课件说明第9积分

1、 9.3 三三 重重 积积 分分1三重积分的三重积分的概念概念三重积分的计算三重积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业triple integral9.3三三 重重 积积 分分问题的提出问题的提出第第9 9章章 重重 积积 分分 9.3 三三 重重 积积 分分2一、一、问题的提出问题的提出采用计算采用计算非均匀非均匀平面平面设有一非设有一非均匀空间均匀空间物体物体,非均匀非均匀空间物体的质量空间物体的质量占有界闭区域占有界闭区域,物体在点物体在点 (x, y, z)处的密度处的密度f ( x, y, z)为闭区域为闭区域 的连续函数的连续函数, 计算该物体的质量计算该物体的质量M.如果物体

2、是如果物体是均匀的均匀的, 即其密度为常数即其密度为常数,则物体则物体的的质量等于物体的密度乘以物体的体积质量等于物体的密度乘以物体的体积. 对于计对于计算算非均匀非均匀空间物体空间物体的的质量质量,薄片质量的方法薄片质量的方法. 9.3 三三 重重 积积 分分3),(iii ,),(的近似值的近似值作为作为以以iiiiiMVf 即即(1) 分割分割 用一组曲面网将有界闭区域用一组曲面网将有界闭区域任意任意分成分成n个小闭区域个小闭区域n ,21的体积记的体积记i (),iV 为为)., 2 , 1(niMii 的质量记为的质量记为(2) 取近似取近似 在每个小闭区域在每个小闭区域i上任取一点

3、上任取一点iiiiiVfM ),( ), 2 , 1(ni (3) 求和求和 整个物体质量的近似值整个物体质量的近似值 niiiiiniiVfMM11),( (4) 取极限取极限求物体质量的精确值求物体质量的精确值四步四步:当各小闭区域直径中的最大值当各小闭区域直径中的最大值 趋于零时趋于零时,.),(lim10 niiiiiVfM 9.3 三三 重重 积积 分分4设设f (x, y, z)是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个iv ),(iii ), 2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三

4、重积分的定义三重积分的定义nvvv ,21将闭区域将闭区域任意分成任意分成 n个小闭区域个小闭区域 其中其中iv 并作和并作和作乘积作乘积有界函数有界函数. .也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第 i 个小闭区域个小闭区域,上任取一点上任取一点二、三重积分的概念二、三重积分的概念(define)定义定义9.2(1)(2)(3)(4) 9.3 三三 重重 积积 分分5记为记为函数函数 f (x, y, z)在闭区域在闭区域 上的上的三重积分三重积分. . 趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在,iiiniivf ),(lim10 则称此极限为则称此极限为 vzyxfd),(即即v

5、zyxfd),(体积元素体积元素 9.3 三三 重重 积积 分分63. 三重积分的几何意义三重积分的几何意义设被积函数设被积函数, 1),( zyxf vVd1连续函数或分片连续函数一定可积连续函数或分片连续函数一定可积2. 三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.当当f (x, y, z)的三重积分存在性时的三重积分存在性时,(existence)称称f (x, y, z) 9.3 三三 重重 积积 分分7对称性质对称性质补充三重积分补充三重积分4. 三重积分的性质三重积分的性质与二重积分的性质类似与二重积分的性质类似.,d),(vzyxf, 0

6、vzyxfd),(则则 21其中其中1为为在在xOy坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.(property)若区域若区域关于关于xOy坐标面对称坐标面对称,f (x, y, z)为为z的奇函数的奇函数,f (x, y, z)为为z的偶函数的偶函数,),(),(zyxfzyxf 则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.),(),(zyxfzyxf (偶偶) 9.3 三三 重重 积积 分分8或或,坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的奇函数的奇函数是是yf而得结果为零而得结果为零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 则则为为设域设域 部分部分的的

