数学教学中形成认知冲突的策略

1、 现代认知理论认为,学生学习数学的过程实际上就是数学认知的过程。由于学生数学知识结构 和心理结构的欠缺,当学生把教材知识结构化成自己的数学认知结构时,会发生认知冲突。所谓认 知冲突是一个人已建立的认知结构与当前的学习情境之间暂时的矛盾和冲突,是已有知识和经验与 新知识之间存在某种差距而导致的心理失衡。在课堂教学中,教师应设置认知冲突,让课堂焕发出 生命活力,唤起学生对学习的内在需求,在学生的脑海中产生认知冲突,促使学生对学习知识产生 强烈的兴趣,提高学习效率的目的。1、创设情境,透发认知冲突教师在教学过程中,根据特定的知识内容和教学目标,通过创设问题情境,将学生已有知识经 验与新知识联系起来。

2、创设的情境要能激发学生的认知冲突,造成学生心理的悬念,唤起学生的求 知欲,把学生带入一种与问题有关的情境中去,进行有效地学习。如在“垂径定理的推广及应用” 的教学中,先创设如下情境:一位老奶奶不慎把一个圆形的玻璃台板敲破了,还剩下如图 1所示的 一大块,她很想配一块与原来同样大小的玻璃台板。你能否设法帮她画出一个与原来台板一样大的 圆吗?画圆的关键是如何利用剩下的这块玻璃找到原台板的圆心。找圆心的方法与学生原有知识和 经验会产生暂时的的认知冲突,使学生感到原有知识的不完整性,从而对所学的新知识产生浓厚的兴趣,为新课的讲授做了很好的情感和心理铺垫,会大大提高课堂的教学效果。2、找“结合点” ,激

3、发认知冲突研究表明:在“新旧知识结合点”上产生的问题,最能激发学生的认知冲突。教师通过分析学 生已有的知识结构、经验和教材内容,发掘“结合点” ,有针对地通过创设情境、设计问题,利用新 旧知识的差异,使学生处于心欲求而不得,口欲言而不能开的“愤” 、 “悱”状态,激起学生的认识 冲突。新概念的出现往往是“新旧知识的结合点” 。如在“实数”教学中,教师先举例:若一个正方 形的边长是 1cm ,则它的对角线是多少?学生很快得出 2cm 的结果。再问:2是什么数?当学 生将 2与已学过的有理数范围内的数的概念进行对比时,会产生认知冲突,也会在心理上产生求 知的迫切性。在此基础上,教师再引入无理数的概

4、念,学生将终身难忘。3、激起矛盾,制造认知冲突充分利用和挖掘教材中的矛盾因素和学生的思维误区,以副有挑战性、探索性且处于学生认知 结构的最近发展区的问题素材,把学生置于矛盾氛围中,使学生产生解决矛盾的迫切的心理需求, 图 1从而激起认知冲突。如在“全等三角形判定”的教学中,在学习 “ SAS ”的判定后,教师组织学生 讨论:有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?即“ SSA ”能否判定两个三角形全 等?虽然同样有“两边一角” ,但是由于相对位置的改变,学生在认知中会产生冲突。然后,教师要 求学生完成下题(作思维铺垫 :画出 ABC ,使 A=30°, AB=3cm, BC

5、=2 cm。问:这样的三角形 能画几个,你能得出怎样的结论?再让学生按 A 是锐角、直角、钝角的三种情况进行分类讨论, 学生通过画图探索和推理,分析“ SSA ”的各种全等与否的情况,让学生始终处于认知冲突之中, 不断提供新的刺激因素。这样会加深学生对三角形全等判定定理的深刻理解,使学生的思维更加严 谨和辨证,同时也培养了学生探究能力和分类思想。4、设置陷阱,暗设认知冲突利用数学知识结构中的模糊点,易错点或肓点,设置相应的知识陷阱,引诱学生落入其中,再 将学生从中“救起”或引导学生进行“自救” 。此举对“纠错”或“究错”十分有效。如在“韦达定 理” 教学中, 教师设置下题让学生解答:已知 a

