单自由度体系结构的地震反应

1、结构动力学结构动力学第第3 3章章单自由度体系单自由度体系单自由度体系单自由度体系：SDOF（SingleDegreeofFreedom）System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 分析单自由度体系的意义分析单自由度体系的意义：一、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的大部分物理量及一、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的大部分物理量及基本概念。基本概念。二、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算二、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型结构动力分析中常用的单自由度体

2、系力学模型第第3章章 单自由度体系单自由度体系 3.1 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 3.1 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动自由振动：自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。不再受任何外力影响的振动过程。 运动方程：运动方程：扰动的表现：扰动的表现：自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动的分析可以了解结构的分析可以了解结构自振频率自振频率、阻尼比阻尼比等概念等概念。 0)()()(tkutuctum )0(),0(00uuuutt3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼

3、：无阻尼：c=0 自由振动：自由振动：p(t)=0运动方程：运动方程：初始条件：初始条件： ( )( )0mu tku t00( )(0)( )(0)ttu tuu tu( )( )( )( )mu tcu tku tp t3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动设无阻尼自由振动解的形式为：设无阻尼自由振动解的形式为： 其中：其中：s 为待定系数；为待定系数； A 为常数为常数特征方程：特征方程：两个虚根：两个虚根： stAetu)(0kuum 0)(2stAekmsnnisis21,mkin，122/nmks3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动运动方程的通解为：运动方程的通解为： 指数函数与三角

4、函数的关系：指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：运动方程的解：A，B待定常数，由初始条件确定。待定常数，由初始条件确定。( )stu tAe12,nnsisi tititstsnneAeAeAeAtu212121)(xixexixeixixsincossincostBtAtunnsincos)(3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动将位移将位移 和速度和速度代入初始条件：代入初始条件：得待定常数为：得待定常数为：( )cossinnnu tAtBttBtAtunnnncossin)(ButuAutuntt)0()()0()(00(0)(0),nuAuB00( )cossinnnnuu tut

5、t( )sin()nu tat初相位初相位 振幅：振幅： 2200nuau（）00arctannuu（）初相位：初相位： 振幅振幅 简谐运动的三要素简谐运动的三要素 频率频率 1）在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数固有参数？哪些 参数是依赖于外部条件外部条件的参数？2）无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动初始扰动后，其自由振动是以 固有频率为振动频率的简谐振动简谐振动，并且永无休止永无休止。3）初始条件是外界能量外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入 了弹性势能弹性势能，有初始速度即注入了动能动能。3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动体系无阻尼自由振动的解：体系无阻尼自由振动的解： 其

6、中：其中：无阻尼振动是一个无阻尼振动是一个简谐运动简谐运动(Simple harmonic motion) n 自振频率自振频率（Natural frequency）。tututunnnsin)0(cos)0()(mkn3.1 无阻尼自由振动 220(0)max( ) (0)nuuu tunnT2u(t)tu(0)u(0)Tn=2/n.u0(0)( )(0)cossinnnnuu tutt无阻尼体系的自由振动无阻尼体系的自由振动 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动结构的结构的自振频率和自振周期 自振频率自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期自振周

7、期：Natural Period (of vibration) 结构的重要动力特性结构的重要动力特性 结构的自振频率也称为结构的结构的自振频率也称为结构的固有频率固有频率；结构的自振周期也称为结构的结构的自振周期也称为结构的固有周期固有周期。3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动结构自振频率和自振周期及其关系：结构自振频率和自振周期及其关系： 自振圆频率：自振圆频率： (单位：弧度单位：弧度/秒秒, rad/s)自振周期：自振周期： (单位：秒单位：秒, sec)自振频率：自振频率： (单位：周单位：周/秒秒, 赫兹赫兹, Hz)mknnnT22nnf 3.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动l自振

8、周期自振周期Tn是体系的固有特性。当体系为是体系的固有特性。当体系为线弹性线弹性时，时，无论初始条件如何，例如振幅很大或很小无论初始条件如何，例如振幅很大或很小( (由初始条由初始条件产生件产生) )，但体系完成一个振动循环所用的时间是相，但体系完成一个振动循环所用的时间是相等的，即等于等的，即等于Tn 。 l结构的自振周期结构的自振周期( (频率频率) )是反映结构动力特性的最主要是反映结构动力特性的最主要的物理量，在描述一个结构的动力特性或实际测量结的物理量，在描述一个结构的动力特性或实际测量结构动力特性时是必须给出的量。构动力特性时是必须给出的量。l不同结构的自振周期可能相差很大，从一般

