第15章金融工程拓展应用及评价

1、.第第15章章 金融工程学：金融工程学：理论拓展及应用评价理论拓展及应用评价2022-3-6.15.215.1 股指期权和货币期权股指期权和货币期权我们假设以下的两个例子中的股票我们假设以下的两个例子中的股票价格在价格在T时刻具有相同的概率分布时刻具有相同的概率分布 :l1.股票的价格为股票的价格为S0,支付红利率为支付红利率为q l2.股票价格为股票价格为S0eq T,且没有任何红利且没有任何红利.2022-3-6.15.3支付红利股票的欧式期权支付红利股票的欧式期权(续续)我们可以把股票价格减少至S0eq T并假设没有任何红利,通过此种方式来对欧式期权进行估值。2022-3-6.15.4对

2、于第对于第10章结论的引申章结论的引申 rTqTKeeSc0看涨期权的下限看涨期权的下限 :看跌期权的下限看跌期权的下限 qTrTeSKep0看涨看跌期权平价关系看涨看跌期权平价关系 qTrTeSpKec0证明思路：A：一个欧氏看涨期权加上金额为Ke-rT的现金B：e-qT股股票，其股利被再投资于该股票2022-3-6.15.5对于第对于第13章结论的引申章结论的引申 TTqrKSdTTqrKSddNeSdNKepdNKedNeScqTrTrTqT)2/2()/ln( )2/2()/ln( )()( )()(0201102210其中业界实例业界实例15.1：保证股票长期回报高于债券的成本：保证

3、股票长期回报高于债券的成本2022-3-6.15.6对欧式货币期权的估价对欧式货币期权的估价 l外币是一项红利利率为 rf的资产l我们用方程式来表示连续支付红利的股票期权:令 S0 =两国货币的汇率 令 q = r2022-3-6.15.7欧式货币期权的简化表达式欧式货币期权的简化表达式 TTfrrKSdTTfrrKSddNeSdNKepdNKedNeScTrrTrTTrff)2/2()/ln( )2/2()/ln( )()( )()(0201102210其中2022-3-6.15.8等价方程式等价方程式FS errTf00()用 代入，得TddTTKFddNFdKNepdKNdNFecrTr

4、T122011022102/)/ln()()()()(.金融工程范围远期合约范围远期合约Range Forward Contract Figure 15.1, page 243 PayoffAsset PriceK1K2PayoffAsset PriceK1K2Short PositionLong Position92022-3-6.15.1015.2 期货期权的优势期货期权的优势l期货合约比标的资产更易交易、流动性更期货合约比标的资产更易交易、流动性更强强l执行期权时并不需要标的资产的交割执行期权时并不需要标的资产的交割l期货与期货期权在同一个交易所交易期货与期货期权在同一个交易所交易l期货

5、期权交易成本更低期货期权交易成本更低.金融工程学 15.11 期货期权的平价关系期货期权的平价关系考虑两个组合考虑两个组合:1. 1份欧式看涨加份欧式看涨加 Ke-rT 的现金的现金 2. 1份欧式看跌加份欧式看跌加1份期货多头加份期货多头加1份份F0e-rT的现金的现金期末价值相等，所以期初有：期末价值相等，所以期初有：c+Ke-rT=p+F0 e-rT2022-3-6.金融工程学 15.12其他关系其他关系F0 e-rT K C P (F0 K)e-rTp (F0 K)e-rT2022-3-62022-3-6.15.13期货价格的增长率期货价格的增长率l一份期货合约不要求初始投资一份期货合

6、约不要求初始投资l在风险中性的世界里期望产出为在风险中性的世界里期望产出为0l因此期货价格的期望增长率也为因此期货价格的期望增长率也为0l因此期货价格可以被看作是因此期货价格可以被看作是 红利为红利为r的股票的股票收入，即收入，即q=r.金融工程学 15.14期货价格的二叉树定价结果期货价格的二叉树定价结果 = p u + (1 p )d erT其中：其中：2022-3-6dudp12022-3-6.15.15期货期权的期货期权的Blacks Model (Equations 16.7 and 16.8, page 258)l用于描述欧式期货期权定价的表达式称为用于描述欧式期货期权定价的表达式

