圣维南原理的概念及应用

1、高等岩石力学高等岩石力学第二讲：特殊边界处理与网格划分问题平面问题的基本方程平面问题的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程（2-2）2. 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）3. 物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）4. 边界条件边界条件位移：位移：vvuuss（2-17）应力：应力：（2-18）00yyxyxyxxfyxfyxysxysyxsxysxflmfml)()()()(例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2),

2、 ax 0, 1mlysxysyxsxysxflmfml)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq说明：说明：x = 0 的边界条件，是有矛的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0, 0yxff0, 0yxff0,xyffq例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyfycosxyf 由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，

3、有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0yxff0cossinxyyx0sincosxyx例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解： 平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面边界上无面力作用。即力作用。即0yxffAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有ysxysyxsxysx

4、flmfml)()()()(0cossin0sincos2222xyyxyx（1）AC 边界：边界：1222sincosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用ZSRock Mass Mechanics1.静力等效2.圣维南原理及其应用2022-3-6ZSZSRock Mass Mechanics1.为什么要用圣维南原理？为什么要用圣维南原理？2.如何应用圣维南原理？如何应用圣维南

5、原理？3.圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？4.圣维南原理中主矩是对那个点取矩？圣维南原理中主矩是对那个点取矩？5.圣维南原理中边界的面力和应力的关系？圣维南原理中边界的面力和应力的关系？6.什么是主要边界？什么是次要边界？什么是主要边界？什么是次要边界？7.为什么正应力对中心点取矩不为零？为什么正应力对中心点取矩不为零？问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本方程个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往相对容易，但要使边界条件完全满

6、足，往往很困难。很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。件无法列写。1. 、静力等效的概念、静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为为静力等效力系静力等效力系。)(iOOFmMiFR 这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。2.、圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部

7、分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP3.、圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1) 对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1) 必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2) 只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在

8、用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界ZSRock Mass Mechanics例72022-3-6ZS例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：右侧面：0, 1ml0,yxfyf代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端

9、面：上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！yPxyyx上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果相同。可见，与前面

10、结果相同。注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，例例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解解材料力学解答：材料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是

11、否满足边界条件？边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIPyIP0000式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？0, 022hyyxhyy 满足满足00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解0)(2222yxyx代入代入相容方程：相

12、容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：ZSRock Mass Mechanics圆孔应力集中：应力集中程度2022-3-6ZSZSRock Mass Mechanics1. 孔边应力集中概念孔边应力集中概念 由于弹性体中存在小孔，使得由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力孔边的应力远大于无孔时的应力，也也远大于距孔稍远处的应力远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的称为孔边的应力集中。应力集中。应力集中系数：应力集中系数：maxK与孔的形状有关，是局部现象；与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。与孔的大小几乎无关

13、。（圆孔为最小，其它形状较大）（圆孔为最小，其它形状较大）2. 孔边应力集中问题的求孔边应力集中问题的求解解（1）问题：）问题：max 带有圆孔的无限大板（带有圆孔的无限大板（B a），圆），圆孔半径为孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。ZSRock Mass Mechanics（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。),(rA 取一半径为取一半径为 r =b (b

14、a），在其上取一），在其上取一点点 A 的应力：的应力：OxybAqxArrrA由应力转换公式：由应力转换公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrbZSRock Mass Mechanicsrr新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）问题问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2s

15、in2qrba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：ZSRock Mass Mechanics问题问题12qrba 问题问题1的解：的解：内边界内边界0arr0arr外边界外边界2qbrr0brr（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当当 ba 时，有时，有2122qrar2122qra0r（d）ZSRock Mass Mechanics 问题问题2的解：的解：rrba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrr2sin2qbr

16、r（c）2sin2qr2cos2qr 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数乘的某一函数乘以以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 r2cosr2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1 可假设应力函数为：可假设应力函数为：2cos)(rf 将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrrZSRock Mass Mechanics02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfd

17、rdrrfdrdrrfd 与前面类似，与前面类似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特征方程：该方程的特征方程：01644234特征根为：特征根为：, 41, 22, 0324方程的解为：方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrArZSRock Mass Mechanics2cos1224rDCBrArrrba问题问题22sin2qr2cos2qr 相应的应力分量：相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB2

18、2r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）ZSRock Mass Mechanics264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后令，然后令 a / b = 0，得，得rrba问题问题22sin2qr2cos2qr, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有2cos31

19、244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）ZSRock Mass Mechanics将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-17）讨论：讨论： （1） 沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21 ( q （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：)232

20、11 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解ZSRock Mass Mechanics（3） 沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2ZSRock Mass Mechanics（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1

21、xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：ZSRock Mass Mechanics（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边

22、界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：qqqqqqqq 45ZSRock Mass Mechanics应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中最常见的问题，指构件中应力分布不均在局部增高的现象。开有圆孔或切口的板条受拉时，在圆孔或切口附近的局部区域，应力将急剧增加，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。各种材料对应力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。（塑性材料有屈服阶段，当局部应力达

23、到屈服极限时，该处材料可继续增长，而应力却不增加。如果外力继续增加，增加的力就有截面上尚未达到屈服极限的材料来承担，使截面上其他点的应力相继达到屈服极限。应力不均匀程度大大降低，也限制了最大应力值）ZSRock Mass Mechanics脆性材料没有屈服阶段，一直领先，首先达到强度极限，产生断裂。所以要考虑应力集中对零件承载能力的削弱。但是零件承受周期性载荷或冲击载荷时，不论塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件都会产生严重的影响。（以上内容来自材料力学）ZSRock Mass Mechanics高人的见解：应力集中是指的在某一个区域内应力梯度较大，如果网格稀疏的话，就不会捕捉到梯度变化较大的

24、应力。有应力集中未必会是应力奇异。比如二维平面单元中间开有园孔，另一端受拉伸集度载荷，这样园孔处有两部分会发生应力集中。但是应力并不是无穷，即不存在应力奇异。但是应力奇异的地方一定存在应力集中。应力奇异是modelling过程造成的。我们知道实际问题中，奇异点处的应力不可能是无穷的。ZSRock Mass Mechanics应力奇异可以来自与很多因素，比如荷载，边界条件，边界的光滑性，材料系数的光滑性，等等。 奇异点的存在导致有限元解的收敛速度很慢，尤其对于均匀划分的网格。有兴趣的可以试一下L形的平面问题，检查一下均匀划分网格情况下应变能的变化。使用局部细化或hp方法的原因是因为这两种方法能使

25、有限元解较快的收敛。但是注意应力奇异点是不能够消除的。你的模型固定了，你的奇异点也固定了，通过计算是消除不掉的，计算是一个用估计解逼近一个真实解（精确解），精确解本身带有奇异点，怎么能够消除呢？所以尝试消除应力奇异点的做法是错误的。如果想消除应力奇异点，你的modelling过程就需要改变。比如二维平面单元，在某一节点处加集中力，那么此处就是一个奇异点。要消除它的话，可以把集中力变成集度线载荷加到一段长度很小的线上，奇异点就没有了。ZSRock Mass Mechanics奇异点的定义就是在某一个点处导数无穷。举一个L形区域的平面问题，某一个边固定，在另外的任意边上加无穷小的集度荷载，我们会发现无论荷载多么小，角点处的应力都是无穷。这就是几何形状引起的奇异点。现在问题来了，一方面我们知道角点处的应力无穷，另一方面我们知道对于很小的荷载，角点处的应力不可能是无穷的。问题出在什么地方呢？ZSRock Mass Mechanics首先数学模型都是