝叶斯框架下图像统计模型的选取和先验模型的建立,对于图像盲去卷积算法结果的优劣具有重要的影响.总变分模型是目前使用较多的先验模型,其优点是突出的边缘保持能力.而总变分模型的缺点也是比较明显的,它会给恢复的图像带来阶梯效应,产生虚假的边缘,边缘的去噪效果不理想.同时,作为非线性模型,它还会降低算法的效率和提高算法的复杂度.为了解决以上问题,文中引入Sobolev图像空间模型用于图像的盲去卷积.该模型提高了算法的速度,降低了算法的整体复杂度,避免了阶梯效应和虚假边缘的出现.在用变分近似的方法估计最

2、优解时,变分准则的选取很重要,而常用的基于Kullback-Leibler测度的准则有时会使计算变得复杂.本文提出了一种新的变分准则,它有效地简化了计算,提高了算法的速度.实验结果证明了本算法的有效性,在算法简化速度提升的同时,图像的盲去卷积取得了令人满意的效果.关键词 图像盲去卷积;贝叶斯方法;变分准则;先验模型;参数估计中图分类号: TP751.1文献标识码: A Blind Deconvolution Algorithm of Blurred ImagesXiao Su Han Guoqiang Wo Yan(School of Computer Science and Engineer

3、ing, South China University of Technology, Guangzhou 510006)Abstract The selection of image statistical models and the construction of image prior models have important effects on the results of blind image deconvolution algorithms under Bayesian framework. Currently, the total variation model is a

4、commonly used prior model which has the outstanding virtue that it can preserve edges well. However, it has its obvious drawback that it brings restored images the staircase effect, fake edges and sometimes bad results of denoising at the image edges. Meanwhile, as a nonlinear model, the total varia

5、tion model will reduce the efficiency and increase the complexity of the algorithms. In order to solve the problems mentioned above, the Sobolev image space model is introduced to the blind image deconvolution. This model can increase the speed and reduce the overall complexity of the proposed algor

6、ithm without the staircase effects and the fake edges. Its important to select the proper variational criterion, when the variational method is used to obtain the optimal estimation, while the commonly used Kullback-Leibler divergence based criterion will sometimes make the calculations more complic

7、ated. This paper presents a novelty variational criterion which simplifies the calculations in the proposed algorithm and increases the speed of the algorithm. The experimental results show the validity of the presented algorithm which obtains the satisfied results in the image blind deconvolution w

8、ith the simplification and the acceleration of the algorithm.Keywords blind image deconvolution; Bayesian methods; variational criterion; prior models; parameter estimation线性系统信号盲分离问题的研究由来已久,在图像恢复领域,由于图像的退化过程通常由线性系统模型来描述,而且模型中与原始图像卷积的点扩散函数(PSF, point spread function)往往是未知的,因此信号盲分离技术也越来越多地应用于图像恢复问题,被

9、称为图像盲去卷积算法.目前,图像盲去卷积算法主要分为两大类:基于贝叶斯框架的随机性(stochastic)方法1-5和非贝叶斯框架的确定性(deterministic)方法6-10.确定性方法可以看作带约束的最小化问题,这些约束可以是原始图像的亮度保持假设,点扩散函数的平滑估计等;随机性方法把未知的变量看作是随机变量,借助统计学的理论,利用图像的统计特性和成像系统的先验知识来求解盲去卷积问题.相对确定性的方法,随机性方法可以利用已有的模型和引入先验假设来帮助问题的求解.在问题的推导过程,它可以根据不同的情况,灵活地选择推导方法.目前,常用的贝叶斯推导方法主要有11:最小均方误差法,隐变量法(h

10、idden variables),最大后验概率法,抽样法(sampling methods)和变分法(variational methods)等.其中,变分法因其适用的范围广且对问题求解的效果较好,越来越多地被用于贝叶斯框架下问题的推导.从以上的讨论可知,对基于贝叶斯框架的随机性方法而言,其重点在于先验模型的建立以及推导方法选择.针对本文提出的随机性算法,文中使用Sobolev图像空间模型12来描述原始图像和点扩散函数.同时基于共轭先验13的考虑,采用gamma分布作为未知参数的分布模型.变分法求解最优估计问题的重点在于变分准则的选取,基于已有的kullback-Leibler散度准则14,本

