中考数学一轮全程复习课时练第43课时《开放与探究型问题》(教师版)

1、第43课时开放与探究型问题一、选择题1如图，点A，B，C在一条直线上，ABD，BCE均为等边三角形，连结AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连结PQ，BM，下面结论：ABEDBC；DMA60°；BPQ为等边三角形；MB平分AMC，其中结论正确的有(D)A1个 B2个 C3个 D4个【解析】由等边三角形的性质得出ABDB，ABDCBE60°，BEBC，得出ABEDBC，由SAS即可证出ABEDBC；由ABEDBC，得出BAEBDC，根据APBDPM，得出DMAABD60°；由ASA证明ABPDBQ，得出对应边相等BPBQ，即可得出BPQ为等

2、边三角形；DMA60°，得到AMC120°，所以AMCPBQ180°，所以P，B，Q，M四点共圆，又由于BPBQ，由圆周角定理得出BMPBMQ，即MB平分AMC.2如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG，若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是 (A)ACDDF4BCDDF23CBCAB24DBCAB2【解析】如答图所示，设AB与圆O相切于点M，BC与O相切于点H，连结MO并延长MO交CD于点T，连结OH，连结OD交FG于R，过

3、点G作GNAD于点N，分别交OD于点K，交OT于点P.由折叠易知，OGDG，OHBC，所以OHGGCD90°，HOGOGH90°，OGDG，OGHDGC90°，DGCHOG，OHGGCD，HGCD，GCOH1，易得四边形BMOH是正方形，所以BMBHMOOH1，设CDm，则HGm，ABm，AMm1，又O是ABC的切圆，ACm1m12m，AC2AB，ACB30°，BCAB，2mm，解得m1，mAB1，BC2m3，BCAB2，D选项正确；BCAB2m224，C选项正确由折叠知，OGGD，又OGGD，OGD是等腰直角三角形，且ORRD，所以RGRD，RGRD，

4、注意到GNAD为所作，GRDFRD90°，RKGNKD，RKGRGKNKDNDK90°，NDKRGK，所以RKGRFD，所以FDKG，易得四边形OHGP是矩形，所以PG1，由GNDC，可得OPKOTD，1，PK3，KG4DF，CDDF1(4)23，B选项正确；CDDF1(4)5，A选项错误故选A.二、填空题3如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ.给出如下结论：DQ1；SPDQ；cosADQ.其中正确结论是_.(填写序号) 【解析】正确理由：连结OQ，OD，DPCDBOAB，且DPOB，四边形OBPD是平行四边形AOD

5、OBQ，DOQOQB，OBOQ，OBQOQB，AODDOQ，AODQOD，OQDDAO90°，DQAD1.所以正确正确理由：延长DQ交BC于点E，过点Q作QFCD，垂足为F，根据切线长定理，得QEBE，设QEx，则BEx，DE1x，CE1x，在RtCDE中，(1x)2(1x)21，解得x，CE，DQFDEC，得FQ，PQFPBC，所以正确；错误，理由：SPDQDP·QF××，所以错误；正确，理由：ADBC，ADQDEC，cosADQcosDEC，所以正确故答案为.4如图，AB是O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作O的切线，切点为C.连结AC，B

6、C，作APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)CPDDPA；若A30°，则PCBC；若CPA30°，则PBOB；无论点P在AB延长线上的位置如何变化，CDP为定值三、解答题5在ABC中，ABAC，A60°，点D是线段BC的中点，EDF120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图，若DFAC，垂足为F，AB4，求BE的长；(2)如图，将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BECFAB；(3)如图，将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定

7、的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF(BECF)解：(1)由四边形AEDF的内角和为360°，可知DEAB，又ABAC，A60°，ABC是等边三角形，BD2.在RtBDE中，B60°，BE1；(2)如答图，取AB的中点G，连结DG，易证：DG为ABC的中位线，故DGDC，BGDC60°，又四边形AEDF的对角互补，故GEDDFC，DEGDFC.故EGCF，BECFBEEGBGAB； (3)如答图，取AB的中点G，连结DG，同(2)，易证DEGDFC，故EGCF，故BECFBEEGBGAB.设CNx，在Rt

