D823_高斯公式_斯托克斯公式_空间曲线与路径无关的条件

1、1. 1. 通过闭曲面的流量通过闭曲面的流量8.2.3 8.2.3 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 空间曲线积分与路径空间曲线积分与路径无关的条件无关的条件若 为方向向外的闭曲面, ddd dd ddPyzQzxR xy aS当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的,表明则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . n流出的,表明 内有“源”（或泉）; 内有“汇”（或洞） ;n定理定理1 1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲面闭曲面上有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPddd yxRxzQzy

2、Pdddddd zyxzRddd yxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在所围成,的方向取外侧外侧,则有 2.2.高斯高斯(Gauss)(Gauss)公式公式231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: 设yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd称为XY -型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz所以z

3、yxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：例例1. 用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,

4、0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 例例2. 计算计算 dxdyzxdzdxyzdydzxy)()()(222的上侧的上侧是曲面是曲面其中其中)21(222 zyxz 解解1,1:220 yxz 记记取下侧取下侧oxyzz = 1所围成的闭区域所围成的闭区域0: 由由Gauss 公式得公式得zxRyzQxyP 222, 0)()()(222dxdyzxdzdxyzdydzxy dvdv3)111()(0取外侧取外侧 dv3 20102123dzdd23 0)()()(222 dxdyzxdz

5、dxyzdydzxy而而 0)(2 dxdyzx Ddxdyx)1(243 494323 故故原原式式取下侧取下侧例例3. 利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozy

6、xh1yozx定理定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxfz),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).yxDC则有3.3.斯托克斯斯托克斯( Stokes ) ( Stokes ) 公式公式 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSf

7、zPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是

8、格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例4. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD例例5. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.dd

9、d2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222zRyQxPudddd定理定理3. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,4.4.空间曲线积分与路径无关的条

10、件空间曲线积分与路径无关的条件zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, 并求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQRP1xz 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例7. 验证曲线积分内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充

11、要条件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP2. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为1.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI2. 设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr.41zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标00cosrn00rn*3. 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 (