11、文提出了一种新的变分准则.在新的准则下,原始图像和点扩散函数的贝叶斯推导过程变得更简单有效.1 先验模型的建立成像系统在成像过程中,不可避免会受到一些退化因素的干扰,这些因素使得观察图像不能正确反映客观的场景,图像恢复的目的就是获得反映客观场景的"真实图像",退化过程通常由线性系统模型来描述.标准的退化模型定义如下:其中,表示卷积;,和分别表示观察图像,原始图像和噪声.它们的支撑域均可定义为,和属于正整数;即上文提到的"真实图像"是具有线性平移不变(shift-invariant)特性的点扩散函数,其支撑域可以定义为,和属于正整数.通常,和要远小于和;本

12、文从实际问题出发,不考虑噪声的存在,则公式(1)的模型用向量-矩阵(vector-matrix)的形式重新定义为:其中,和是的向量,分别由以上定义的观察图像,原始图像和噪声以字典顺序(lexicographically)按列排列而成的;表示的卷积矩阵,是通过循环平移形成的.贝叶斯框架下,未知变量和随机过程都可以看作是随机变量,随机变量是以它们的分布函数来描述的.在图像处理领域,常用高斯分布来描述图像的统计分布特性.观察图像的形成可以看作是一个随机过程,且这个过程是依赖于原始图像和点扩散函数的,因此本文用高斯概率函数来表示其概率分布.点扩散函数也可以形成一幅图像,可以认为它是属于图像的范畴.对于

13、未知的原始图像和点扩散函数,本文同样采用高斯函数作为其概率分布函数.定义分布函数最重要的原因是,可以通过分布函数引入一些重要的先验模型来求解图像的盲去卷积问题,这些模型与图像的特性有关,针对问题本身的求解而言,它们的影响是非常重要的.因此,先验模型的选择是盲去卷积问题求解的关键,也是本文讨论的重点.,和作为分布函数的参数,可以约束先验模型,调整先验模型的作用,控制问题的求解.对于这些未知的参数,通常认为它们是符合特定分布的随机变量.1.1观察模型观察模型的建立是基于数据保真度约束的,即对噪声没有任何先验知识或不考虑噪声的情况下,由退化模型获得的原始图像估计值,使得尽可能接近观察图像,接近程度通

14、常用和之间的欧氏距离来度量.因此,在观察图像的高斯分布函数中引入观察模型后,观察图像的分布函数定义表示如下:或者其中,的定义如公式(2);是的卷积矩阵,由循环平移形成.1.2原始图像的先验模型贝叶斯框架下,图像盲去卷积效果的优劣主要依靠图像的先验模型.建立图像先验模型理论有很多,常见的有信息熵理论,随机场理论,几何模型理论,有界变分(BV, bounded variation)理论等.有界变分理论目前受到比较多的关注,其应用最成功的模型就是总变分(TV, total variation)模型.总变分模型的特点是可以有效地保持图像的边缘信息,但它的缺点也是很明显的.由于TV模型是"分片

15、常数的",因此用作图像的先验模型,会给恢复的图像带来阶梯效应15.另外,TV模型是各项异性扩散的(anisotropic)有时会给恢复的图像带来"虚假边缘".此外,它对梯度比较大的区域惩罚作用较小,这样会使得某些情况下其除噪效果不是很理想.因TV模型的不可微分性(non-differentiability)5,从计算成本和算法的速度出发,它相比一些常用的平滑先验模型处于劣势.为避免以上问题的出现,本文采用Sobolev图像空间理论来建立图像先验模型.在Sobolev空间理论中,基于范数的调和模型(harmonic model)是使用最多的模型,属于平滑模型,在众多

16、平滑模型中,其边缘保持能力较强.调和模型是可微的,因此它可以把最优估计问题转化为求解线性系统方程问题.所以,调和模型作为图像的先验模型可以提高算法速度,降低算法复杂度.在原始图像的高斯概率分布函数中引入调和先验模型后,可以建立如下的表达式:其中, ;和分别表示水平和竖直的一阶差分算子.令表示原始图像位置的像素,属于图像的支撑域,则表示减去其左边最邻近像素的灰度值,表示减去其上边最邻近像素的灰度值;，是分布函数参数,作为随机变量,其概率分布模型将稍后给出.1.3 点扩散函数的先验模型通常认为点扩散函数的图像是不具有明显边缘的,即点扩散函数的支撑域是相对较平滑的,因此用平滑模型作为点扩散函数的先验