9、平房的不同结构的自振周期可能相差很大，从一般平房的0.1秒，到秒，到200m左右高度的超高层结构的左右高度的超高层结构的45秒，到大型秒，到大型悬索桥的悬索桥的17秒不等。秒不等。 mknnnT2习题：习题：求图示系统的固有频率(注：图中所示位置均为静平衡位置)。mkalmalkmlak(a)(a)(b)(b)(c)(c)mkal22nkamglml2sincossinmlk aamg l 22()0mlk amg lsin, cos1amglamglsink amalkmglasink a22nkamglml2sincossinmlk aamg l 22()0mlk amg lsin, co

10、s1mlak22nkamlalsink a2sincosmlk aa 220mlk a sin, cos1静静变形法变形法/2L/2Lstm,E Inkm348stmgLEI348nEImLstkmgnstg例题例题 升降机笼由钢丝绳牵挂以等速度向下运动。钢丝绳的质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。0000uuvnkm（振幅）2200() nuau0dTkavmk(钢丝绳最大动张力) （钢丝绳总张力的最大值） mkvmgT0解解: : 0mvk第第3章章 单自由度体系单自由度体系 3.2 3.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 3.2 3.

11、2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动自由振动：自由振动： p(t)=0运动方程：运动方程：初始条件：初始条件： 0kuucum )0()()0()(00utuututt3.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动令令u(t)=est，代入运动方程，代入运动方程 整理得：整理得：由此可以得到特征方程的两个根为：由此可以得到特征方程的两个根为： 0kuucum 222, 1)2(2nmcmcsmkn02kcsms3.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动u(t)=est当：当： 体系体系不发生往复的振动；不发生往复的振动；当：当： 体系产生体系产生往复的振动。往复的振动。使：使： 成立的阻尼成立的阻尼c c称为称为

12、临界阻尼临界阻尼。临界阻尼临界阻尼记为记为ccr： 0)2(22nmc222 , 1)2(2nmcmcs0)2(22nmc0)2(22nmckmmcncr223.2.1 临界阻尼和阻尼比临界阻尼和阻尼比 临界阻尼：临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需体系自由振动反应中不出现往复振动所需 的最小阻尼值。的最小阻尼值。临界阻尼临界阻尼是完全由结构的刚度和质量决定的常数。是完全由结构的刚度和质量决定的常数。阻尼比：阻尼系数阻尼系数c c和临界阻尼和临界阻尼c ccrcr的比值的比值，用，用 表示。表示。22crncmkmncrmccc23.2.1 3.2.1 临界阻尼和阻尼比临界阻尼和阻尼

13、比（1）当）当 1时，时，称为低阻尼（称为低阻尼（Under damped），）， 结构体系称为低阻尼体系；结构体系称为低阻尼体系；（2）当）当 1时，时，称为临界阻尼（称为临界阻尼（Critically damped）；）；（3）当）当 1时，时，称为过阻尼（称为过阻尼（Over damped），）， 结构体系称为过阻尼体系。结构体系称为过阻尼体系。 对于对于钢结构：结构： 钢筋钢筋混凝土结构：结构： 左右01. 0地震（中小强度）左右脉动（微振）左右05. 003. 02crncccm3.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线低阻尼、临界阻尼和过阻尼体

14、系的自由振动曲线t/T2341低阻尼，=0.1u(t)u(0)0u(0)临界阻尼，=1过阻尼，=23.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems） 将：将：代入：代入： 得：得：nmc2Dnnniis22, 11222 , 1)2(2nmcmcs2crncccm3.2.2 低阻尼体系低阻尼体系（Underdamped Systems） 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：其中：其中： D阻尼体系的自振频率阻尼体系的自振频率 Dnis2, 1sin)0()0(cos)0()(tuutuetuDDnDtn21nDsteu 22112nnDTTDD

15、T2( )sin()ntdu taet或：3.2.2 低阻尼体系低阻尼体系（Underdamped Systems） D阻尼体系的自振频率阻尼体系的自振频率 TD阻尼阻尼体系的自振周期体系的自振周期 n和和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期。分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期。阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小；阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小；阻尼的存在使体系的自振周期变长；阻尼的存在使体系的自振周期变长；当阻尼比当阻尼比 1时，自振周期时，自振周期TD= 。 21Dn21nDTT3.2.2 低阻尼体系低阻尼体系阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 u(t)tu(0)u

