【教案】人教版八年级下册 16.3 第2课时二次根式的混合运算 教案

1、16.3 二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣置疑导入1.你能说出乘法分配律吗?利用乘法分配律计算:36×12-23+59.2.你能类比单项式与多项式乘除法法则计算出下列各式吗?(1)2(22-3);(2)(45-15)÷5.3.你能说出整式乘法的运算公式吗?你能利用公式计算下列各题吗?(1)(2x+3y)(2x-3y);(2)(2a-b)2.4.你能根据公式计算下列各题吗?(1)(3-22)(3+22);(2)(3-22)2.说明与建议 说明:用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识之间的区别与联系.

2、建议:教师注意引导学生自主发现结论:在进行二次根式的混合运算时,我们曾经学过的整式的乘法法则和公式仍然适用.学生可以先自主探索,再互相讨论,总结方法.情景导入你能解决下面的两个问题吗?1.已知长方形的长是52+23,宽是6,求它的面积.2.已知长方形的长是5+6,宽是3-5,求它的面积.说明与建议 说明:创设问题情境,激发学生的探索兴趣和求知欲望.建议:教师出示问题,引导学生列出算式,学生观察、分析、列式,注意培养学生独立思考的学习习惯.教材母题教材第15页习题16.3第6题已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值:(1)x2+2xy+y2;(2)x2-y2.【模型建立】将原代数式进行恒等变

3、形,然后利用配方法及整体思想解决问题是代数式化简求值中常用的方法.【变式变形】1.已知x=3+1,y=3-1,求下列各式的值:(1)x2-2xy+y2;(2)x2+y2;(3)yx+xy.答案:(1)4(2)8(3)42.已知x=12(7+5),y=12(7-5),求下列各式的值:(1)x2-xy+y2;(2)xy+yx.答案:(1)512(2)123.已知x=3+23-2,y=3-23+2,求x3-xy2x4y+2x3y2+x2y3的值.答案:265命题角度1 二次根式的混合运算二次根式的混合运算,一般先将每个二次根式化为最简二次根式,再类比多项式的乘除法法则展开计算,最后将结果中的每一项化

4、为最简二次根式或者整式,能合并的要合并.例1计算6×13-1的值为(A)A.2-6B.2-1C.2-6D.1例2计算12+8×6的结果是63. 命题角度2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用运算律、整式的乘法法则与乘法公式在二次根式的运算中同样适用.例1计算:(32+1)(32-1)=17. 例2扬州中考 计算(5-2)2018(5+2)2019的结果是 5+2. 例3大连中考 计算:(3-2)2+12+613.解:原式=3+4-43+23+6×33=3+4-43+23+23=7.命题角度3 与二次根式有关的化简求值(1)进

5、行二次根式的乘法运算时注意灵活地运用乘法公式.(2)充分发挥因式分解的作用.(3)运用整体思想,充分利用x+y,xy和x-y的整体作用.(4)求有条件的代数式的值时,应先化简,后代入.例 河南中考 先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=2+1,y=2-1.答案:原式=9xy;当x=2+1,y=2-1时,原式=9P14练习1计算：(1)()；(2)()÷；(3)(3)(2)；(4)()()答案：(1)()××.(2) ÷÷÷42.(3) (2)32 6556511.(4)()()624.2计算：(

6、1)(4)(4)；(2)()()；(3)(2)2；(4)(2)2.答案：(1)(4)42()21679.(2) ()()2()2ab.(3) 2××22234 474 .(4)(2)22×2×()2224.P15习题16.3复习巩固1下列计算是否正确？为什么？(1)；(2)22；(3)33；(4)321.答案：(1)不正确，被开方数不同时不能合并(2)不正确，22 ，不能和乘法混淆(3)不正确，3 (31)2 .(4)不正确，1.2计算：(1)2；(2)；(3)6；(4)a23a.答案：(1)2437.(2)3.(3)6235.(4)a23a2a215a

7、217a2.3计算：(1)；(2)；(3)()()；(4)()()答案： (1) 34(341)0.(2) 5346.(3) ()()33258.(4) ()().4计算：(1)(5)；(2)(23)(23)；(3)(52)2；(4)()÷.答案： (1) (5)×5×5610.(2)(23)(23)(2)2(3)212186.(3)(52)2(5)22×5×2(2)29520.(4) ()÷(4 )÷34÷3÷3 .综合运用5已知2.236，求5的近似值(结果保留小数点后两位)答案： 53 ×