17、模型是合适的.常用的平滑模型包括了高斯模型,拉普拉斯模型,自回归模型(AR, autoregressive model)等,但这些模型会使得点扩散函数的支撑域过于平滑,它们会平滑掉支撑域中那些不明显的边缘,对于准确地估计模糊而言是不利的.为了避免以上问题出现,本文用Sobolev空间的调和模型作为点扩散函数的先验模型.因此,点扩散函数的高斯概率分布函数可定义如下:其中,;在此通过外围补零的方式,将点扩散函数的支撑域由扩展到,以方便计算;和分别表示水平和竖直的一阶差分算子,其定义同上;,是分布函数参数,作为随机变量,其概率分布模型将稍后给出.1.4 参数的概率分布模型未知变量,和既可以看作是常数

18、,直接赋给它们某个固定值;也可以把它们当作随机变量.后者相对于前者的好处是,未知的原始图像和点扩散函数都是依赖这些变量的,对于这些参数的选择如果可以利用融入更多的先验知识,将更有利于图像盲去卷积问题的求解.因为贝叶斯框架下,先验知识越完备,图像盲去卷积的效果越好,这正是本文把,和当作随机变量的原因.根据共轭先验的理论,未知参数的先验概率分布和后验概率分布属于同一种分布,即忽略表达式中的常数系数,先验概率分布模型和后验概率分布模型的表达式应该是相同的,gamma分布正好可以满足共轭先验的要求.因此,文中使用gamma分布作为未知参数的概率分布模型,其表达式如下:其中, ,它们均是某一给定的常数;

19、,代表未知参数;2图像盲去卷积算法在贝叶斯框架下,图像盲去卷积就是利用观察图像来估计原始图像,点扩散函数和未知的参数,即求解最大的后验概率.由条件概率公式:其中, 表示未知参数集合. .从公式(8)可推知,给定观察图像,最大后验概率推导就等同于对最大联合概率的推导,即求解使最大的,和.对联合概率的计算有两种方式:精确计算和近似计算.通常情况下,精确计算获得的精度提升,相比于计算代价的提升和时间的耗费不成正比.而且在某些情况下,的精确计算是不可行的16.因此,通常采用近似计算的方法来求解此类问题.使用近似的方法还有一个好处,它可以让计算过程变得更简单.常用的近似方法中,变分法越来越多地被应用到各

20、类问题的求解,并且取得了较好的效果17.在变分近似的算法中,变分准则(variational criterion)的选取很重要,变分准则用来度量近似值与准确值之间的差异程度.变分法的推导过程主要是基于变分准则最小化,因此变分准则的选取决定了算法的推导过程.基于Kullback-Leibler散度的变分准则可以准确的反映分布函数与其及近似值之间所包含信息的差异程度,越来越多的算法引入Kullback-Leibler散度作为变分准则,并取得了不错的效果.但是有时Kullback-Leibler散度会使计算变得比较繁琐,尤其对本文而言会降低算法执行的效率.因此,本文基于Kullback-Leible

21、r散度的思想,提出了一种简化的差异度量函数作为变分准则,它的定义如下:其中,是未知变量的集合, 的定义如公式(8); ,即为的近似值.为了保证距离,定义,即是的下界.显然,距离函数最小时,为最优解.因此,的最优估计可由如下公式求得:根据公式(10),对于集合中的任意一个未知变量,其近似概率的最优估计可以定义如下:其中,代表集合中的某个元素,表示其近似概率;表示集合中除去某一元素后,剩下元素组成的集合,比如:时,.这样,未知变量的最优估计可以通过进一步求得,即:综上所述,本文求解图像盲去卷积问题的框架如下:图1 图像盲去卷积算法框架图根据图1的框架,以及公式(11)和(12),本文的交替最小化迭

22、代算法描述如下:设定初始值,;,直到迭代终止第一步:由公式(11)计算,和: 其中, ,用于指代,;const表示任意常数,忽略其存在不影响最优化问题的求解;, 表示,和组成的参数集合;,和以此类推.第二步:根据公式(12),对第一步求得的,和进一步计算,以获得,和:已知:可得:则和的求解可以此类推.其中,公式中的上标表示转置;, 为给定常数,的定义如公式(7).参数估计的不确定性,估计值与总体参数是存在一定误差,这个误差在允许范围的概率用置信度表示.本文引入置信参数的概念18,由公式(23)-(26)中参数的近似表达式,可得:其中,;表示置信参数,其取值范围属于.调整置信度可以调整参数估计值