16、(0).TnTD无阻尼结构有阻尼结构entent22)0(0()0(Dnuuu）3.2.2 低阻尼体系低阻尼体系现场实测现场实测： D 和和 TD理论计算理论计算： n 和和 Tn工程中结构的阻尼比工程中结构的阻尼比 在在15%之间，之间，一般一般不超过不超过20%，因此可以因此可以用用有阻尼体系的结果有阻尼体系的结果代替代替无阻尼结无阻尼结果。果。21Dn21nDTT阻尼对自振频率和自振周期的影响阻尼对自振频率和自振周期的影响 3.2 3.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 低阻尼体系的阻尼对低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响结构自由振动的影响很大，因而，合理地很大，因而，合理地确定体系的阻

17、尼是结确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的构动力问题研究中的一项重要工作。一项重要工作。 由于阻尼对体系的衰由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系效地分辨出不同体系的阻尼比。的阻尼比。 u(t)tu(t)tu(t)tu(t)t=1%=2%=5%=10%05101520对数衰减率法对数衰减率法3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量运动的衰减和阻尼比的测量 相邻振动峰值比：相邻振动峰值比： 相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。的取值无关。 )12exp()e

18、xp()()(21DnDiiiiTTtutuuu(0)(0)( ) (0)cos()sinntnDDDuuu teuttu(t)tu1uiui+1TDTDti+TDti对数衰减率法对数衰减率法 对数衰减率对数衰减率 : : 阻尼比计算公式：阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：小阻尼时计算公式：21( )2exp()exp()()1iinDiiDuu tTuu tT2112lniiuu221 (2 )2对数衰减率法对数衰减率法 相隔相隔j周的振动峰值比：周的振动峰值比： 对数衰减率：对数衰减率：阻尼比：阻尼比：J J50%50% 振幅衰减至振幅衰减至50%所需的次数所需的次数21112ijjiii

19、ijiiijuuuueuuuu 1lniijuju1ln2iijuju50%50%50%110.11ln2,ln22JJJ【思路】： 【例】: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。根据 得到系统的阻尼比2对数衰减率根据 得到阻尼器的阻尼系数/cc c【关键】： 正确求出对数衰减率1lniiuu0.08560.02m0.012miiuu0.0850.013522阻尼比20.0135 2 5 5001.35 N s/mccCmk阻尼器的阻尼系数：12lniiuu2

20、3lniiuu23lniiuu56lniiuu125123666ln()ln()iiiiiiiiiiuuuuuuuuuu【解】： def1. 系统阻尼比的定义是：D( )u t 2. 阻尼振动（自然）频率的 定义是：3. 欠阻尼自由振动响应是：4. 对数衰减率为：填空：2ncm2cmk21n000cossinntnddduueutt2判断对错：1. 单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动；例2 图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量。求系统绕O点小幅摆动的阻尼振动频率和临界阻尼系数。/a l【思路】要想求阻尼振动频率：21dn 就要求：,n 通过系统的运动微分方程来求：,n 解：设

21、广义坐标，正方向为顺时针。sin, cos12sincoscoscosmlk aac aa 1）根据动量矩定理：222mlkaca2220mlcaka/a l220ckmmnkm固有频率：222nccmmk阻尼比：21dn 阻尼振动频率：2ckmc1临界阻尼系数：2）求阻尼振动频率和临界阻尼系数第3章 单自由度体系3.3 3.3 单自由度体系单自由度体系对对 简简谐荷载的反应谐荷载的反应3.3 3.3 单自由度体系对简谐荷载的反应单自由度体系对简谐荷载的反应单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。力学中的一个经典内容。l实际工程

22、中实际工程中存在存在这种形式的荷载。这种形式的荷载。l简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解了解结构动力特性结构动力特性的手段和方法的手段和方法。l简谐荷载作用下的解可简谐荷载作用下的解可用于分析更复杂荷载作用于分析更复杂荷载作用用下体系的动力反应。下体系的动力反应。3.3.1 3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应运动方程：运动方程： 其中：其中： p0 简谐荷载的幅值；简谐荷载的幅值； 简谐荷载的圆频率。简谐荷载的圆频率。 初始条件初始条件 ： tpkuumsin0 00(0),(0)ttuuuu3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反

