(王宜举)概率论与数理统计第二章答案

1、第二章第二章 随机变量随机变量习题二答案习题二答案 解 投掷色子两次，全部的基本结果共36个。其中最小点数为1的结果11个： (1,1)， (1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5) ， (1,6) ， (6,1)， (5,1) ，(4,1)， (3,1)， (2,1)由古典概型，得 p1=11/36 其余类似计算。分布律如下： 1.将一颗色子投掷两次，用 表示两次投掷中得到的最小点数，试求 的分布律12345611/369/367/365/363/361/36kp 解 事件 =k即前k-1次失败，而第k次成功，由独立性得 pk=pqk-1,k=1,2,3.事件 =k即前k-1次有两

2、次成功而其余失败，而第k次成功。由二项概率公式，前k-1次有两次成功而其余失败的概率为 ，又由独立性得2231kkCp q2331(),3,4,5kkPkCp qk 2.某试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，其中0p1。现将该试验独立地重复多次，并用 表示试验进行到出现第一次成功时所作的试验的次数，用 表示试验进行到出现第三次成功时所作的试验的次数，分别求 和 的分布律。 3.一房间有3个同样的窗户，其中有一个是打开的。现房间有一只小鸟飞来飞去，试图从开着的窗户飞走。它飞向各窗户是等可能的。用 表示小鸟为了飞出房间试飞的次数。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，求 的分布律； 。 （

3、2）若小鸟在飞行过程中是有记忆的，也就是它飞向同一窗户的尝试至多一次，求 的分布律。 解 小鸟每次试飞能飞出房间的概率是1/3。 （1）若小鸟在飞行过程中是无记忆的，则各次尝试相互独立，从而， 即前k-1次失败，而第k次成功，由乘法公式得： k11212/3 ,1,2,333kkkPkk1212112311/3,2112()() (),3233()1/3PPP A AP A P A APP A A A （2）若小鸟是有记忆的，则各次尝试不相互独立，用Ai表示事件：第i次飞出窗户，则 4.一座楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1。令 为同一时刻设备被使用的台

4、数，求其分布律。(5,0.1)b550.10.9,0,1,5kkkPkCk解 服从二项分布 5.每次试验中，事件A发生的概率为0.3。当A发生的次数超过2次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解 设A发生的次数为 ， 服从二项分布 , 指示灯发出信号即 （1）n=5, （2）n=7, ( ,0.3)b n0.30.7,0,1,kkn knPkCkn555k=320.30.7kkkPC777k=320.30.7kkkPC2 6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7。今各投3次，求（1）两人投中次数相等的

5、概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。33330.60.4,0,1,2,30.70.3,0,1,2,3kkkkkkPkCkPkCk 解 用 分别表示甲乙两人投中次数， 均服从二项分布 , , (3, )bp, 3033333k=03030333330(1)0.60.40.70.3(2),) (0.60.40.70.3kkkkkkkkjkjkkkjjjkjPPkCCPPkjPk PjCC 7.有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，当5件中无次品时接受这批产品，否则拒收。设产品的次品率为0.

6、1，求 （1）这批产品第一次检验被接受的概率； （2）需作第二次检验的概率； （3）这批产品第一次检验未能作决定而第二次检验时被接受的概率； （4）这批产品被接受的概率。101055,()0.10.9,0,1,2,10()0.10.9,0,1,2,5kkkkkkPkCkPkCk 解 分别用表示第一、二次检验产品时的次品数,均服从二项分布.即10310102(1)(0)0.90.349(2)(12)0.10.90.581(3)(12,0)(12) (0)0.581 0.590.343(4)(0)(12,0)0.692kkkkPPCPPPPP 8.一电话总机每分钟收到的呼叫次数服从参数为4的泊松分

7、布。求（1）某分钟恰有8次呼叫的概率；（2）某分钟的呼叫次数大于3的概率。解 设每分钟收到的呼叫次数为 ，则84240(),0,1,2,!4(1)(8)0.029778!4(2)(3)1(2)0.23811!kkkPkekkPePPek 9.在区间【0,1】上任意投掷一个质点，以 表示其坐标。设这个质点落在【0,1】中任意小区间的概率与小区间的长度成正比，试求 的分布函数。( )()0, ()()001, ()(0)1, ()( )100( )0111F xPxxPxPxPxPxxxPxPxF xxxx 解当当当 10.以 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）。设其

8、分布函数为求参数 ，并计算下述概率1,0( )0,0 xexF xx (1)(3);(2)(4);(3)(34);(4)(2.5);PPPP( )0(0)(0 )11F xxFF 解 因为在点 =0连续，故得3434(1)(3)(3)1(2)(4)1(4)1(4)(3)(34)(4)(3)(4)(2.5)0PFePPFePFFeeP 11.某器件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度：现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），现从中任取5件，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？21000,1000( )0 xf xx解 以 表示该种器件的寿命，从而2150010002(1500

9、)3Pdxx5551145(5,2/3)()(2/3) (1/3)(2)1(1)1(1/3)(2/3) (1/3)0.955kkkbPkCPPC 以 表示5件器件中寿命超过1500小时的件数。由独立性，概率分布 12.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以分钟计）服从指数分布某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 的分布律，并求概率P 1.51e,0( )50,xxf xx0225525()C (e ) (1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kkkPkkPP 【解】依题意，该顾

10、客未等到服务而离开的概率为即 ,其分布律为2 (5,e )b25101(10)ede5xPx【解解】密度函数1,05( )50,xf x其他22244201616(2)16(2)0122( 12)(02)5xkxkkkkkkPkPk 方程有实根，即解得 13.若随机变量k在（0，5）上服从均匀分布，则方程 有实根的概率是多少？ 24420 xkxk【解解】 10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06PP1(2)( 2)21(2)0.0456 14.由某机器生产的螺栓长度（cm） N（10.05,0.062）规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【

11、解解】 故 (120200)120160160200160PP404040210.8 4031.251.29 15.某种元件的寿命 （小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120 2000.8，允许最大不超过多少？【解解】 可取的值为可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)61530PPPPP 16.设随机变量 的分布律为求 = 2的分布律.1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 Pk2 1 0 1 3故 的分布律为1(4)(2)511(9)(3)30PPPP 1/5 7/30 1/5 11/30Pk0 1 4 917.(0,1),(1), (2)2lnUe

12、 设随机变量求下列随机变量的密度函数101( )0(1)0,( )0,( )0,( )()(ln )(ln )( )( )(ln )1/=1/xfxyyeFyfyyeFyPeyPyFyfyFyfyyy解其它当或时当0时(2)0,( )0,( )0yFyfy当时/ 2/ 20,( )(2ln)()1()yyyFyPyPeF e 当时/ 2/ 21( )( )()2yyfyFyfee 18.设随机变量 服从正态分N（1,12), 服从正态分布N(2,22)，且P| -1|P| -2|0时，2(ln)/ 2d( )1( )e,0d2yFyfyyyy故( )()0YFyP Yy(2) 当y1时，2( )()(21)Y