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1、浙江广播电视大学淳安分校欢迎您经济数学基础经济数学基础-2003(春春)财会财会主讲主讲:郑必平郑必平浙江广播电视大学淳安分校欢迎您第二章一元函数微分学一元函数微分学2.1极限极限概念 数列数列及数列的极限数列的极限数列是按一定规律排列的一串数简记作，数列也看作是定义在正整数集合上的函数(n=1,2,-)称为数列的通项或一般项。123,nx x xx nxf n nxnx浙江广播电视大学淳安分校欢迎您定义定义2.1给定一个数列,如果当n无限增大时，无限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数列以A为极限.记作这时，也称数列收敛，即当时，数列收敛于A。否则，如果当n无限增大时不能趋近某个固

2、定的常数A，则称当时，数列发散。nxnxnxlimnnnxAxA n或nxnnxnxn nx7214lim 1.nnpn例 求浙江广播电视大学淳安分校欢迎您函数的极限函数的极限定义定义2.3设函数f(x)在点时的邻域内(点可以除外)有定义，如果当x无限趋于(但)时，函数f(x)无限地趋近于某个固定常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为极限，记作若自变量x趋于时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，则称函数f(x)在点处没有极限。0 x0 x0 x0 xx0 x 00limxxf xAf xA xx或0 x0 x浙江广播电视大学淳安分校欢迎您例9求解y=c是常数函数，无论自变量如何变化，函数y始

3、终为常数c，说明常数函数的极限即为其自身。0limxc0limxcc010limxxx例求 解函数y=x，当时,有即0 xx0y xx 00limxxxx浙江广播电视大学淳安分校欢迎您左极限左极限和右极限右极限定义2.4设函数f(x)在点的领域内（点可以除外）有定义，如果当x且无限趋于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当x趋于时，f(x)以L为左极限，记作如果当x且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数f(x)无限趋近于固定常数R，则称当x趋于时，f(x)以R为右极限,记作0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 xx0 x 00limxxf xLf x

4、L或0 x0 x0 x0 x0 xx0 x浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 00limxxfxRfxR或定理定理2.1当时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是当时，函数f(x)的左，右极限存在且相等，即0 xx0 xx 000limlimlimxxxxxxf xAf xf xA浙江广播电视大学淳安分校欢迎您2.2极限的运算极限的运算极限的四则运算法则极限的四则运算法则定理2.3在某个变化过程中，如果变量u分别以A，B为极限，则有以下结论：（1）变量uv以AB为极限，即lim(uv)=AB(2)变量uv以AB为极限，即lim(uv)=AB(3)当B0时，变量以为极限，即vuBABAvulim浙江

5、广播电视大学淳安分校欢迎您nnnnnnAuuAnAuAuAukAukkulimlim,lim. 3lim,lim. 2lim)lim(. 1则存在，对正整数若推论则若推论推论浙江广播电视大学淳安分校欢迎您求下列极限求下列极限)3(lim. 13xx求6333limlimlim333xxxx解：)2(lim. 221xxx求11211lim2limlimlim)2(lim:111121xxxxxxxxxx解浙江广播电视大学淳安分校欢迎您1352lim.321xxxx求23461352lim65limlim)lim(2) 52(lim041lim3) 13(lim2111212111xxxxxxx

6、xxxxxxxxx所以又因为解：因为浙江广播电视大学淳安分校欢迎您285lim. 422xxxx求285lim0852lim085lim02lim2222222xxxxxxxxxxxxx而）（，）（解： 浙江广播电视大学淳安分校欢迎您965lim. 5223xxxx求：6132lim965lim32)3)(3()3)(2(965322322xxxxxxxxxxxxxxxx解：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xxx11lim. 60求21111lim)11(lim)111111(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx解：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您56122lim. 722nnn

7、nn求：2561122lim/ ) 56(/ ) 122(lim56122lim22222222nnnnnnnnnnnnnnnnn解：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您两个重要极限两个重要极限exxxxxx)11 (lim.2; 1sinlim.10ezzx10)1 (lim或浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xxxtanlim.90求111cos1limsinlim)1cossin(limtanlim0000 xxxxxxxxxxxx解：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xkxxsinlim.100求：解解：将kx视为一个变量，即令kx=t，当x0时，t0.于是有kkttkxkxxx1sinlimsin

8、lim00浙江广播电视大学淳安分校欢迎您21211cos11lim)sinlim(cos11cos1lim)cos1()cos1)(cos1(limcos1lim0202202020 xxxxxxxxxxxxxxxxx解：20cos1lim.11xxx求：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xxx2)11 (lim.12求：22222211lim11lim11lim)11()11(exxxxxxxxxxxxx解：浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xxx31lim.13 求：33333311lim31lim.,331lim31lim3131euxuxxuxxxxuxxxxxxxxx于是有时，当令看成解：将

