Chp5自由大气中的平衡运动

1、hhVV t5.1自然坐标系：，故加速度：加速度：(5.3)dVdVdttVdtdtdt 12P Ps，由右图（红线为迹线，流点由由右图（红线为迹线，流点由1P2P ，t移到移到，时：，时：），,TtsnnsRttst 因此有因此有(5.4)Td tVndtRTRnTR其中，其中，轨迹之曲率半径，规定: 曲率中心在正（反）方向，取正（负）值，为气旋（反气旋）式。 (5.4)代入(5.3)有：2(5.5)TdVdVVtndtdtRtnt坐原点标：流点方向：流点运动方向，坐标s方向：垂直于 指向运动左方nRTV切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度（向心加速度）（向心加速度）如右图，设某时刻流点

2、在P处，则有 。Vn(5.6)fkVfVn 2.柯氏力柯氏力，故只有分量, t n111(5.7)ppptnsn 3.气压梯度力气压梯度力在向分解故有自然坐标系下水平运动方程分量式：(5.8)另法可推出（5.8）：考局地直角坐标系下运动方程（5.9），V, u v,V故局地系与自系关系为：cos,sin;uVvV( , , )x y t不同时刻不同位置不同，即，按积的导数，有cossin;sincos;cos(cossin);sin(cossin)cos(sincos);sin(sincos)uVvVVVttttttuVuVuVVvVVxxxyyyvVvVuVVvVVxxxyyy 自变量，0

3、xtynsincos1令令（坐标旋转，），则以上含项全为0，而；代入(5.9)， 易得：11()VVpVfvtsspVVfVtsn (5.10)同样有(5.8)式。流线与轨迹 以上所得（5.8）为轨迹表达，因常用等高线分析，即流线，故需转换为流线。轨迹：同一流点不同时刻经历路径（与L观点一致）。 当然，本章：准水平二维：( , , )( , , )uu x y tvv x y tEL( , , )( , , )dxu x y tdtdyv x y tdt（5.11）已知E变数，求迹线就是：解微分方程(5.11)dxdydtuvt, x yt亦即注：还是的函数。v=Vsin=0dV/dt流线：速

4、度场矢量线（同一时刻不同流点），其上每点切线方向与该点速度 , Vu v一致。回忆高数：某点切线方向即该点弧微元,drdx dy极限方向，注：二矢量重合对应坐标成比例，故有求流线的微分方程组： dxdyuv （ 5.13）t,xy是参数与独立，积分时作常数t(5.11)(5.13)二者关系：流体力学已学过，定常时与无关，与形式一致,二线重合,现专门讨论。 曲率沿曲线单位距离其切线方向改变角度limsks =，如前已述：反（顺）时针，气旋（反气旋）式，0(0)kk。视该曲线为迹线同一流点各时刻位置连线(i), x yt随L观点运动过程中随 变化t的变化 “全导数”曲率为(5.14 1)Tdkds

5、(ii)视曲线为流线某一时刻沿线不同位置而引起变化随s变化： (5.142)sks( , )s t，鉴于，依全微分概念也可：ddtddsdtstdsst ds有Blaton公式： ()TsV kkt(5.17)。对公式的理解：(5.17)改写为：1TskkVttTksk只有风向不随改变（定常），才与相等，二线重合。s和t变化引起的风向角度变化作为(5.17)特例，考虑流线为同心圆族，其上任意一点处速度大小均为V；Cx0ddt整体以匀速沿 向移动。显然，移动中流形不变：，0t与Vx但（正是移动造成的）。其中轴之夹角。则有：0dCCdtttx xatan=2221coscosseccoscosss

6、kxaxar又，两端微分：代入，cossCkt ，再代入Balton公式，得：Tksk轨迹曲率与流线（等高线）曲率之关系：平衡流场无外力的定常水平流场，下面就逐一加以讨论：(1cos)TsCkkV（5.20）同号VC( )0Tk sk若，则与2VC(1cos)TskCkV又图为情形VC情形自己讨论5.2平衡运动地转风地转风流点作水平匀速直线运动。可见TRVconst ，故由（5.8）有：2101TdVpdtsVpfVRn （5.21）可见：气压梯度力与科氏力平衡下的水平运动即地转风gV1ggpVVfn 为区别：以记之：(5.22)上式之物理意义：白贝罗定律：北半球背风而立左低右高；等压线越密，