6、、 b 是方程 x 2+6x +4=0的两个根, 求 a a b +b b a 的值。由于多数学生容易疏忽了对 a 、 b 符号的讨论,误以为 a 、 b 是正数,求得结果为 4。教师追问 a 、 b 是什么数?如何判断?让学生自己反省和纠错。又如在“等比性质”的教学中,教师让学生求 解:已知 k cb a b c a a c b =+=+=+,求 k 的值。学生由于疏忽等比性质中的附加条件,求得 k =2。 然后教师组织学生重温等比性质,分析错因,探究正确求解的方法及应注意的问题等,引导学生对 知识、思想方法和解题过程进行反思和提炼,使学生更加完善地掌握和运用知识。5、隐含条件,挖掘认知冲突

7、数学题目中,多数已知条件是显性的,但有些条件是隐含在题目的文字、式子和图形中,需要 学生用敏锐的目光去察觉,用严谨的思维去仔细分析,善于抓住知识的要点和结构特征,才能发掘 隐含条件。但往往由于学生没有及时发现隐含条件,导致中途“卡题”或出错。利用隐含条件是形 成学生认知冲突的有效策略,会让学生产生“山穷水复疑无路”的迷茫,激发学生探究和发现问题 的迫切愿望。然后,教师引导学生再次审题,反思解题过程,给学生指点迷津,让学生找到解题的 突破口,使学生产生 “柳暗花明又一村”的畅快。如在“二次根式”的教学中,教师为了让学生更 深入地理解二次根性的性质,可举下列:化简 442+-x x -(32-x

8、2,若学生没有发现 2x -3 0的隐含条件,那么必错无疑。教师让学生用 x =0代入原式尝试,会出现如何结果?此时, 也许会“一语惊醒梦中人” 。这样能优化学生的解题思路,帮助学生掌握严谨的思维方式,养成良好 的审题习惯,培养学生的洞察力。6、变向思维,萌发认知冲突数学是思维的体操。 在数学课堂教学中, 教师应注重对学生思维方式的引导, 使学生形成多向、 灵活善变的思维,避免学生用一种习惯固定的思维方式去思考问题,尤其是不要轻易地将方法和结 论施加给学生,而应鼓励学生放开思路,从不同的角度思考问题,寻找解决问题的捷径,有利于提 高学生的思维水平。 例如 “韦达定理” 教学中, 有如下一个问题

9、:已知关于 x 的方程 x 2-2K x+k2+2k+1=0至多有 一个负数根,求实数 k 的取值范围。如果学生分有唯一个负等根、一个正根一个负根、两个 正根、无实根几方面讨论,那么不仅解题过程烦琐,而且容易出错。这时教师引导学生采用逆向思 维思考问题,即 至多有 一个负数根的反面是至少两个负数根,而一元二次方程至多只能有两个负数 根,利用韦达定理和根的判别式,求出方程有两个负数根时 k 的取值范围是 k -1/2且 k -1, 排除 这种情况,得到 方程 至多有 一个负数根时 k 的取值范围是 k >-1/2且 k=-1,问题 顺利得到解决。反 证法就是典型的变向思维方式。7、变式训练

10、,强化认知冲突变式训练是培养学生发散性思维的有效方法。在数学习题教学中,不能把思路局限于一个问题 中或问题的一种状态下,应善于将题目中的已知条件、设问角度、求解的目标或图形的形状作适当 改变, 加强变式训练, 强化认知冲突。 如在 “零指数、 负指数” 教学中, 先让学生练习:已知 (n 2-n-1 -2=1,求 n 的值。再将题目改变:已知(n 2-n-1 n-2=1,求 n 的值。前者仅仅考虑 n 2-n-1=±1的 情况,而后者不仅要考虑底数,而且还要考虑指数,增加了限制因素,思维方面显得更加复杂,很 容易强化认知冲突。通过变式训练,还能克服学生思维上的惰性和绝对性,培养学生的

11、分析能力和 分类讨论的思维。在几何教学中,经常利用图形的动态变换实行变式训练。通过图形的动态变换,引发图形的形 状、数量关系和位置关系的变化,而这种变换往往从简单到复杂,从特殊到一般的过程。学生在探 究过程中所运用的数学思想方法和数学知识都在不断改变,随着探究程度的深入,不断拓展学生思 维,从而强化学生的认知冲突,揭发学生的探究问题的兴趣和热情。如在“三角形中位线”一节课 教学时,教师先让学生借助于度量和推平行线的方法猜想得出三角形中位线定理,然后让学生沿中 位线剪开后拼成一个平行四边形,并合作探究证明方法,学生很容易得到如图 2的平行四边形和相 应的证法。在此基础上教师让学生继续合作探究:能

