第11章二叉树模型入门

1、.工程学 2008年9月11.1二叉树模型入门二叉树模型入门Chapter 11.工程学 2008年9月11.211.1 单步二叉树模型单步二叉树模型l一只股票现价一只股票现价$20l三个月内价格为三个月内价格为 $22 或或 $18股票价格= $22股票价格 = $18股票价格= $20.工程学 2008年9月11.3Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?看涨期权看涨期权(Figure 11.1)一只三月期股票的看涨期权执行价格为一只

2、三月期股票的看涨期权执行价格为21.工程学 2008年9月11.4l考虑资产组合考虑资产组合: D D 股票股票 + short 1 call optionl当当22D D 1 = 18D D时，时，资产组合是无资产组合是无风险的，风险的， 此时此时D D = 0.2522D 118D配置一个无风险资产组合配置一个无风险资产组合.工程学 2008年9月11.5资产组合的估值资产组合的估值(无风险利率为无风险利率为 12%)l无风险资产组合为无风险资产组合为: 股票为股票为 0.25份份卖空卖空1份看涨期权份看涨期权l三个月后组产组合的价值为三个月后组产组合的价值为22 0.25 1 = 4.5

3、0l资产组合现值为资产组合现值为 4.5e 0.120.25 = 4.3670.工程学 2008年9月11.6期权估价期权估价l包括包括0.25份股票和一份看涨期权空头份股票和一份看涨期权空头的组合的期初价值为的组合的期初价值为 4.367l其中，股票价值为其中，股票价值为5.000 (= 0.25 20 )l期权的价值因此为期权的价值因此为0.633 (= 5.000 4.367 ).工程学 2008年9月11.7推广推广(Figure 11.2)一个关于一种股票的衍生品持有时间一个关于一种股票的衍生品持有时间TSu uSd dS.工程学 2008年9月11.8推广推广 l假设资产组合由假设

4、资产组合由D D份股票和份股票和1份衍生品空头构成份衍生品空头构成l当当SuD D u = Sd D D d，资产组合是无风险的，即资产组合是无风险的，即D udfSuSdSuD uSdD d.工程学 2008年9月11.9推广推广lT时刻资产组合的价值为时刻资产组合的价值为 Su D D ul资产组合的贴现值为资产组合的贴现值为 (Su D D u )erTl资产组合的构建成本资产组合的构建成本 S D D fl因此因此 = S D D (Su D D u )erT .工程学 2008年9月11.10推广推广 l替换替换D D 就得到就得到 = p u + (1 p )d erT其中：其中：

5、 pedudrT.工程学 2008年9月11.1111.2 风险中性定价风险中性定价l = p u + (1 p )d e-rTl变量变量p 和和 (1 p ) 是风险中性时股票期权上涨和下跌的是风险中性时股票期权上涨和下跌的概率概率l衍生品的价格是风险中性环境中用无风险利率折现的衍生品的价格是风险中性环境中用无风险利率折现的其预期得益其预期得益Su uSd dSp(1 p ).工程学 2008年9月11.12股票预期收益的无关性股票预期收益的无关性l当利用风险中性原理对期权定价时，标的当利用风险中性原理对期权定价时，标的股票的期望收益是无关的。股票的期望收益是无关的。lWhen we are

6、 valuing an option in terms of the underlying stock the expected return on the stock is irrelevantl为什么？为什么？.工程学 2008年9月11.13示例示例l p 是风险中性概率是风险中性概率20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523l或者或者 使用公式使用公式6523.09 .01 .19 .00.250.12edudeprTSu = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p ).工程学 2008年9月11.14期权股价期权股价期权的价格

7、是期权的价格是e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.3477.工程学 2008年9月11.1511.3 两步二叉树两步二叉树Figure 11.3l每步长3个月20221824.219.816.2.工程学 2008年9月11.16看涨期权价格看涨期权价格Figure 11.4lB 点价格点价格= e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257lA 点价格点价格 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.282

8、3221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF.工程学 2008年9月11.17看跌期权估价看跌期权估价K=52Figure 11.7504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF.工程学 2008年9月11.1811.5 美式期权美式期权 (Figure 11.8) 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF.工程学 2008年9月11.1911.6 DeltalDelta (D D)是股票期权价格的变化与是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比标的股票价格的变化之比 lDelta hedgingl 二叉树中二叉树中D D 的值在每一节点均不同的值在每一节点均不同.工程学 2008年9月11.2011.7 u and d的确定的确定波动的确定方法波动的确定方法当当 s s 是波动率且是波动率且 D Dt 是一步的时间长是一步的时间长. 这是这是Cox, Ross, 和和 Rubinstein使用的方法使用的方法tteudeuDsDs1.工程学 2008年9月11.21上涨概率上涨概率 1r