7、空气密度越小， 越小，则风速越大sin这是一个气压场与风场之关系式，可作为实际风场之第一近似。这里的V虽在n分量式中，但不是V的n分量式。在曲线（自然）坐标下，V就是S方向！实际中常用局地直角坐标系或者p坐标系（当然要静力平衡）下的形式。而这些我们已推过了：11001100gggppfvfvxxppfufuyy加下标（5.25）由大尺度零级近似1gVpkf (5.24)由p坐标运动方程(4.26) 推011ggdV CdtgduufvfydtxdvfuvdtyfxdVfkVdt 加 标地转风，故即：（5.28）1gVkf 即：注：已不显含了！即：（5.27）此式推热成风可可用到。可见：3010

8、Uf请同学自己写在扉页！(2)惯性风惯性风水平气压场均匀下，科氏力与惯性离心力平衡下的运动iV由（5.21）平衡关系为20iiiTTVfVVfRR (5.30)iV0f 0TR 风速必为正，北半球，故要求流点迹线为反气旋（顺时针）式iTVRf 由（5.30）又知：(5.31)随 增加而减少（见右上图）TR若视f不变，则迹线曲率半径不变，迹线是个圆惯性圆称惯性振荡！其惯性振荡周期 （以Vi速率绕惯性圆一周所需时间）为：(5.30)222TTiiTRRTVfRf22421sin2iTff处绕Z（天顶）轴的旋转周期（以绕z 角速度 完成所需时间。）而纬度sin2：顺时针，反气旋式，故：D压中心，平衡

9、情况：（3）旋衡风旋衡风当科氏力可略去时。离与梯离与梯的平衡运动eV由(5.21)平衡关系为21eTVpRn -(5.33)故有：TeRpVn(5.34)0eV 0TR 0pn为保证，时须，0TR n：反时针，气旋式，故向内。0pnPeC与0TR 0pn时须0TR n向外0pnnPeC： 正方向气压高，仍是D压中心，平衡情况：与iT0180故又称半个摆日，即佛科摆转所需的时间（18小时）不过实际大气中，纯粹的惯性运动并不重要。结论：旋衡风只出现在D中心系统，但可是气旋式也可是反气旋式。不过，在北半球看到的D压总是气旋式，这表明尽管这里科氏力略去，0C是起了一定作用的。在D压形成初期，D压辐合，

10、受0C作用：辐合中要向右偏转气旋式辐合eCCP、0VG（4）梯度风梯度风较前几种平衡风更一般，是三力平衡下的运动故有： 012npfVRVGTG（5.35） 易见，RT时，上式转为地转风，故地转风是梯度风之特例。npRRfRfVTTTG)2(22 （5.35）解一元二次方程，得：（5.36） VG理当为正实根，故有下述讨论：RTn 0时，气旋式，指心，0，0，（5.35）成立须0方程（5.35）不成立，无论取np根，负根：无意义。，正根：正故因根，Dnp,0,00D中心，取取，均无意义。0时，反气旋式，RTn 指外。0np）就无虚根，（若36. 500G中心， np扣除增加VG）大（正）小（异

11、GG越大，越小，取时越少越0np D中心，0无虚根 取 D反气旋式低压（最多小尺度旋衡风时可见，故异 ）负根无意义因为 的值大于的值，而 取负根，又是正的以上四种情况，即（a）（b）满足风压定律，属正常情形其风速由（5.38）给出。中第二项，RT，均为负，故负号有效。和之第二项，npTR本身还得为正！本身还得为正！npTRRfT22此外，对于正常高压，还有一个约束条件（5.37），即np4max422fRRfTTnp： 不得超过（5.39）代入风速表达式即（3.38）第二式，可见梯度风速也有一个极限2maxRVTGf（5.40）（5.39）、（5.40）表明：气压梯度及风速随RT减小而减小，这

12、部分解释了天气图上高压中心（ RT小）附近常观测到气压分布相对均匀而风速相对较小的现象。00122gGTGGTGfVfVRVnpfVRVGfV 对于（5.35）：，两端除以 后，有 RVVVTGGgf1VVRVVRGgTGgT）：反气旋式（）：气旋式（00（5.43） 可见VgVGVgVG与有所差别，但还是多用，因虽较精确但难以求得。gfV5.3.地转风随高度的变化 热成风热成风首先回顾几个流体力学所学的概念：)(pfpT正压大气，即等面、等 面等 面平行or重合的大气， p0P 如右图，设有一等压面不一定与xoy面平行 有坡度有气压梯度方向在-x,即气压是左低右高，Vgo正压是暂时的，相对的

