第19讲几何模型应用题

1、.1知识梳理高考速递典例精析几何模型应用题第十九讲.2知识梳理 1、解决几何应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化； 2、要注意认真分析数量间的关系，紧扣常用的几何概念，充分利用图形的几何性质，确定正确的解决问题的径，灵活运用解几何问题的常用数学方法，最终得到完整的解答.3高考速递 (2008上海卷上海卷)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 、 ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域(船只的大小忽略不

2、计)，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 、 ，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .1h2h1221122cotcotahh答案:.4高考速递正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).2. (2008江西卷江西卷)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(如图2).有下列四个命题：p图1p图2.5【分析】 首先抽象为数学问

3、题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P较近；(3)沿AP、BP到P同样远.显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程. 典例精析例例1 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如右图所示).已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，试说明怎样运土

4、最省工.ABP.6以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系 xoy，设M (x，y)是沿AP、BP运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，所以|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|cos60=17500，且50|AB|.【解析】【解析】0APBMyx.7于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.由双曲线定义知点M在以A、B为焦点的双曲线右支上，2222417500250cacab226 2 53 7 5 0ab则 , 解得 22221xyab设此双

5、曲线方程为 (a0，b0).221256253750 xyx所以点M的轨迹是在半圆内的一段双曲线弧.0APBMyx.8回顾与反思回顾与反思 (1)本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定出最优化区域; (2)应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果.9典例精析例例2 中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线为如右图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面

6、10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.8 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由；(3)要使此次跳水不至于失误，该运动员按(1)中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少米？BAxy跳台支柱1m10m3m池边o.10【分析】(1)在给定坐标系下准确用好数据、恰当建立方程是解题 的关键; (2)不等关系的正

7、确运用是判断是否失误的核心.BAxy跳台支柱1m10m3m池边o【解析】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为 B，抛物线的解析式为2ya xb xc由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)、(2，-10)，且顶点A的纵坐标为,23所以0c24243ac ba4210ab c 32a256a103b0c或2b0c因为抛物线对称轴在y轴右侧，所以02ba所以b0，后一组解舍去即又因为抛物线开口向下，所以a0,0c 256a 103b 所以抛物线的解析式为2251063yxx.11(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 m时，即 时，所以，此时运动员距水面的高为 m.因此，此次跳水会

8、出现失误.335353258x 225810 816( )653 53y 161410533(3)当运动员在x轴上方，即y0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.所以当y0时，要使跳水不出现失误，则应有，即.所以有 , .所以运动员此时距迟边的距离至多为m.| 105y 5y 2251023423456355xx12345.12典例精析 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a

9、m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值 （变式训练）【分析】根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m(即在横断面上距拱口中点2 m)处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.yAB,02a,02aCxO.13yAB,02a,02aCx【解析】如右图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可设抛物线的方程为因为点A( ，0)在抛物线上，所以 ，得p=.所以抛物线方程为取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得即22 ()4ax

10、p y 2()2 (0)24aap 2a22 ()4axa y 22()4aa y 2164aya2a.14由题意，令y3，得因为a0，所以解得.又因为aZ，所以a应取14，15，16，.答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14.21634aa212160aa62 13a 【回顾与反思】本题的解题过程可归纳为两步：第一步，根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；第二步，由y3，通过解不等式，结合问题的实际意义和要求，得到a的值.值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.15典例精析（备选例题）例例3 A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B的正东,相距6千米,C在B的北偏西30相距4千米,P为敌炮阵地,某时刻,A发现P处的某种信号,由于B、C两地比A地距P地远,因此4秒后,B、C才同时发现这一信号.(设该信号的传播速度为1千米秒 ）(1)建立适当的坐标系,确定P的位置(即求出P的坐标);(2)A若炮击P地,求炮击的方向 xyAOBDCP.16(1)如右图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B(-3，0)、A(3，0)、C(-5，23).因为PB=PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上. 因为kBC =-3，BC的中点D(-4，3)，1343yx所以直线P