8、DCN中，CD2x，DNx，在RtDFN中，NFDNx，故EGCF(1)x，BEBGEGDCCF2x(1)x(1)x，故BECF(1)x(1)x2x，(BECF)(1)x(1)x2x.故BECF(BECF)6(1)如图，已知ABC，以AB，AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BECD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)如图，已知ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离

9、，已经测得ABC45°，CAE90°，ABBC100 m，ACAE，求BE的长解：(1)如答图，证明：ABD和ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60°，BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB，BECD；(2)BECD.理由如下：四边形ABFD和四边形ACGE均为正方形，ADAB，ACAE，BADCAE90°，CADEAB，CADEAB，BECD；(3)由(1)，(2)的解题经验可知，过A在ABC的外侧作等腰直角三角形ABD，如答图，BAD90°，则ADAB100，ABD45°，BD100.连结CD，

10、则由(2)可知BECD.ABC45°，DBCABDABC90°.在RtDBC中，BC100，BD100，CD100，BE的长为100m.7如图，矩形ABCD中，AD2AB，E是AD边上一点，DEAD(n为大于2的整数)，连结BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连结BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；(2)当ABa(a为常数)，n3时，求FG的长；(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当时，求n的值解：(1)四边形BFEG是菱形理由如下：FG垂直平分BE，BOEO，BOGEOF90°

11、在矩形ABCD中，ADBC，GBOFEO.BOGEOF(ASA)BGEF.四边形BFEG是平行四边形又FGBE，平行四边形BFEG是菱形；(2)当ABa，n3时，AD2a，AEa，根据勾股定理可得BEa，AFAEEFAEBF，在RtABF中AB2AF2BF2，AFa，EFa，菱形BGEF面积BE·FGEF·AB，FGa；(3)设ABx，则DE，当时，可得BGx，在RtABF中AB2AF2BF2，AFx，AEAFFEAFBGx，DEADAEx，n6.8如图，已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD2，DAB30°，动点P在直线AB上运动，PC

12、交圆O于另一点Q.(1)当点P运动到Q，C两点重合时(如图)，求AP的长；(2)点运动过程中，有几个位置(几种情况)使CQD的面积为？(直接写出答案)(3)当使CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆上，CQQD时(如图)，求AP的长解：(1)AB是圆O的切线，OBA90°，CD2，DAB30°，OB1，OBOCAC1，当点P运动到Q，C两点重合，PC为圆O的切线，PCA90°，DAB30°，AC1，AP；(2)由于CD的长度为2，而SCQD，故CD上的高的长度为，从而如答图，可知有4个位置使CQD的面积为；(3)过点Q作QNAD于点N，过点P作PM

13、AD于点M.SCQD，QN·CD，QN，CD是圆O的直径，CQD90°，易证QCNDQN，QN2CN·DN.设CNx，则DN2x，x(2x)，解得x1，x2，CQQD，CN，2.易证PMCQNC，2，CM(2)MP，在RtAMP中，AMMPAMCMAC1，(2)MPMP1，MP，AP2MP.10类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)概念理解如图4310，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件；(2)问题探究小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形她的猜想正确吗？

14、请说明理由；如图，小红画了一个RtABC，其中ABC90°，AB2，BC1，并将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC.小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB的长)?(3)应用拓展如图，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，BADBCD90°，AC，BD为对角线，ACAB.试探究BC，CD，BD的数量关系解：(1)ABBC或BCCD或CDAD或DAAB；(任写一个即可)(2)正确理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形

15、；由ABC90°，AB2，BC1，得AC，将RtABC平移得到RtABC，BBAA，ABAB，AB2，BC1，AC，()如答图，当AAAB时，BBAAAB2；()如答图，当AAAC时，BBAAAC；()如答图，当BCAC时，延长CB交AB于点D，则CDAB，BB平分ABC，ABBABC45°，BBDABB45°，BDBD.设BDBDx，则CDx1，BBx，在RtBCD中，BD2(CD)2(BC)2，x2(x1)2()2，解得x11，x22(不合题意，舍去)，BBx；()如答图，当BCAB2时，与()同理得：BD2(CD)2(BC)2，设BDBDx，则x2(x1)222，解得x1，x2(不合题意，舍去)，BBx；(3)BC，CD