7、为为01 z ,1坐标面对称坐标面对称关于关于xOz 的奇函数的奇函数是是yf,坐标面对称坐标面对称关于关于xOy 的偶函数的偶函数是是zf 9.3 三三 重重 积积 分分9例例,2222azyx 为为设域设域 vyzxd2 0 vzyd22 vzyd4222 , 04,d),(vzyxf vzyxfd),(则则若域若域关于两个坐标面关于两个坐标面 yOz, xOz都对称都对称, 其中其中2是是在第一在第一, 五卦限部分的区域五卦限部分的区域.2是是在一在一, 五卦限部分的区域五卦限部分的区域, 则则2 f 同为同为 x, y的奇函数的奇函数,f 同为同为 x, y的偶函数的偶函数, 9.3

8、三三 重重 积积 分分10研究生考题研究生考题,选择选择, 3分分, 0,22221 zRzyx：设空间区域设空间区域 .d4d)A(21 vxvx.d4d)B(21 vyvy.d4d)C(21 vzvz.d4d)D(21 vxyzvxyzC则则( )成立成立., 0, 0, 0,22222 zyxRzyx： 9.3 三三 重重 积积 分分11若域若域关于关于三个三个坐标坐标面面都都对称对称,其中其中3是是 在第在第一一卦限部分的区域卦限部分的区域.例例,2222azyx vyzxd 0 vzyd22 vzyd8223 , 0 vzyxfd),(则则3 ,d),(vzyxf8为为设域设域 3是

9、是 在第一在第一 卦限的部分卦限的部分, 则则f 同为同为 x, y, z的奇函数的奇函数,f 同为同为 x, y, z的偶函数的偶函数, 9.3 三三 重重 积积 分分12 vzyxfd),(则则 , 0 vzyxfd),(24 若若 关于关于原点对称原点对称,其中其中4为为 中中关于原点对称的一半区域关于原点对称的一半区域.f 为为 x, y, z的奇函数的奇函数,f 为为 x, y, z的偶函数的偶函数, 9.3 三三 重重 积积 分分13.lkjizyxv 则则zyxvdddd 三、三重积分的计算三、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分故故直角坐标系下直

10、角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为 vzyxfd),().(是是小小长长方方体体iv 在直角坐标系中在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分,zyxf),(直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分.思想是思想是zyxddd 9.3 三三 重重 积积 分分14,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由于由于V是长方体是长方体, 故故.20115141 Ixx d103 例例三次积分的上、下限都三次积分的上、下限都是常数是常数

11、,计算三重积分计算三重积分其中其中V是长方体是长方体 2 zzdcos0yy d104 43yxyOx 20dcoszz11D先一后二法先一后二法 D d xyzO211 9.3 三三 重重 积积 分分15),(:11yxzzS Dyx ),( 投影法投影法),(:22yxzzS 先一后二法先一后二法如图如图, 闭区域闭区域在在xOy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D,过点过点作直线作直线,xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z从从z1穿入穿入, 从从z2穿出穿出.(如先如先z后后xy) 9.3 三三 重重 积积 分分16

12、 ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型再计算再计算F(x, y)在闭区域在闭区域D上的二重积分上的二重积分d),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D dvzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd则则先将先将x, y 看作定值看作定值,将将f (x, y, z)只看作只看作z的函数的函数,xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z因为因为 9.3 三三 重重 积积 分分17

13、vzyxfd),(如何写出当如何写出当D为为Y型闭域型闭域时时, ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf baxd注注三次积分的公式三次积分的公式三重积分化为三重积分化为交不多两点情形交不多两点情形. )()(21dxyxyy这是平行于这是平行于z轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域内部的直线与内部的直线与闭区域闭区域的边界曲面的边界曲面S相相 9.3 三三 重重 积积 分分18所以所以, 三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积和积分域和积分域 选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时, 要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数 f

14、(x, y, z)同样同样, 也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.分分(累次积分累次积分). 9.3 三三 重重 积积 分分19 以上计算三重积分的方法按先以上计算三重积分的方法按先“单积分单积分”又由于此方法是先把积分区域又由于此方法是先把积分区域向坐标向坐标所以又称其为所以又称其为“先一先一后后“二重积分二重积分”的步骤的步骤, 后二后二”的积分次序的积分次序.故该方法也称为故该方法也称为坐标面投影法坐标面投影法.面投影面投影, 且二重积分的积分区域就是且二重积分的积分区域就是的投影的投影区域区域, 9.3 三三 重重 积积 分分20解解1:22 yxD化三重积分化