23、应无阻尼体系的简谐荷载反应运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程，运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程，全解全解=齐次方程的齐次方程的通解通解+特解特解通解通解对应的方程是一个自由振动方程，其解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc为为无阻尼自由振动：无阻尼自由振动： 0sinmukuptmktBtAtunnnc/sincos)(3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应特解特解满足运动方程的解，记为满足运动方程的解，记为up(t)， 是由动荷载是由动荷载p0sin t直接引起的振动解。直接引起的振动解。设特解为：设特解为： 其中其中， / n频率比频率比，外荷载的激振频率

24、与结构自振频，外荷载的激振频率与结构自振频率之比率之比 。tpkuumsin0 tDtCtupcossin)(0,)/(1120DkpCn0sinmukupt220()sin()cos0kmCptkmDt3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应全解全解=通解通解+特解特解 待定系数待定系数A、B由初值由初值(始始)条件确定条件确定 ： tkptBtAtututunnnpcsin)/(11sincos)()()(2020)/(1/)0()0(nnnkpuBuA)0()()0()(00utuututt3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应满足初始条件的解满

25、足初始条件的解 ： 瞬态反应瞬态反应和和稳态反应稳态反应 tkptkpututunnnnnnsin)/(11sin)/(1/)0(cos)0()(2020瞬态反应 稳态反应 3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应稳态反应稳态反应 ： u0稳态反应的稳态反应的振幅振幅： ust等效静位移，或等效静位移，或静位移静位移： Rd动力放大系数动力放大系数： tkptunsin)/(11)(20kpust0200)/(11nkpu20)/(11nstduuR3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系动力放大系数无阻尼体系动力放大系数 =0 ， Rd =1

26、 = n，Rd 发生发生共振共振 / n2， Rd1 20)/(11nstduuR0.00.51.01.52.02.53.0012345678 /n nRd频率比动力放大系数3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼体系的简谐荷载反应无阻尼无阻尼体系体系共振共振时动力反应时程时动力反应时程 共振时共振时( = n)： )sincos(2)(tttutunnnst02468-30-20-100102030 j+1uuj包 络 线u(t)/ustt/Tn3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应运动方程：运动方程： 初始条件初始条件：利用利用c=2m n ，并将运动方程两边同除，

27、并将运动方程两边同除m，得到如下形式的运动方程：得到如下形式的运动方程： tpkuucumsin0 )0(, )0(00uuuutttmpuuunnsin202 3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应通解通解uc对应于有阻尼自由振动反应：对应于有阻尼自由振动反应：)sincos()(tBtAetuDDtcn0mucuku21Dn3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应特解特解up可以设为如下形式可以设为如下形式 : 202sinnnpuuutmtDtCtupcossin)(22220()2sin2()cos0nnnnpCDtCDtm 22220()20

28、;2()0nnnnpCDCDm 3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应 22 222 221(/)1(/) 2 (/)2/1(/) 2 (/)nstnnnstnnCuDu 0)(1)2()2()(122DCuDCnnstnn3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应 运动方程的全解：运动方程的全解：u(t)=uc+up 22 222 221(/)1(/) 2 (/)2/1(/) 2 (/)nstnnnstnnCuDu )cossin()sincos()(tDtCtBtAetuDDtn瞬态反应 稳态反应 3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐

29、荷载反应 有初始条件影响的简谐荷载反应时程有初始条件影响的简谐荷载反应时程 01234-2 .0-1 .5-1 .0-0 .50 .00 .51 .01 .52 .0 t/Tnu(t)/ust=0.02 /n=0.2u(0)=0总体反应稳态反应3.3.2 有阻尼体系的简谐荷载反应有阻尼体系的简谐荷载反应n虽然一般情况下，感兴趣的是分析稳态反应项，但也虽然一般情况下，感兴趣的是分析稳态反应项，但也应当注意，在特殊情况下，在反应的初始阶段瞬态反应当注意，在特殊情况下，在反应的初始阶段瞬态反应项可能远远大于稳态反应项，从而成为结构最大反应项可能远远大于稳态反应项，从而成为结构最大反应的控制量，对于这