7、称为 Blacks modelTdTTKFdTTKFddNFdNKepdNKdNFecrTrT102011022102/2)/ln( 2/2)/ln( )( )( )( )( 其中.金融工程学 15.16期货式期权期货式期权 Futures Style Options l是一份标的物为期权回报的期货合约。是一份标的物为期权回报的期货合约。lThe futures price for a call futures-style option islThe futures price for a put futures-style option is2022-3-6)()(102dNFdKN)()(

8、210dKNdNF2022-3-6.15.1715.3 衍生品的希腊字母衍生品的希腊字母Delta (D) lDelta (D) 是期权价格的变化率与标的资产变化之比 期权价格AB斜率 = D股票价格SfD/2022-3-6.15.18Delta对冲对冲l建立维持建立维持delta中性中性(Delta neutral)的证的证券组合券组合l不分红不分红股票的欧式看涨期权的股票的欧式看涨期权的=N (d 1)l不分红不分红股票股票的欧式看跌期权的的欧式看跌期权的 delta为为 N (d 1) 12022-3-6.12.19Thetal一种衍生证券的一种衍生证券的Theta (Q Q)是指是指该

9、该证券组合的价值变化相对于时间证券组合的价值变化相对于时间变化的比率变化的比率( (组合的时间损耗，组合的时间损耗，time decay) )tDDQ.Theta for Call Option: S0=K=50, = 25%, r = 5% T = 1Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 17, Copyright John C. Hull 2010202022-3-6.15.21GammalGamma (G) 是指该衍生证券组合的Delta变化相对于标的资产价格变化的比率22SfSDG2022-3-6.15.22由曲

10、率由曲率Gamma引起的引起的 Delta套期保值套期保值的误差的误差 SC股票价格S看涨期权的价格CC.Gamma for Call or Put Option: S0=K=50, = 25%, r = 5% T = 1Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 17, Copyright John C. Hull 2010232022-3-6.15.24Delta, Gamma, 和和 Theta之间的解之间的解释释对于一个连续支付红利率为对于一个连续支付红利率为 q的股票衍的股票衍生证券来说生证券来说(B-S随机微分方程

11、的差分形式随机微分方程的差分形式)QDG()rq SSr12222022-3-6.15.25VegalVega (n)是有价证券组合的价值变化与标的资产波动率变化的比率nf.Vega for Call or Put Option: S0=K=50, = 25%, r = 5% T = 1Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 17, Copyright John C. Hull 2010262022-3-6.15.27RholRho定义为有价证券组合的价值变化与利率变化之间的比率。 l货币期权有两种 rhosrfrho20

12、22-3-6.15.28实际中的对冲实际中的对冲l交易者通常每天一次确认他们的证券组合交易者通常每天一次确认他们的证券组合是是 delta中性的中性的l只要一有机会，他们就会增加只要一有机会，他们就会增加 gamma和和vega的值的值l随着证券组合的规模扩大，对冲就变得便随着证券组合的规模扩大，对冲就变得便宜宜2022-3-6.15.2915.4 二叉树与蒙特卡罗模拟二叉树与蒙特卡罗模拟l将二叉树与蒙特卡罗模拟结合。在将二叉树与蒙特卡罗模拟结合。在0,1中中随机抽样，若值随机抽样，若值p取下枝。取取下枝。取N次值，确立一个次值，确立一个N步二叉树步二叉树的路径。的路径。l重复重复M次次l求出

