必修五基本不等式讲义

1、WORD格式3.4根本不等式abab2一、根本不等式：abab21、重要不等式：a2b22ab(a、bR)当且仅当“ a b时“成立。注意： 1不等式成立的条件是“a b，如果 a 、b不相等，那么“不成立； 2不等式的变形： a ba2b2 a b ( ab )2a 2b 2 ( a b ) 2ab22222222( a b ) ( a b)2、根本不等式：a bab当且仅当“ a b时“成立。( a、 b R )2注意： 1内容：a 0， b 0，当且仅当“ a b时“成立； 2其中ab 叫做正2数 a 、b的算术平均数，ab 叫做正数 a 、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它

2、们的几何平均数。例 1：求证对于任意实数a ，b，c，有 a 2b2c2 a bbcc a ，当且仅当 a bc时等号成立。a2 b22ab c2 b2 2bca2c2 2ac【证明】：222222 2(a b c ) 2ab 2bc 2ac ，a b c abbc ca当且仅当 ab c 时等号成立。变式练习 1：假设0a1，0b1，且ab，那么ab，2ab ，2 a b， a 2b2中最大的一个是A ：a2b2B ： 2 abC： 2 a bD：a b变式练习 2：以下不等式：1x12；2x12；3假设0a1b，那么*log ablog ba 2；4假设 0a 1 b，logab log

3、ba 2。其中正确的选项是_。均值不等式推广：2ab a ba2b 22211ab调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“ a b时“成立。专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式二、最值定理 x、y 都是正数。1如果积 xy 是定值 P，那么当 x y 时，和 x y 有最小值 2P ，即xy2xy ；2如果和 x y 就定值 S，那么 xy 时，积 xy 有最大值S2，即 xy(x y)2。42利用根本不等式必须满足三个条件： “一正、“二定、“三取等。应用一：求最值例 2：函数 f(x) 3x12 (x 0)x1当 x 0 时，求函数的最值； 2当 x 0 时，求函数

4、的最值；【解析】：1当 x 0 时， f(x) 3x12 23x 1212xx当且仅当 3x12，即 x 2 时，“成立。x2当 x 0 时， x 0， f(x) 3x12 ( 3x12) 23x12 12，xxx当且仅当 3x12时，即 x 2 时，“成立。x变式练习 ：求以下函数的最值1 y 3x212 yx12x 2x应用二：凑项例 3： x5，求函数 f(x) 4x 21的最大值。44x5【解析】：解：因4x50 ，所以首先要“调整符号，又(4 x1不是常数，所以2)4x5对 4x2 要进展拆、凑项，x515 4 x132 3 1, 5 4 x 0 ，y 4 x 244 x 55 4

5、x当且仅当 5 4x1，即 x 1 时，上式等号成立，故当x1 时，ymax1。54x变式练习 1：f(x)x1 x (x 3)的最小值为 _ 。3专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式例 4：当 0 x 4 时，求 f(x) x(8 2x )的最大值。【解析】：当，即 x2 时取等号当 x2 时，yx(8 2x) 的最大值为8。变式练习 1：设03，求函数 y4 x(32x) 的最大值。x2【解析】：0 x32x0 322 2x2 y 4x(32x)22x(32x)32x922当且仅当 2x32x, 即 x30, 3时等号成立。42变式练习 2： 0x2x(2 3x)的最大值。，

6、求函数 f(x) 3应用三： 别离例 5：假设 x 0，求函数 f(x)x的最值。3xx 21变式练习 1：当x0时，那么f(x)2x的最大值为 _。2x1变式练习 2：x1，求函数f(x)x27 x 10 的最小值。x 1【解析】：当, 即时 , y2 x1)4当且仅当 x 1时取“号。5 9x 1变式练习 3：假设对任意x0，x a 恒成立，那么 a 的取值X围为 _。23xx1应用四：整体代换例 6：x0, y0 ，且211 ，那么xy 的最小值是_。xy专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式变式练习 1：x0，y0，且2xy1，那么11 的最小值为_。xy变式练习 2：x0

7、, y0 ，且212 ，那么xy 的最小值是_。xy变式练习 3：假设函数f(x)ax 22 (a0，a1)的图象恒过点A ，假设点 A 在直线 mx ny1 0，其中 m、 n 均大于 0，那么12的最小值为 _ 。mn变式练习 4：设x0，y0且x2y2xy0，假设x2ym0恒成立，那么实数m 的取值X围是 _。【解析】： x 2y 2xy 0，11 1， 那么 (x 2y)(1 1) 4，故 m 42 yx2 yx变式练习 5：an 满足a20212a2021 3 a2021 ，假设存在不同的两项ap、正项等比数列a m使得a p am33×a114，那么m的最小值是 _。p【