30、种情况，在结构的动力反应分析应的控制量，对于这种情况，在结构的动力反应分析或结构设计时瞬态反应项的影响不能忽略。或结构设计时瞬态反应项的影响不能忽略。n如果采用的分析方法能自动包括全解，例如采用后面如果采用的分析方法能自动包括全解，例如采用后面将介绍的时域逐步积分法进行分析，则不会出现忽略将介绍的时域逐步积分法进行分析，则不会出现忽略瞬态反应项的问题，因为这时所获得的解中既包含了瞬态反应项的问题，因为这时所获得的解中既包含了稳态项也包括了瞬态项。稳态项也包括了瞬态项。n瞬态反应项以结构的自振频率振动，可以反映瞬态反应项以结构的自振频率振动，可以反映结构的结构的动力特性动力特性；n稳态反应项以外

31、荷载的激振频率振动，可以反映稳态反应项以外荷载的激振频率振动，可以反映输入输入荷载的性质荷载的性质。01234-2 .0-1 .5-1 .0-0 .50 .00 .51 .01 .52 .0 t/Tnu(t)/ust=0.02 /n=0.2u(0)=0总体反应稳态反应3.3.3 共振反应共振反应（ = n） 满足满足零初始条件：零初始条件： 运动解：运动解：当当 =0时时 ：22 222 221 (/)1 (/) 2 (/)2/1 (/) 2 (/)nstnnnstnnCuDu 2,0stuDCststuBuA2121,21ttteutunDDtstncos)sin1(cos2)(2( )(c

32、ossin)2stnnnuu tttt tutBtAetustDDtncos2)sincos()(与无阻尼时的结果完全相同与无阻尼时的结果完全相同3.3.3 共振反应（共振反应（ = n） 有阻尼有阻尼体系体系共振共振反应时程反应时程 1/21/2u(t)/ustt/Tn3.3.4 动力放大系数动力放大系数Rd (dynamic magnification factor) 振动的稳态解：振动的稳态解： u0 稳态振动的振幅稳态振动的振幅 相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系 )sin(cossin)(0tutDtCtu2210,tan ()DuC

33、DC212220)/(1)/(2tan)/(2)/(1 1nnnnstuu22 222 221 ( /)1 ( /) 2 ( /)2/1 ( /) 2 ( /)nstnnnstnnCuDu 0stpuk位移3.3.4 动力放大系数动力放大系数Rd 动力放大系数定义为：动力放大系数定义为： 2220)/(2)/(11nnstuustduuR0222)/(2)/(1 1nndR01230123456=1=0.8=0.5=0.2=0.1 Rd=u0/ust频率比 /n =0.01大系数动力放2 2211 (/) 2 (/)dnnR 3.3.4 动力放大系数动力放大系数Rd3.3.4 动力放大系数动力

34、放大系数Rd(1) 当21时，1dR，即体系不发生放大反应。 (2) 当21时，22max21)(,121)(峰值ndR。 (3) 当1/n（共振时） ，21dR。 (4) 当2/n时，1dR，对任意 均成立。 01230123456=1=0.8=0.5=0.2=0.1 Rd=u0/ust频率比 /n =0.01大系数动力放3.3.5 3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系阻尼体系动力反应与荷载的相位关系在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应（位移位移）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后反应滞后现象现象。

35、这个滞后的时间即由相角这个滞后的时间即由相角 反映，如果滞后时间为反映，如果滞后时间为t0， 则则 = t0 （t0= / ）。）。由计算由计算 的公式可知，滞后的相角与频率比的公式可知，滞后的相角与频率比 / n和阻尼和阻尼大小均有关系。大小均有关系。21)/(1)/(2tannn3.3.5 阻尼体系动力反应与荷载的相位关系阻尼体系动力反应与荷载的相位关系 右图给出阻尼比=0.2时，相应于不同频率比/n时的外力和位移曲线及滞后相角 。相角实际是反映结构体系位移(反应)相应于动力荷载的反应滞后时间。从图中可以发现，频率比越大，即外荷载作用得越快，动力反应的滞后时间越长。3.3.5 阻尼体系动力

36、反应与荷载的相位关系阻尼体系动力反应与荷载的相位关系012304590135180=1=0.8=0.5=0.2=0.1 相角频率比/n=0.01122 (/)tan1(/)nn 频率比频率比n相角相角 三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系 012304590135180=1=0.8=0.5=0.2=0.1 相角频率比/n=0.01由n/图判断 物理解释 （根据关系：uufufufICS2, ） 0/n时 0 0则u 和0u ，即cf和0If 则)(tpfS,即)(tpku ，u与)(tp相位相同 1/n时 90 20( ),( ),(90