15、三重积分 zyxzyxfIddd),(为三次为三次222yxz 22xz 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. 22222xzyxz由由其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线投影区域得交线投影区域 ：2211xyx 11 xz I 222yx22x xyzO22xz 222yxz 积分积分, zzyxfyxd),(dd22x 222yx 21x 21x 1 1 9.3 三三 重重 积积 分分21解解1:22 yxD化三重积分化三重积分 zyxzyxfIddd),(为三次为三次例例222yxz 22xz 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. 22222xzyxz由由其中积分区域为由曲面其中积

16、分区域为由曲面消消z得交线投影区域得交线投影区域 I积分积分, zzyxfyxd),(dd22x 222yx 21x 21x 1 1确定积分限的口诀确定积分限的口诀:含含z方程为上、下面方程为上、下面,无无z 、 有有z消消z围围D线线. 9.3 三三 重重 积积 分分22例例 求求 zxzyxyyzxI10)1(1010de )1(dd2111解解2ey 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,应先对应先对x积分后对积分后对yz积分积分 xd 10d)1(yy21.e41 一定要一定要交换积分次序交换积分次序. I yy d)1(1 zyxxyzO 10d)1(yy yzyzy102)1(

17、)1(de2 yzyzzy10)1(d)1(e2 zzyde2)1(zy 10y 1010 10)1(21yyzy 10)1(2eyd( (先一后二先一后二) ) 9.3 三三 重重 积积 分分23 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) ) xzd dyzDzy 10计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz.1所围成的闭区域所围成的闭区域个坐标面及平面个坐标面及平面 zyx zyxzddd 102d)(121zzz.241 111xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 例例解解其中其中为三为三 9.3 三

18、三 重重 积积 分分24 zyxzddd zDyxdd1,10 ,10| ),(zyxzyzxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法) )解解)1)(1(21zz 10dzz计算三重积分计算三重积分 ,dddzyxz例例原式原式= zzzd)1(21210.241111xyzO1 zyxzD.1所围成的闭区域所围成的闭区域个坐标面及平面个坐标面及平面 zyx其中其中为三为三 9.3 三三 重重 积积 分分25 截面法截面法(红色部分红色部分)先二后一法先二后一法截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)投影投影, ,得投影区间得投影区间c1, c2;(2),21ccz 对对(

19、3)计算二重积分计算二重积分 zDyxzyxfdd),(4).d)(21 cczzF最后计算定积分最后计算定积分xzOy1c2cz得截面得截面Dz;其结果为其结果为z的函数的函数F(z);(如先如先xy 后后z) zD把积分区域把积分区域向某轴向某轴(如如z轴轴)用过用过z轴且平行轴且平行xOy的平面去截的平面去截, 9.3 三三 重重 积积 分分26 即即 zDccyxzyxfzvzyxfdd),(dd),(21 21d)(cczzF当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便. 希望自己推希望自己推注注且截面且截面Dz易

20、知时易知时, 9.3 三三 重重 积积 分分27对上述公式可作一直观的物理解释对上述公式可作一直观的物理解释: Dyxddd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf设设 f (x, y, z)是一物体的密度函数是一物体的密度函数,是是中位于点中位于点 (x, y)处的竖直细棒处的竖直细棒),(),(),( 21yxzzyxzzyx 的质量的质量,而二重积分而二重积分d),(),(),(21 yxzyxzzzyxfyxDdd vzyxfd),(),(yxM yxDdd 则表示将诸细棒的质量累积成整个物体的质量则表示将诸细棒的质量累积成整个物体

21、的质量.d),( vzyxf则则 ),(yxM先一后二法先一后二法 9.3 三三 重重 积积 分分28zyxzyxfccDzddd),(21 zDccyxzyxfzdd),(d21 vzyxfd),(对上述公式可作如下物理解释对上述公式可作如下物理解释:物体的密度函数物体的密度函数,是截面是截面Dz的质量的质量,则二重积分则二重积分则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量.d),( vzyxf设设 f (x, y, z)是一是一 zDyxzyxfdd),( )(zM而定积分而定积分dd),( zDyxzyxf)(zM zccd21 zccd21 先二后一