13、求出M次结果的期权价值的均值。次结果的期权价值的均值。l见例见例18.5，P3012022-3-6.15.3015.5波动率微笑波动率微笑l波动率微笑表示当行权价变动时隐含波动波动率微笑表示当行权价变动时隐含波动率的变化。率的变化。l一般而言，平价期权的波动率较低，而随一般而言，平价期权的波动率较低，而随着期权向实值状态或虚值状态变化，波动着期权向实值状态或虚值状态变化，波动率会越来越大率会越来越大l看涨期权与看跌期权的波动率微笑应该相看涨期权与看跌期权的波动率微笑应该相同。同。2022-3-6.15.31货币期权的波动率微笑货币期权的波动率微笑l(图19.1, 306页)隐含波动率 执行价格

14、 .Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 19, Copyright John C. Hull 2010Implied Distribution for Foreign Currency OptionsLognormalImplied322022-3-6.15.33股票期权的波动率微笑股票期权的波动率微笑(volatility skew)(Figure 19.3, page 308)隐含波动率执行价格.Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 19,

15、Copyright John C. Hull 2010Implied Distribution for Equity OptionsLognormalImplied342022-3-6.15.3515.6 VaRl对于未来对于未来N N天天内发生的损失值不超过内发生的损失值不超过V V美元美元的把握为的把握为X%X%l两参数：两参数：时间范围时间范围N N天天和和置信水平置信水平X%X%l即：对即：对N N天内发生的损失的上限有天内发生的损失的上限有X%X%的把握的把握2022-3-6.12.3615.7 利率期权利率期权TddTTKFddNFdKNepdKNdNFecrTrT12201102

16、210;2/)/ln()()()()(Black模型模型(公式公式21.1 和和21.2)2022-3-6.15.37Black模型的扩展模型的扩展:获取收益的时获取收益的时间比间比T晚晚TddTTKFddNFdKNepdKNdNFecTrTr12201102210;2/)/ln()()()()(*r * ：T *期限的利率T ：变量的观测时间T *：获得利息的时间2022-3-6.15.38利率上限、下限、上下限利率上限、下限、上下限lInterest rate caplInterest rate floorlInterest rate collar2022-3-6.15.3915.8奇异期

17、权奇异期权(exotics)l组合期权组合期权(Packages)l非标准美式期权非标准美式期权(Bermudan option)l缺口期权缺口期权(gap call/put option)l远期开始期权远期开始期权(forward start option)l复合期权复合期权(compound option) l选择人期权选择人期权(chooser option)2022-3-6.15.40奇异期权奇异期权l障碍期权障碍期权(barrier option)l敲出期权敲出期权(knock-out option)与敲入期权与敲入期权(knock-in option)l上升敲出看涨期权上升敲出看涨

18、期权(up-and-out call)、下降敲、下降敲出看涨期权出看涨期权(down-and-out call)、up-and-out put、down-and-out putl上升敲入看涨期权上升敲入看涨期权Up-and-in call、down-and-in call、up-and-in put、down-and-in put2022-3-6.15.41奇异期权奇异期权l两值期权两值期权(binary option):cash-or-nothing call/put、asset-or-nothing call/putl回望期权回望期权(lookback option)l呼叫期权呼叫期权(s

19、hout option)l亚式期权亚式期权(asian option) l资产交换期权资产交换期权 (exchange option)l含几种资产的期权含几种资产的期权(如：彩虹期权如：彩虹期权rainbow option)2022-3-6.15.4215.9 信用衍生证券信用衍生证券l信用违约互换信用违约互换CDSCDS：creditcredit defaultdefault swapswapl债务抵押债券债务抵押债券CDO:CDO: collateralizedcollateralized debtdebt obligation)obligation)2022-3-6.15.4315.10 天气、能源和保险衍生证券天气、能源和保险衍生证券l天气风险天气风险l能源价格风险能源价格风险l保险公司风险保险公司风险2022-3-6.15.4415.11衍生品的灾难与教训衍生品的灾难与教训国际金融机构案例：国际金融机构案例：l巴林银行巴林银行Barings ($10B