37、( )( )90）， InsIScfmumukuffffp tcup t up tuuu tp t即与同相，而 与相差因此与相差 n/时 180 180180)()(,则相差位移反相，所以位移与而惯性力与和则，则，tptpffffIcSI 第第3章章 单自由度体系单自由度体系3.4 3.4 体系的阻尼和体系的阻尼和 振动过程中的能量振动过程中的能量 3.4.1 3.4.1 自由振动过程中的能量自由振动过程中的能量SDOF体系中能量来源体系中能量来源: :初始位移和初始速度初始位移和初始速度。初始时刻初始时刻体系具有的体系具有的总能量总能量: :任意任意t时刻时刻体系的体系的总能量总能量: :E

38、K质点的动能；质点的动能； ES 弹簧的应变能。弹簧的应变能。 220)0(21)0(21umukE22)(21)(21tukEtumEskSKEEE3.4.1 3.4.1 自由振动过程中的能量自由振动过程中的能量无阻尼体系中的能量无阻尼体系中的能量: : 无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。时间变化，等于初始时刻输入的能量。 221 ( )21 ( )2ksEm u tEk u ttututunnnsin)0(cos)0()(222sin)0(cos)0(21cos)0(sin)0(21tutukEtutumE

39、nnnsnnnnk022)0(21)0(21EumukEEEsk3.4.1 3.4.1 自由振动过程中的能量自由振动过程中的能量有阻尼体系中的能量有阻尼体系中的能量: : 在在0至至t时刻由粘性阻尼耗散的能量时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为：为： 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量。阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量。随着，随着，t 体系中的总能量将完全被阻尼所消耗体系中的总能量将完全被阻尼所消耗当当t时，时，ED= E0 ttDDdtucdtuucdufE020)(第3章 单自由度体系 3 3. .5 5 基础简谐激励下的受基础简谐激励下的受迫振动迫振动一、用复数解法求解稳态振动一、用复数解法

40、求解稳态振动0( )( )( )sinmu tcu tku tft12( )( cossin)ntddu teatat1）求齐次方程通解 2）求非齐次方程特解 *( )sin()ddu tBt 特解的形式：20sin()cos()sin()ddddctttmk BBf0000sinsin() sin(scos)cos() inddddddftfttfft200()cossinddddmk Bfc Bf 02222()()arctanddfBkmcckm为什么要用复数解法？实数复数城市A城市B0 ( )( )( )sinmu tcu tku tft表示成复数形式0 ( )( )( )i tmu

41、tcu tku tf e按复数形式求解( )u t( )Im ( )u tu t实际解当用复数的虚部表示激励力时, 运算过程中用复数形式, 得到复数形式的解,然后对复数解取虚部, 就得到了实际解。0 ( )( )( )cosmu tcu tku tft表示成复数形式0 ( )( )( )i tmu tcu tku tf e按复数形式求解( )u t( )Re ( )u tu t实际解当用复数的实部表示周期扰力时,得到的复数解应该取实部。练习：用复数法求解图示系统的稳态振动。0( )( )( )sinmu tcu tku tft()( )ditdu tB e 0( )( )( )i tmu tc

42、u tku tf e02didfB ekmi c022 22arctan()()ddfcBkmkmc，( )Im ( )sin()ddu tu tBt稳态振动：阻尼受迫振动系统 解：习题 旋转机械的总质量为M，转子质量为m，偏心距为e，转子角速度为，其他参数如图所示，求非旋转部分的稳态振动（用复数法求解）。1）列出运动方程。解：2( )( )( )sinMu tcu tku tmet2222d( )d() ( )sin( )( )ddu tMmmu tetcu tku ttt 22cicmeB ekMic22 222()()arctanccmeBkMccMk)sin()(Im)(cctBtut

43、u稳态振动：tiicticeeBeBtucc)()(Mu tcu tku tmet( )( )( )sin2tiemetuktuctuM2)()()( 2）利用复数求解稳态振动。二、基础简谐激励下的受迫振动mu tc u tv tk u tv t( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) =cossinmu tcu tku tcv tkv tcvtkvt得到绝对运动微分方程2iBki cevkmi c( )( )( )cossinmu tcu tku tcvtkvt( )( )( )()i tmu tcu tku tki c ve用复数的虚部表示方程右端的实际激振力sin