23、的误差范围,使参数估计更准确.;的定义如公式(7).3 实验结果本文进行三组对比试验,参与比较的算法包括MM算法5与本文提出的算法,每组实验均以256×256的标准图像Lena和Cameraman为原始图像.第一组实验,使用大小为5×5,方差为9的高斯模糊作用于Lena和Cameraman图像,分别用MM算法和本文提出的算法对模糊图像进行去卷积,其数值结果和Lena图像实际的去卷积效果如表1和图2(c),(d)所示;第二组实验,使用大小为5×5的均匀模糊作用于Lena和Cameraman图像,分别用MM算法和本文的算法对其进行去卷积,对比的数值结果如表2所示;第三

24、组实验,使用尺度为9,方向角度为45的运动模糊作用于Lena和Cameraman图像,分别用MM算法和本文的算法对其进行去卷积,对比的数值结果如表3所示.表1,表2和表 3中用信噪比(SNR, signal-to-noise ratio)作为算法评价的标准. MM算法的每次迭代, 都要用共轭梯度(CG, conjugate gradient)法来估计原始图像,因此表1,表2和表3中MM算法的迭代次数用平均CG迭代次数来表示.算法的时间耗费,需视软硬件的情况而定.表中列出的算法运行时间,是在操作系统为Windows XP SP2,算法程序的运行环境为Matlab2009a,机器硬件配置为Inte

25、l Duo T2450 CPU,2G内存的情况下得到的.本文算法初始参数的选择如表4所示.表1 第一组对比实验的结果Lena图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法20.326253.61本文算法21.9780.88Cameraman图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法19.604656.28本文算法19.14111.18 (a) 原始图像 (b) 模糊的原始图像 (c) MM算法恢复结果 (d) 本文算法恢复结果图2 第一组实验Lena图像去卷积效果图从图2可以看出,MM算法对图像去卷积后,任能较好的保持图像的边缘.但是,作为一种基于非均匀扩散

26、模型的算法,它会给恢复的图像带来阶梯效应和虚假的边界.主要原因是非均匀扩散模型是分片常数的,而且在平滑区域它也是各项异性扩散的,会破坏平滑区域的连续性.通过合理选择参数可以一定程度上解决以上问题的出现;本文提出的算法也能较好地保持图像边缘的信息,并且不会产生阶梯效应和虚假边界.但是,在图像不连续的区域附近不可避免地出现Gibbs伪影20(Gibbs artifacts).这是因为,图像通常是分片平滑的,作为基于平滑模型的算法,本文提出的算法不可避免地会使图像边缘及边缘周围的区域变得较平滑.而且迭代的次数和参数的选择,都有可能造成伪影.因此,通过参数的合理选择,或者引入一些抑制Gibbs伪影的算

27、法可以一定程度上解决这个问题.表2 第二组对比实验的结果Lena图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法20.315753.41本文算法28.8650.78Cameraman图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法19.186065.50本文算法26.86101.18表3第三组对比实验的结果Lena图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法22.264751.55本文算法21.60352.28Cameraman图像恢复结果算法SNR (dB)迭代次数时间耗费(秒)MM算法21.915360.30本文算法20.41372.32表4

28、本算法初始参数的选择第一组实验Lena2.60×1035.80×1033.80×1032.96×1020.880.850.780.65Cameraman1.72×1031.15×1031.55×1031.20×1030.921.000.720.80第二组实验Lena1.25×1068.30×1052.23×1034.30×1040.920.860.770.85Cameraman2.55×1072.33×1063.00×1046.50×1

29、030.790.981.000.74第三组实验Lena4.00×1024.30×1023.00×1022.20×1021.001.001.001.00Cameraman1.90×1023.50×1032.26×1033.43×1051.001.000.890.63本文算法的每步迭代都是在求解线性方程组,方程组中计算的类型也仅限于加,减,点乘和点除.而且,都已知的常数矩阵,未知参数,和都是通过矩阵,求解,因此计算所涉及的未知变量实际上只有和.新的变分准则的引入,计算过程的得到了简化,不会出现如和这样带有循环分块的分块

30、循环矩阵19(BCCB, block circulant matrix with circulant blocks).因此,算法的计算负担相对较小.包括卷积在内的所有运算都在傅里叶域中进行,算法的速度可以得到进一步的提升.4 结语本文提出一种用于图像盲去卷积问题的有效算法,原始图像和点扩散先验模型的选择,给算法带来的效率的提升和复杂度的降低.调和模型虽然属于平滑模型,但是本文通过合理地选择参数的,避免了细节的丢失问题.同时,一种新的变分准则的使用,更进一步提升了算法的速度.实验结果显示了本算法的优点,在较少的迭代次数和较少的时间耗费下,无论数值结果还是视觉效果都令人满意.参考文献：1A. To

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