22、法先二后一法 9.3 三三 重重 积积 分分29计算计算,ddd2zyxz其中其中为椭球体为椭球体:. 1222222 czbyax解解 先二后一法先二后一法, czc zDyx ),( 2222221),(czbyaxyxDz zDyxdd cczz d2 cczzczabd)1(222.1543abc zyxzddd2abczOxyzD 9.3 三三 重重 积积 分分301222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 已知椭球已知椭球V:内点内点(x, y, z)处质量处质量的体密度为的体密度

23、为:求求椭球的椭球的质量质量. 9.3 三三 重重 积积 分分31a a解解 因为因为vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzydd 222211axcaxbxaxaad22 zyddxD:1222222的面积的面积椭圆椭圆axczby 221axbc其中其中zOxy先二后一法先二后一法(截面法截面法) 9.3 三三 重重 积积 分分32由对等性知由对等性知abc154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc15

24、4xaxxabcad)1(202222 a azOxy 9.3 三三 重重 积积 分分33xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面解解2222ayx VvVd zd xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa极坐标极坐标所围立体体积所围立体体积V.)22(383a 例例 xyD d2224yxa 22yx yOxa2xyDV在在xOy面的面的投影域投影域Dxy为为 9.3 三三 重重 积积 分分34,0 ,20 z规定规定xyzo ),(zyxM),( P z , , 直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为,cos xzz 就叫点就叫点M的的柱

25、面坐标柱面坐标.2. .利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical coordinates设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影 P 的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数直观地讲直观地讲, 以以O为观察点去为观察点去观察空间一个点观察空间一个点M,则则M之间的水平距离之间的水平距离, 是是而而z是是M的高度的高度.表示表示O与与 的方向角的方向角, ,sin yyxz 22yx xy tanzz 9.3 三三 重重 积积 分分35为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标柱面坐标系中系中,

26、以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面;过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为z , 称点称点M的柱面坐标的柱面坐标),(zyxM),( PxyzO vzyxfd),(,cos xzz ,sin y 9.3 三三 重重 积积 分分36 xyzo 柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为zvdddd V 在在柱面坐标系柱面坐标系中中,如图如图,V 得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域,柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系

27、是积分的关系是 z z 9.3 三三 重重 积积 分分37 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐标系直角坐标系下计算三重积分方法下计算三重积分方法.将三重积分化为将三重积分化为,cos x,sin yzz 三次积分三次积分( (累次积分累次积分) )zvdddd 9.3 三三 重重 积积 分分38 zyxzyxfddd),(柱坐标系柱坐标系下三重积分的计算下三重积分的计算, 可得可得柱坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),(

28、),(2121d),(ddz , 与与x, y, z等同的看为三个变量等同的看为三个变量. 如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示, ).()(21 只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式. 类比公式类比公式先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用 9.3 三三 重重 积积 分分39从而从而, ),()(21 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d: 再再确定确定的下的下, 上边界面上边界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积、 、z. ),(),(21 zzz 9

29、.3 三三 重重 积积 分分40如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图).20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(则则: HRzzf0020d),sin,cos(dd xyzO 9.3 三三 重重 积积 分分4120 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz计算计算)0(0222 yxyx 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为.982a 20d azz0d cos202d z原式原式 zddd 其中其中由半圆柱面由半圆柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222

30、xyx 2200dcosdsinxxxxInnn ,3254231,22143231nnnnnnnnn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数 9.3 三三 重重 积积 分分42例例222yxz 已知立体内任一点的质量的体密度已知立体内任一点的质量的体密度解解vyxkMd)(22 因为因为222yxz 平面平面2222 yx柱面坐标柱面坐标求曲面求曲面2 z与与所围立体的质量所围立体的质量M,与该点到与该点到z轴轴 的距离的平方成正比的距离的平方成正比.)0( k常数常数的的交线交线是是2 z与与2 z上的圆上的圆体密度函数为体密度函数为xyzO2 z222yxz )(22yxk 9.