44、Imi tkvtkvecosImi tcvtcviecossinIm()i tcvtkvtki c ve()( )itii tu tBeBe e稳态响应：代入到上式，得到defdBTv绝对运动传递率22222 222 2233112222()1 (2)()()(1)(2)2tantan() ()1(2)dk i ckcTk mi ck mcmck k mc2iBki cevkmi c01230123452=0.707=0.2=0.01Td=0.1绝对运动传递率的频率特性 011dT 1）低频段 质量块的绝对运动近似等于基础的运动。1dT近似最大2）共振区域附近 说明基础运动经弹簧和阻尼器传递到

45、质量块后放大了。01230123452=0.707=0.2=0.01Td=0.12 1dT3）注意到 2 0dT4）高频段 说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离了。三、振动的隔离在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。锻锤的弹性支撑隔振：第一类隔振（隔力）： 通过弹性支撑，隔离振源传到基础的力。通过弹性支撑，减小基础传到设备的振动幅值。第二类隔振（隔幅）：*( )sin()( )cos()ddddkutkBtcutcBt经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：第一类隔振（隔力）传到基础上的力的合力幅值为：ddfkBc B022221 (2)(1)(2)ffdeffT力传递率：222

46、2022202222()()(1(2)(1)()2)dBkckfkmffcc 2隔力的条件：传到基础上的合力的幅值：22221 (2) (1)(2)dBTv绝对运动传递率：第二类隔振（隔幅） 2隔幅的条件：k n2生活中不自觉地运用隔振原理的例子生活中不自觉地运用隔振原理的例子k n2 , lhmkv某路面沿长度方向可近似为正弦波,波长为 ， 波峰高为 。 一汽车质量为减振板簧总刚度为 , 在该路面上以速度 行驶。 不计阻尼， 求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行驶速度。vlukmhxy2sinyhxlxvt路面形状为：运动方程为：( )( ( )mu tk u ty 02( )( )sinsin

47、vmu tku tkykhtftl2sinvyhtl02, vfkhl*02( )sinfu ttkm稳态解：20km2lkvm临界行驶速度：第3章 单自由度体系 3 3. .5 5 单自由度体系单自由度体系对周期荷载的反应对周期荷载的反应 3.5 3.5 单自由度体系对周期荷载的反应单自由度体系对周期荷载的反应 依靠的基础：依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载单自由度体系对任意周期性荷载的

48、反应，简谐荷载是一种最简单、最具代表性的周期荷载。是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。具体实施方法：具体实施方法： 利用利用Fourier级数展开法。级数展开法。 将任意的周期荷载将任意的周期荷载p(t)展开成展开成Fourier级数，把任意级数，把任意周期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一周期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解简谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解，再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反，再求和，得到结构在任意周期性荷载作

49、用下的反应。应。限制条件：限制条件： 结构体系是线弹性的。结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。可使用叠加原理。3.5 3.5 单自由度体系对周期荷载的反应单自由度体系对周期荷载的反应 设任意的周期荷载设任意的周期荷载p(t)，将其展开成，将其展开成Fourier级数，级数， Tp荷载的周期荷载的周期110sincos)(jjjjjjtbtaatppjTjj21pppTjpjTjpjTpndtttpTbndtttpTadttpTa0000,3 ,2 ,1)sin()(2,3 ,2 ,1)cos()(2)(13.5 3.5 单自由度体系对周期荷载的反应单自由度体系对周期荷载的反应 当用当用Four

50、ier级数展开法时，级数展开法时，隐含假设周期函数是从隐含假设周期函数是从- -开开始到始到+。初始条件。初始条件(t=- -)的影响到的影响到t=0时已完全消失，时已完全消失，仅需计算稳态解，即特仅需计算稳态解，即特解。解。对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：cos():jjat00/uaknjj/22222sin(1)cos(1)(2)jjjjjcjjjattuk2222(1)sin2cos(1)(2)jjjjjsjjjbttuk0:asin():jjbt3.5 3.5 单自由度体系对周期荷载的反应单自由度体系对周期荷载的反应 任意周期荷载作用下