8、解析】： 116应用四：条件最值例 7：假设实数满足a b2 ，那么3a3b的最小值是_。【解析】： 3a和3b 都是 ab2正数，3a3b23a3b23ab6当 3a3b时等号成立，由a b2 及3a3b得ab1 即当 ab1时，3a3b的最小值是 6。变式练习 1：假设log4xlog 4y11x， y 的值。2 ，求的最小值，并求xy【解析】： log4x log 4y log4(x× y) 2， x× y1611 xy x yxyxy162xy 1，当且仅当xy4时“成立。162专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式变式练习2：函数f(x) 4xa(x

9、0，a 0) 在 x 3 时取得最小值，那么a x_。【解析】： 6变式练习3：设x0，y0，z0，且xyz1，假设1 xy m 0 恒成立，xyz那么实数 m 的取值X围是 _。【解析】：1 xy m 0 恒成立， 那么x1 xym 恒成立， 那么令 f(x) 1x yzyzx y x y xy z xy 1z xy 3，故 m 3。zxyzxyz应用五：换元例 8：求函数 f(x) x 25x 2的最值。4【解析】： f (x) x241 x241x24x 24 不能用均值不等式：x24 14 2， 当且仅当x 24 14，即：x2x 2x24 1， x2 1，此时 x 没有实数解。 f

10、(x) x241 x24 1令x24 t ( t2)x24x24 f (t ) t1( t 2 )函数 f(t ) 在t2,上单调递增。当 t 2时， f(t) 有最小值5即2x 24 2，x0，f(x)min52专业资料整理WORD格式变式练习 1：求函数f(x)的值域。x29x21专业资料整理WORD格式变 式 练 习2 ：求 函 数f(x) sin x2, x(0,) 的最小值。sin x专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式课后综合练习1ab1ab2ab； 2aab b；3a2、设是正实数，以下不等式： a bb2 4 a b 3b2； 4a b2 2。恒成立的序号为abA

11、 ： 1 3；B： 14；C： 2 3；D：2 4【解析】：D 1 2aba b 3a2 3b2 b2 4 a ba2 4b2 4a b 4 a b 4 a b 0；2、假设a、 b 均大于 1 的正整数，且a b100，那么lg a ×lgb的最大值是A ： 0B： 1C： 2D：52【解析】：B3、假设 x 0，那么 x4 的最小值是xA ： 2B： 3C：2 2D： 4【解析】：D4、 0 x 1，那么 x(3 3x)取得最大值时x 的值为1B ：132A ：2C：D：343【解析】：C5、设a 0，b 0 假设3 是 3a与3b的等比中项，那么1 1的最小值ab1A：8B：4

12、C：1D：4【解析】：B6、函数 f(x) x 22x 2_ 。x(x 1)图象的最低点坐标是1【解析】： (0， 2)2 2 a x 2b 的零点，那么a b 的最大值为 _。7、假设a 0，b 0，且 x 1 是函数 f(x) 12x【解析】： 98、假设正数a、 b 满足a ba b 3，求a b 的取值X围。【解析】： a b92y 21 y29、 x 0， y0，且 x 1，求 x的最大值。2【解析】： 32410、不等式2 a x a 20的解集为(，x1)(x2， )，其中 x 0 x ，那么x12x1x222 的最大值为x1x2专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式

13、A ：3B ：0C： 2D：322【解析】： x1 0x2， x1× x2a 2 0 x1 x222 x1 x22( x1x2 )x1x2x2 x1 a 2a a 2a440a2211、如图， 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 上任一点， 且BEABA BC ，那么1 1的最小值为 _。E【解析】： 32 2BDC12、假设两个正实数x， y 满足14 1，且不等式 xy m2 3m 有解，那么实数m 的取xy4值X围是 ()A ： ( 1，4)B ：( ， 1) (4，) C： ( 4， 1)D： ( ， 0) (3，)y2y214【解析】：选 B 不等式x4

14、<m 3m有解，x4minm3m，x 0，y 0，且xy1xyxy144x y24x·y244 y ，即x2，y，4xy 2 ，当且仅当 x4y4xy4xy4x8时取等号，xymin4，234，即 (1)( 4) 0，解得1或 4，4mmmmmm故实数 m的取值X围是(，1)(4，)13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400 平方米的三级污水处理池，如下列图，池外圈造价为每米 200 元，中间两条隔墙造价为每米250 元，池底造价为每平方米80 元 (池壁的厚度忽略不计，且池无盖).假设使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()专业资料整理WORD格式40A：40 米， 10 米B：20 米， 20 米C：30 米，3米 D：50米，