13、。而变化：而变化：自动正压大气运动过程中能维持原有正压状态的大气，如均质大气c，另外温度直减率为 且按干绝热变化的大气亦然。),(TpfpT斜压大气，等面与等面、等面是斜交的。 首先说明：斜压性将引起地转风随高度斜压性将引起地转风随高度zd按风压定律，必有y方向的风斜压：温度在等压面上分布不均！斜压：温度在等压面上分布不均！TTABp1若大气是斜压的，设左冷右暖，即，则其相邻等压面不再与之平行而位于虚线处，而是右端即N区上抬左端L区下压（这代表等压面厚度正比于其间温度）（p60,4.6）p1p0G0gV等压面与一样，仍是左D右G，指向-x，仍有y方向地转风，所不同的是等压面坡度加大，即 xpp

14、0值比上的大，故地转风值也大：结论：斜压大气下，地转风速随z增加而加大，地转风方向也可能改变。（本讨 论等压面是x方向倾斜，若y方向也倾斜，就有 分量了。）的垂直变化，根源是斜压，即有左L右N的水平温度梯度存在。注意：以上Vg称：一个气层内gV的垂直切变为该气层内的热成风。下面推一下热成风方程： P坐标下地转风公式为kfpgV1（5.45）gu对p求导：kpfppgV1（5.46）ppRTp上式有一个，而静力学方程：，故代之入（5.46），有kTfpRkpRTfppgV)(1 故有微分形式的热成风方程： kTfpRppgV 当然也可和教本统一，改写成： TkfRppgVln （5.48）下标p

15、可略而不写算子相互独立可互换负号消去，R提出来，p也可以提出可见，沿等p若无温度变化，（0Tp）即正压时，地转风垂直切变为零。0pVg0T反之， ，则，故有结论：VgVg的垂直变化完全由斜压性决定，正压是无垂直变化的充要条件，鉴此引入：VVgg12pp21,VT热成风上下层地转风的矢量差，称等压面间的热成风 如右图，（5.48）对p积分：kpdppTfRpdppTkfRppggTpVpVV)ln(ln)()()(101021P1P2T颠倒差乘消去负号，积分在垂直向，故水平算子可提出积分号来pp10,T若以两等压面间平均温度代T T，则可积，所得结果同样可称积分形式的热成风方程： （5.50）

16、kTppfRpTV01ln ,与教本上一致，当然也可写成：)(10lnTkVpTppfR其分量式不难写出：ppxTvvvppyTuuupggTpggTfRfR10011001lnln)()(5.51)北半球背风而立左冷右暖。北半球背风而立左冷右暖。 常数？常数？地转风可由重力位势表出，当然热成风公式也可用积分（5.46），得：kfkdppppfVVVggT)(1)(1010110与书上统一，写成：)(101kfVT(5.52)其分量式为：xfyfvuTT)(1)(10101(5.53)其中，pp,0101故等位势厚度线就是等平均温度线等压面间位势厚度，显见，（5.50）与（5.52）等价，表出

17、，三点讨论：TV01lnTpRVTfp(i).由（5.50）知，之大小为(*)PRTPppTR0101ln将静力方程积分有 ，可见 TppR0110ln 代之入（*），得：10TVTf T TTV观测表明： 随高度变化不大，故位势厚度随高度的增加，热成风 不断加大， gVTV越高层，越与一致。这可解释：为什么越到高层地转风（等高线）越与等温线一致。TV？LNDGVg0Vg1TVT（ii） （5.50）、（5.52）表明：与等线或等厚度线平行，北半球背风而立左L TVTsin右N N；与 成正比，与成反比。zT(iiiiii)热成风既给出风随的变化又给出其间 水平分布，故可以估计出冷暖平流：顺（

18、反）时针转z风向随 暖（冷）平流，以下给出暖平流示图：)(10lnTkVpTppfR5.4.地转偏差地转偏差VgV地转风简明扼要，突出了实际风许多重要特征，但实际风总是有差别的。为此引入：地转偏差地转偏差实际风与地转风的矢量差实际风与地转风的矢量差： -5.55gVV V 对p坐标下自由大气水平运动方程dVfkVdt (5.56)，两端叉乘 ：()dVkkf kVkdt 1,()ggkfVkVkVfV 故有：()gdVkf VVfVdt k =（见右图）kVkVij与由此可见：故地转偏差的矢量式和分量式分别为：kdtVdfV1dtdufvdtdvfu11 (5.59)(5.60)VdtdVhd