12、否将上述两个图形继续分割并“拼图” ,得到其 它形状的平行四边形或矩形吗?你能得出新的证明方法吗?学生会得到如图 3、 4这两种较特殊的图 形和相应的证法。教师追问:如将 ADE 从 A 点沿任意一条直线剪开(如图 5行吗?你还能发现其 它方法吗?学生会发现如图 6的拼法。学生通过经历上述的操作、探究、尝试、讨论和推理等过程, 促进了学生的主动建构。这就要求教师在教学过程,经常让学生探索各种动态变换的规律,并展开 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6图 2想象的翅膀, 作大胆而合理的猜想和推理, 力求在培养学生创新意识和探索精神上能获得新的突破, 有效地训练和发展学生的开放性思维和创新思维。

13、8、设计障碍,巧设认知冲突数学教学中,通过有意拉大思维的跨度,或提出与常规看法相悖的问题,设计开放性的问题和用 常规方法无法解决的问题 ,巧妙地设置思维障碍,让学生经历思维上的挫折,引发认知冲突,促使 学生把注意力集中到知识的重点和关键上,积极探索解决问题的方法。如在函数的应用教学中,设计下题让学生解答:方程 2x -x 2=x2的正根有几个?学生首先会采用方程思想求解,但由于去分母 后得到方程 x 3-2 x2+2=0,对于初中学生来说无法求解,在思维上形成障碍,学生的心理产生改 变解题策略的欲望。这时,教师启发学生利用函数图像法求近似解,学生会感受到学习的乐趣。又如在“圆锥的有关计算”的教

14、学中,教师先设计这样一个问题:如图 7,已知圆锥的母线长为 6cm ,底面半径为 2cm , A C 中点 D 点有一块糖,若一只蚂蚁从 B 点出发, 绕圆锥侧面爬到 D 点吃糖, 问蚂蚁爬行的最短路程是多少?在解题过程中,如何在曲面上确定蚂蚁的路径,它的长如何求,学生会感到很困惑。当教师将圆锥侧面展开时,学生才会恍然大悟,原来这条曲面上的曲线,就是展开面上的线段 B D ,这样学生的思维火花被激活了。9、联系实际,挖掘认识冲突数学源于生活又服务于生活,因此在数学教学中,通过对生活问题进行数学建模,挖掘认识冲 突,让学生在实际生活的背景中学习数学知识,在解决问题的过程理解知识,培养学生运用数学

15、知 识的意识和能力,感受数学知识的应用价值,提高学习数学的热情。如在一次函数的应用教学中, 让学生讨论下题:一巡逻艇和一货轮同时从 A 港口前往相距 100千米的 B 港口,巡逻艇和货轮的速 度分别为 100千米 /时和 20 千米 /时,巡逻艇不停的往返于 A 、 B 两港口巡逻(忽略巡逻艇调头的时 间 , 问出发多长时间两船第三次相遇?在何处相遇?如果运用算术或方程的方法解题, 则很难求出 结果;如果运用函数思想解题,那么如何把实际问题转化为数学问题,进行数学建模,这必将引发 学生认知上的冲突。教师引导学生探索设计函数的方法,画出函数图像,并利用“数形结合”的思 想,很容易求出结果。这样能使学生真正感受到数学知识的奥妙,以及探究问题的新奇、兴奋与获 图 7得成功后的愉悦。10、及时评价,引发认知冲突评价是教学过程中不可缺少的环节,是教师及时了解教学效果,调控教学行为的重要手段。在 数学教学过程中,通过对知识价值的评价、解题错因的分析、一题多解的评析和实践操作方案的优 化等均可引起学习的认知冲突。如在学生学习了七年级上册三种统计图知识后,教师追问:你觉这 三种统计图各有什么特点?分别在什么情景下用各种不同统计图?学生通过分析、思辨、评价等过 程,引发认知冲突,从而促进了学生对知