8、2.2367.83.6已知x1，y1，求下列各式的值：(1)x22xyy2；(2)x2y2.答案：xy112 ，xy1(1)112.(1)x22xyy2(xy)2(2 )212；(2)x2y2(xy)(xy)2 ×24.7如图，在RtABC中，C90°，CBCAa.求AB的长(提示：作出AB边上的高，借助ABC的面积求解)答案：作CDAB于点D，SABCAC·BCAB·CD，a2AB·CD.C90°，CBCA，CABCBA45°.又ADCBDC90°，ACDBCD45°，CDADBD.设CDb，则AB2b

9、.a22b2，ba.AB2ba.拓广探索8已知a，求a的值(提示：利用与之间的关系)答案：a，a2210.a28.a226，a±.9在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：(1)2x260，(，)；(2)2(x5)224，(52，52，52，52)答案： (1)当x时，2x262()26660，x是方程的解当x时，2x262()2612660，x不是方程的解当x时，2x2626660，x是方程的解当x时，2x262612660，x不是方程的解方程的解为、.(2)当x52时，2(x5)22(525)222248024，x52不是方程的解当x52时，2(x5)22(5

10、25)22(102)22248024，x52不是方程的解当x52时，2(x5)22(525)22(2)224，x52是方程的解当x52时，2(x5)22(525)22(2)224，x52是方程的解方程的解为52、52.P19复习题16复习巩固1当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2)；(3)；(4).答案：(1)由3x0，得x3.当x3时，在实数范围内有意义(2)由2x1>0，得x>.当x>时，在实数范围内有意义(3)当23x>0，即x<时，原式有意义(4)当x1时，原式有意义2化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).答案： (

11、1) 10.(2)×2.(3).(4).(5)xy.(6).3计算：(1)；(2)2×÷5；(3)(2)(2)；(4)(23)÷；(5)(23)2；(6).答案： (1)2 .(2)2×÷53×.(3)(2)(2)(2)2()21266.(4)(23)÷2÷3÷4.(5)3512.(6)5.4正方形的边长为a cm，它的面积与长为96 cm、宽为12 cm的长方形的面积相等求a的值答案：由已知得a296×12，所以a××24(cm)综合运用5已知x1，求代数式x25

12、x6的值答案：x25x6(x6)(x1)(16)(11)(5)( 2)()2251035.6已知x2，求代数式(74)x2(2)x的值答案：原式(74)(2)2(2)(2)(74)(74)1494812.7电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足QI2Rt.已知导线的电阻为5 ，1 s时间导线产生30 J的热量，求电流I的值(结果保留小数点后两位)答案：因为QI2Rt，所以I，当R5 ， t1 s，Q30 J时，I2.45(A)拓广探索8已知n是正整数，是整数，求n的最小值答案：·3 ，又n是正整数，n的

13、最小值为21时， 是整数9(1)把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分请你尽可能多地设想各种分割方法(2)如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积四等分求这三个圆的半径OB，OC，OD的长答案：(1)略(2)由题意得(设OAr)OD2r2，OC2r2，OB2r2，ODrOA.OCrOA.OBrOA.10判断下列各式是否成立：2；3；4.类比上述式子，再写出几个同类型的式子你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明答案：成立.2；3；4；写同类型的式子略n.当堂检测1. 下列运算：（1）+=；（2）3-= 3；（3） = -y；（4）(-)=2-.其中正确的有（

14、）A1个B2个C3个D4个2. 已知：a =+1, b =-1, 则ab =（ ）A4B2C0D23. 计算：（1）（-）=_；（2）=.4. 计算:（1）；(2)（+1）2014 （-1）2013-1.5. 二次根式简单的混合运算：（1）5+-7；（2）-.参考答案1A 2D 3（1）2- 2 （2）14（1）x +2 （2）5解：（1）5+-7=5+2-21=-14；（2）原式=+-=.备用题：比较大小：(1)32； (2)-6-.能力培优专题一 乘法公式与二次根式的混合运算1. 计算：.2. 先化简，再求值：，其中专题二 新定义题目与二次根式的混合运算3. 对于任意不相等的两个实数a、b

15、，定义运算如下：ab=，如32=那么812=_.4. 我们规定运算符号“”的意义是：当ab时，ab=a+b；当ab时，ab=a-b，其它运算符号意义不变.按上述规定计算：（）-（1）（）=_.【方法技巧】1. 常见的乘方公式有：（1）平方差公式：（a+b）(a-b)=；完全平方公式：=.2. 解决新定义问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算.参考答案1. 解：原式=.2. 解：原式.原式=.3. 4. 数学符号的来历数学运算中经常使用符号，如，×，÷，（），等，你知道它们都是谁首先使用，何时被人们所公认的吗？加减号“”，“”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“:”表示除或比也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号等号“”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用1591