19、tVddtVdsin与垂直，在北半球指向的左侧，其大小与成正比，与成反比。 VgVV若梯度力与柯氏力平衡，则流点应沿运动，而实际上却沿运动，故的出现是由于流点轨迹方向上水平气压梯度力与柯氏力不平衡的结果。xyzp3p2p1gVVdVdtV偏于D侧，梯度力对流点作功，其动能增加，反之动能减少，对此可证明：V 若V有地转偏差时，实际风要斜穿等压线 质量重新分布风压场出现变化。 用 V点乘（5.56），得：cos12)()2(nVpVVkVfVdtd(5.61)Vngpf)(sincos10212;022sin)2(gfVVVdtd注意：故上式为： 由此可知：科氏力不做功！yzp3p2p1gVVdV

20、dtV12偏向G压，流点反抗气压点运动，其动能减少。0sin20sin20sin2（1） 流点偏离等压线运动其动能要变化。 偏向D压，气压场作功使动能增加 由此可知：（2）动能增加与f有关，同样条件下，纬度越高动能改变越大。（3）纯地转风运动，则气压场不作功， 流场也将维持不变：VVg0)(202),(故投影如图，gVggVVVdtd 其实，在（5.61）中取，则VV5.5 决定地转偏差的因子决定地转偏差的因子 V已知：地转偏差：，当然，这里的 水平风矢量。已推出：kdtVdVf1- 表明：V与水平加速度（纬度）成正（反）比关系！而对水平加速度，其p坐标下表达式为： pVyVvxVutVppp

21、dtVd)()()(将代入，有 321)3()2()1()()()(11VVVpVkfvukfkftVtVtVVppp注：本节内容中所有号均表示地转偏差，而非无量纲量Vg- VV可见，产生地转偏差的因子有三个，下面分别加以说明：（1 1）风场的非定常性：）风场的非定常性：)(1tVpkfV为讨论简便，对上式取地转近似kfkfVHgpp8 . 91则ktktktVHHkkfHkfgpgpgp)(8 . 9)8 . 9)(221即有： gpHfV218 . 9)(tHHgpg1V其中，等压面位势高度的局地变化 变高，故又称变压风。 =9.8Hga(bc)=(ac)b-(ab) c表明：变压风是气压

22、场发生急剧变化而破坏了地转平衡时的非地转部分；变压风的方向与变高的梯度方向一致，向 低值区“吹”；变压风的大小与变高的梯度值成正比，与 成反比；空气质量向负（正）变高中心合（散）上升（下沉）运动云雨 （晴天）（如下图）f2（2 2）风速的平流变化）风速的平流变化)()(12ppyVvxVukfVsVtdtdtVV,psVVkfV）(12若取自然坐标则上式可改写为：gH（流线的辐合辐散和弯曲作用）其中nVtVtRsVstsVtVssVTpppp)()()()()(代入到，有)()(122)()(nktkfVnVtVkffRvsVRsVVTpTp即有：tnfVfRVsVVTp2)(2表明：由风速的

23、平流变化所引起的地转偏差，又为两项因子决定：a风场沿运动方向的不均匀性风场沿运动方向的不均匀性；b流线的弯曲作用流线的弯曲作用同样，为讨论简便，对中的风速取地转近似：ngfsVVpg)(等压线（或等高线）越密，地转风越大，故此项表 流线的辐合辐散引起的地转偏差，有以下三种情形（如图）：沿流动方向（Vg方向）等高线辐合，故地转风加大，产生的地转偏差 垂直于等高线并指向低压（n方向）与上情况相反，地转偏差指向高压（n的负方向上）沿流线等高线没有辐合辐散，故Vg大小不变。abtfgRVT2流线弯曲引起的地转偏差，为不考等高线疏密而只考流线 曲率RT，考虑如右下图的例子：等高线有曲率，但疏密处处相等，则：，故b之负号有效0RTt在低压槽内，方向，即与地 转风反向的地转偏差2V，于是实际风小于地转风，在槽线处，这种反向地转V也就最小。在CD与EF之间的高压脊区域内，因故地转偏差与地