31、3 三三 重重 积积 分分43的的下边界面下边界面是是),(2122yxz 上边界面上边界面是是故故zkddd2 222d z.316k 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半径为是半径为2的圆域的圆域 d203 20d k . 2 zxyzO422 yxxy 20,20 ;212 z 9.3 三三 重重 积积 分分44解解zzddde2 如先对如先对z积分积分其中其中是由锥面是由锥面,ddde222zyxyxz 计计算算与平面与平面22yxz zyxyxzddde222 21 zz、所围成的锥台体所围成的锥台体.柱面坐标柱面坐标xyzO22yxz 9.

32、3 三三 重重 积积 分分45xyzO可看出如先对可看出如先对z积分积分,zzde2 (积不出来积不出来).zzddde2 ).ee (4 zzzde2212 212ez 将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.zyxyxzddde222 ddde2zz0z120这里应先对这里应先对 、 积分积分,22yxz 2 9.3 三三 重重 积积 分分46解解2)(zyx 222zyx 对称性质对称性质)(2zxyzxy 是关于是关于yzxy vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 计算计算是抛物面是抛物面其中其中 所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.,的奇函数的奇函数y222222 zyxy

33、xz和球面和球面同理同理, vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 因为因为所以所以因为因为zx是关于是关于x的奇函数的奇函数,所以所以且且关于关于zOx面对称面对称.且且关于关于yOz面对称面对称. 9.3 三三 重重 积积 分分47vzyxd)(222 计算计算20 10 222 z d)2(222103 20102322ddd zvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐标柱坐标 ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 122 yx在在xOy面上的面上的yOx1xyD 投影域投影域Dxy为为 9.3 三三 重重 积积 分分48).89290(60 vz

34、 d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 对称性质对称性质vzyxd)(222 2221020: z4vzyxd)(222 计算计算vzyxd)(2 的偶函数的偶函数yx,都对称都对称xOzyOz,关于两个坐标面关于两个坐标面同同为为fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 9.3 三三 重重 积积 分分49 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面 (或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.在应用柱面坐标计算三

35、重积分时在应用柱面坐标计算三重积分时, 应熟悉一些常见应熟悉一些常见曲面的柱面坐标方程曲面的柱面坐标方程:直角坐标方程直角坐标方程柱面坐标方程柱面坐标方程半球面半球面圆锥面圆锥面旋转抛物面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面222yxaz 22 az22yxz z22yxz 2 z222ayx a axyx222 cos2a 9.3 三三 重重 积积 分分50 r P zyxA,0 记投影记投影向量与向量与.20 ),( r规定规定, ,0 r),(zyxM OM再再将将正方向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM, r球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的之之长长为为记记向向量量OM3. .利

36、用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分xyzO设设M(x, y, z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影, x 轴正方向的夹角为轴正方向的夹角为直观地讲直观地讲, 角度角度 和角度和角度 类似于我们确定地球类似于我们确定地球 表面上任一地点的纬度和经度表面上任一地点的纬度和经度,而长度而长度r则表示球面则表示球面到球心的距离到球心的距离.可想而知可想而知, 球面坐标很适合描述球体球面坐标很适合描述球体或与球体有关的空间区域或与球体有关的空间区域., 9.3 三三 重重 积积 分分51球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为,sinsin ry ,cossi

37、n rx cosrz r zyxA),(zyxM xyzOyzxvzyxfd),( 222zyxr xy tan222coszyxz 9.3 三三 重重 积积 分分52为常数为常数r为常数为常数 球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面;过过z轴的轴的半平面半平面.为常数为常数 原点为顶点、原点为顶点、xyzOxyzOxyzOxyzOz轴为轴的轴为轴的圆锥面圆锥面; , r称点称点M的球面坐标的球面坐标vzyxfd),( 9.3 三三 重重 积积 分分53球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为rxyzo r dddsind2rrv V若以三

38、坐标面分割空间若以三坐标面分割空间V 得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中中, r sinrr 区域区域, sinr r sinr 9.3 三三 重重 积积 分分54 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先积积r、再积再积 . 后积后积)cos r (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r dddsin2rr 9.3 三三 重重 积积 分分55如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).: Rfvf0020(ddd 则则,0 ,0Rr 20 ,cossin r,si