51、结构总的稳态反应为：任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为： tbaktbakkauuutujjjjjjjjjjjjjjjjjsjcjcos)2()1 ()2()1 (1sin)2()1 ()1 ()2(1)()(2222122221010njj/利用复数利用复数FourierFourier级数得到复数形式的解级数得到复数形式的解用复数用复数Fourier级数将周期荷载展开，级数将周期荷载展开， 先计算先计算单位复荷载单位复荷载ei jt作用下，体系稳态反应的复幅值，作用下，体系稳态反应的复幅值，设：设：总的稳态反应为总的稳态反应为: :H(i )复频反应函数复频反应函数，也称为，也称为频响函数

52、频响函数，传递函数传递函数。01( ),( ),()pjjTititjjjjjpp tp epp t edtppTtijjjeiHtu)()(tijekuucum )(2)(111)(2njnjjikiHtijjjjjjjepiHtuptu)()()(第第3章章 单自由度体系单自由度体系 3.63.6 单单自由度体系自由度体系 对对任意荷载的反应任意荷载的反应在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应更通

53、用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。问题。下面介绍二种动力反应问题的分析方法：下面介绍二种动力反应问题的分析方法： 时域分析方法时域分析方法Duhamel积分法积分法； 频域分析方法频域分析方法Fourier变换法变换法。这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 1、单位脉冲反应函数单位脉冲反应函数 单位脉冲单位脉冲：作用时间很短，冲量等于作用时间很短，冲量等于1的荷载。的荷载。 单位脉冲反应函数单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程：单

54、位脉冲作用下体系动力反应时程。 1/ptth(t-)1/m无阻尼体系有阻尼体系(a)(b)3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 1、单位脉冲反应函数单位脉冲反应函数 在在 t= 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度：得一个初速度：当当 0时时 ：由于脉冲作用时间很短，由于脉冲作用时间很短， 0，质点的位移为零，质点的位移为零 ：1)(0)(dttpummu1)(0)(u 1/ptth(t-)1/m

55、无阻尼体系有阻尼体系(a)(b)3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 1、单位脉冲反应函数单位脉冲反应函数 无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：mu1)(0)(utttmtuthnn0)(sin1)()(tttemtuthDtDn0)(sin1)()()(0)( )(0)cossinnnnuu tutt 1/ptth(t-)1/m无阻尼体系有阻尼体系(a)(b)3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 1 1、单

56、位脉冲反应函数、单位脉冲反应函数 单位脉冲及单位脉冲反应函数单位脉冲及单位脉冲反应函数 3.6.1 Duhamel积分积分 2、对任意荷载的反应对任意荷载的反应 将作用于结构体系的外荷载将作用于结构体系的外荷载p( )离散成一系列脉冲。离散成一系列脉冲。先计算其中任一脉冲先计算其中任一脉冲p( )d 的动力反应：的动力反应：在任意时间在任意时间t结构的反应，等结构的反应，等于于t以前所有脉冲作用下反应以前所有脉冲作用下反应的和：的和：tthdptdu, )()()(ttdthpdutu00)()()(dutdutduutt.总反应时刻脉冲引起的反应1脉冲引起的反应2脉冲引起的反应.ptd1 2

57、3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 无阻尼体系动力反应的无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式积分公式 ：阻尼体系动力反应的阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：积分公式： tdthptu0)()()(ttmtuthnn)(sin1)()(ttemtuthDtDn)(sin1)()()(01( )( )sin()tnnu tptdm()01( )( )sin()nttDDu tpetdmtdthptu0)()()(3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是

58、一个由动力（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的荷载引起的相应于零初始条件的特解特解。如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形式已在前面始条件引起的自由振动，其解的形式已在前面给出。给出。例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为：，问题的完整解为：tnnndthptututu0)()(sin)0(cos)0()(3.6.13.6.1 DuhamelDuhamel积分积分 杜哈曼积分法给出了计算线性杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任

59、意荷载体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系适用于线弹性体系。因为使用了因为使用了叠加原理叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。于非线性分析。如果荷载如果荷载p(t)是简单的函数，则可以得到是简单的函数，则可以得到封闭解封闭解（closed-form）。如果）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可以是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点高，因为对于计算任一个

60、时间点t的反应，积分都要从的反应，积分都要从0积到积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法时域逐几千个点。这时可采用效率更高的数值解法时域逐步积分方法，这将在以后介绍。步积分方法，这将在以后介绍。0( )( ) ()tu tph td3.6.1 3.6.1 时域分析方法时域分析方法DuhamelDuhamel积分积分 虽然在实际的计算中并不常用虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力