9、浙江广播电视大学淳安分校欢迎您2.3函数的连续性函数的连续性函数的连续与连续函数函数的连续与连续函数 .lim6 .200000的连续点称为处连续，点在点则称函数邻域内有定义并满足在点设函数定义xfxxxfxfxfxxfxx .limlim000000处右连续在点，则称若处左连续；在点，则称若xxfxfxfxxfxfxfxxxx函数的间断点函数的间断点 .limlim321000000 xfxfxfxxxxxxx存在，但是处有定义，且有极限在点处极限不存在；在点处没有定义；在点浙江广播电视大学淳安分校欢迎您2.4 导数与微分的概念导数与微分的概念 xxfxxfxfdxdydxdfyxfxxfy

10、xxfyxxfxxfyxyxxxfxxfyyxxxxxfyxxxxxxxxx000000000000000lim|limlim007 . 2000即，或记为处的导数，在点并称此极限值为函数处可导，在点存在，则称函数的极限时，两个改变量之比若当取得相应的改变量时，函数取得改变量处在点变量的邻域内有定义，当自在点设函数定义浙江广播电视大学淳安分校欢迎您xxxxaanneyeyaayayxyxyxyxyxyxyaxexyxynxyxy1,ln,sin,coscos,sin1,lnln1log1,log,常见导数公式常见导数公式浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 .|,|9 . 20000000处可微在点

11、，并称即处的微分，记作在点函数为的改变量，称是自变量处可导，在点设函数定义xxfxxfdydyxxfyxfxxxxyxxxxdxedyeyadxadyayxdxdyxyxdxdyxydxxdyxydxaxedxxdyxydxnxdyxyxxxxaann;ln;sin,cos;cos,sin;1,ln;ln1log1,log.,1浙江广播电视大学淳安分校欢迎您2.5导数的计算导数的计算导数的四则运算法则导数的四则运算法则定理2.6设函数u（x），v（x）在点x处可导，则u(x)+v(x)在点x处亦可导，且 xvxuxvxu定理2.7设函数u（x），v（x）在点x处可导，则u(x)v(x)在点x处

12、亦可导，且 xvxuxvxuxvxu定理2.8设函数u（x），v（x）在点x处可导，v(x)0，则在点x处亦可导，且 xvxu xvxvxuxvxuxvxu2浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 223333cos03cos5sin5sin.5sin1xxxxxxxxyxxy解：的导数求函数例xxexxxexxxexxxeyyxxxeyxxxxxsin2cos22cos2cos2,cos242222解：求设函数例浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 dxxdxydyxxxxxxxxxxxyxxy222212121111111111.115解：的导数和微分：求函数例浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 xuxxu

13、yyxufyxxfyxuufyxxuxuufy,9 . 2或处可以导，且在点处可导，则复合函数在点处可导，在点且设定理复合函数的微分公式为dxuydxydyxu浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 3113030302160230213021,.218xuxuyyxuuyxyxu解：令的导数求函数例 xxxxuxuyxuuyyxyxutancossinsin1coslncos,ln:cosln.10令解，求导数设例浙江广播电视大学淳安分校欢迎您隐函数求导隐函数求导设y=y（x）是由方程F（x,y）=0确定的隐函数，将y=y(x)代入方程中，得到恒等式F(x,y(x)=0利用复合函数的求导法则，恒等式

14、两边对自变量x求导数，视y为中间变量，就可以求得y对x的导数.dxdy隐函数的微积分法实质上是复合函数求导法则的应用。浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 .,0220.1522222222yxyyyyxyyxayxxxyxxyyayxxyxxx得解出和复合函数求导法则有由导数的四则运算法则求导，的函数，方程两边对是解：方程中的导数对所确定的隐函数：求方程例浙江广播电视大学淳安分校欢迎您.31cot63131sin31cos31sin31sin1,31sinln182222222xxxxxxxyyxy解：求：设函数例 dxxxxdxdxxdxxxddxxdxxddxdddydyxxyxxxxx21233ln321233ln32121033ln321ln33:21ln33192223333解，求：设函数例浙江广播电视大学淳安分校欢迎您 .sinsincossin0sincossin0cossin,., 0cossin20 xyxxxyxyyyyxyyxyxyxyxyxyxdxdyxyyxyxy，有解出求导数解：方程两边对的导数所确定的隐函数：由方程例浙江广播电视大学淳安