39、nsin r cosr sin2rrdxyzO) 9.3 三三 重重 积积 分分56zyxzddd2 22cosr sin2rxyzO,1),( 222 zyxzyx设设 zyxzddd2则则.154 154解解 cossinsincossinrzryrxrddd 02010考研数学一考研数学一, 填空填空, 4分分rr ddsincos210402 zyxvdddd dddsin2rr 9.3 三三 重重 积积 分分57az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 计算计算例例所围的立体所围的立体. .)0(222 aa

40、zzyx与平面与平面球面坐标球面坐标xyzOaz 222zyx cossinsincossinrzryrx因为因为其中其中是锥面是锥面 9.3 三三 重重 积积 分分58 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr dddsind2rrv 9.3 三三 重重 积积 分分59解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由锥面和球面围成由锥面和球面围成, 的立体体积的立体体积. .2222222yxzazy

41、x 与与求求球面坐标球面坐标 V zyxddd1 ar20020ddd4 .)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2rxyzOar2 dddsind2rrv 20 cosrz ,cossin rx ,sinsin ry 所围成所围成 9.3 三三 重重 积积 分分60解解 积分域关于积分域关于xOy坐标面对称坐标面对称, zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222. 0 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222被积函数是被积函数是z的奇函数的奇函数.例例利用利用对称性对称性简化计算简化计算其中积分区域其中积分区域. 1222 zyx为为 xyzO 9.3 三三

42、 重重 积积 分分61 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222球球rddd sin2r01002 10223020d1)1ln(dcossindrrrr 或或积分区域积分区域1222 zyx为为 cosr)1ln(2r 21r . 0 )0dcossin(0 因为因为 9.3 三三 重重 积积 分分62当积分区域是球形域或是球的一部分当积分区域是球形域或是球的一部分;或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时, 用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便. .)(222zyxf 9.3 三三

43、重重 积积 分分63研究生考题研究生考题(数学一数学一)计算计算, 5分分 .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd被积函数是被积函数是 vxd围成的空间区域围成的空间区域,x的奇函数的奇函数.0 vzd dd cosr sin2r rd014200)(20 )sin21(402 )41(104r .8 球球请再用柱面坐标做请再用柱面坐标做.xyzO22221yxzyxz 与与是曲面是曲面设设所以所以积分域积分域关于关于yOz面对称面对称, 9.3 三三 重重 积积 分分64研究生考题研究生考题(数学一数学一) 12分分 设函数设函数f (x)连续且恒大于零连续且恒大于零, ,d)

44、(d)()()(22)(222 tDtyxfvzyxftF ,d)(d)()(2)(22 tttDxxfyxftG 其中其中,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 讨论讨论)(tF 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性. (2) 证明证明,0时时当当 t).(2)(tGtF 9.3 三三 重重 积积 分分65,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 解解 因为因为 )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF 球球极坐标极坐标 200220dsin)(ddtrrrf tf0220d)(

45、d ttfrrrf02022d)(d)(2 ttrrrfrrrf02022d)(d)(2 (1) 讨论讨论)(tF 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性.rrr 9.3 三三 重重 积积 分分66 )(tF2 trrtrrfttf022d)()()( ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)( trrrf022d)( 设函数设函数)(xf 连续且恒大于零连续且恒大于零 所以所以,内内在在), 0()( tF 单调增加单调增加.0 ), 0( t (1) 讨论讨论F (t) 在区间在区间), 0( 内的单调性内的单调性. 9.3 三三 重重 积积 分分67 (2) 证证 因因 (2) 证明证明,0时时当当 t).(2)(tGtF ttrrfrrrf0202d)(d)(,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 要证明要证明,0时时 t),(2)(tGtF 只需证明只需证明,0时时 t, 0)(2)( tGtF即即20202202d)(d )(d)(rrrfrrfrrrfttt )(tg ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)(令令. 0 9.3 三三 重重 积积 分分68则则rrtrftftgtd)()()(0222 0 内内