概率论与数理统计习题集与答案

1、WORD格式"概率论与数理统计"作业集及答案第 1 章概率论的根本概念§1 .1随机试验及随机事件1. (1)一枚硬币连丢3 次，观察正面 H反面 T 出现的情形 . 样本空间是： S=；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S=；2.(1)丢一颗骰子 .A：出现奇数点，那么A=； B：数点大于 2，那么 B=.(2)一枚硬币连丢2次，A ：第一次出现正面，那么 A=；B：两次出现同一面，那么=； C ：至少有一次出现正面，那么C=.§1 .2随机事件的运算1. 设 A、 B、 C 为三事件，用 A、 B、 C的运算关系表示以下各事

2、件：(1)A 、 B、C 都不发生表示为：.(2)A与 B 都发生 , 而 C不发生表示为：.(3)A 与 B 都不发生 , 而 C 发生表示为：.(4)A、B、C 中最多二个发生表示为：.(5)A 、B、C 中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为：.2. 设S x : 0 x 5, A x :1x3, B x : 24 ：那么1A B， 2AB，3AB，4A B=，5AB =。§1 .3 概率的定义和性质1. P(AB)0.8, P( A) 0.5, P(B) 0.6，那么(1) P( AB),(2)(P(A B)=,(3) P(A B) =.2. P(

3、A)0.7,P(AB)0.3,那么 P(AB) =.§1 .4古典概型1. 某班有 30 个同学 , 其中 8 个女同学 , 随机地选 10 个 , 求:(1) 正好有 2 个女同学的概率 ,(2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有2 个女同学的概率 .2.将 3个不同的球随机地投入到4 个盒子中 , 求有三个盒子各一球的概率 .§1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，点数之和为7, 那么其中一颗为1 的概率是。2. P( A) 1/ 4, P(B | A)1/3, P(A|B)1/2, 那么 P(AB)。§1 .6全概率公式1. 有 10

4、 个签，其中 2 个“中，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率一样。2.第一盒中有4 个红球 6 个白球，第二盒中有5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。专业资料整理WORD格式- 1 -专业资料整理WORD格式§1 .7贝叶斯公式1某厂产品有70%不需要调试即可出厂， 另 30%需经过调试， 调试后有 80%能出厂，求 1该厂产品能出厂的概率， 2任取一出厂产品 , 求未经调试的概率。2将两信息分别编码为A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为0.02 ，B 被误收作A 的概率为0.0

5、1 ，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为3 : 2 ，假设接收站收到的信息是 A，问原发信息是A 的概率是多少？§1 .8随机事件的独立性1. 电路如图，其中 A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p, 求 L 与 R 为通路用 T 表示的概率。ABLRCD3.甲，乙 , 丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和 0.6 ，是否命中，相互独立，求以下概率 : (1)恰好命中一次 ,(2)至少命中一次。第 1 章作业答案§ 1 .1 1：1S HHH , HHT , HTH ,THH , HTT , THT ,TTH

6、, TTT；（ 2S 0, 1, 2, 32： 1A 1,3,5B3, 4, 5, 6；2A 正正，正反 , B 正正，反反 , C 正正，正反，反正。§ 1.2 1：(1)ABC ；(2)ABC；(3)A B C；(4)ABC ；(5)AB ACBC ；(6)A BA CB C或 ABCA B CA B CABC ；2：( 1)AB x :1x4；(2) AB x : 2x3 ；(3)AB x : 3 x4 ； 4A B x : 0x1或 2 x5 ；5A B x : 1 x 4。§ 1.3 1：(1)P( AB ) =0.3,(2)P( A B) =0.2,(3) P(

7、 AB) =0.7. 2：P( AB) )=0.4.专业资料整理WORD格式- 2 -专业资料整理WORD格式§1 .41：(1) C82C228/ C3010,(2)( C2210C 81C 229C82C 228/ C3010,(3)1-(C 2210C81C 229/ C 3010.2：P43/43.§ 1.51： . 2/6；2： 1/4。§ 1.61： 设 A 表示第一人“中 ，那么 P(A) = 2/10设 B 表示第二人“中 ，那么 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A )=2182210910910,两人抽“中的概率一样与先

8、后次序无关。2： 随机地取一盒，那么每一盒取到的概率都是0.5 ，所求概率为：p = 0.5× 0.4 + 0.5× 0.5 = 0.45§ 1.71： 1 94% 2 70/94；2：0.993；§ 1.8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)p 2p2p 42 p 2p42： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1

9、-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 随机变量及其分布§ 2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1， 2， 3，4， 5 的五个球，从中随机地取3 个，用 X 表示取出的3 个球中的最大 .,试写出 X 的分布律 .2某射手有5 发子弹，每次命中率是0.4 ，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射击的次数 , 试写出 X 的分布律。§2.20 1 分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从 =4 的泊松分布，求(1)

10、每分钟恰有1 次呼叫的概率；(2) 每分钟只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律：X 23, Y (X),试求：p0.40.6（ 1 P(X=2,Y 2)； (2)P(Y 2)； (3) Y 2, 求 X=2 的概率。§ 2.3 贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机，调查说明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有 2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3 台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1 台计算机被使用的概率是多少？专业资

11、料整理WORD格式- 3 -专业资料整理WORD格式2设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进展多少次独立射击， 才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？§2.4随机变量的分布函数0x11 设随机变量X 的分布函数是：F(x) =0.51x11x1 1求P(X 0 )； P 0X1 ；P(X1)，(2)写出X的分布律。Axx0, 求1常数 A,(2)P 1 X 2 .2 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = 1 x0x0§2.5连续型随机变量kx0x11 设连续型随机变量X 的密度函数为：f ( x)0其他（ 1求常数k的值； 2求 X 的分布函数 F(x) ，画

12、出 F(x) 的图形，（ 3用二种方法计算 P(- 0.5<X<0.5).0x12设连续型随机变量x 0的分布函数为：F(x) =ln x1xe1xe(1) 求 X 的密度函数f ( x) ，画出 f (x) 的图形，(2)并用二种方法计算P(X>0.5).§2.6均匀分布和指数分布1 设随机变量K 在区间(0,5) 上服从均匀分布, 求方程4 x2 + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。专业资料整理WORD格式- 4 -专业资料整理WORD格式2 假设打一次所用时间单位：分X 服从0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进亭，试求你等待：1超过 10 分

13、钟的概率；210 分钟到 20 分钟的概率。§ 2.7正态分布1 随机变量X N (3,4), (1) 求 P(2<X 5) ,P(- 4<X 10),P(|X|>2),P(X>3) ；(2) 确定 c，使得P(X>c) = P(X<c) 。2某产品的质量指标 X 服从正态分布，=160，假设要求 P(120<X<200) 0.80，试问最多取多大？§2.8随机变量函数的分布1 设随机变量X的分布律为；X012p0.30.40.3Y = 2X 1, 求随机变量X的分布律。2(1x)0x12 设随机变量X 的密度函数为：f (x

14、)，0其他Y X 2；求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量X 服从0，1上的均匀分布，Y2 ln X ，求随机变量Y 的密度函数。第 2 章作业答案§ 2.11：X345p0.10.3 0.62：X12345p0.40.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.4 0.6 ×0.6 ×0.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.6 ×0.6 ×1§ 2.21： (1)P(X = 1) = P(X 1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2)

15、 P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。专业资料整理WORD格式- 5 -专业资料整理WORD格式2：(1)由乘法公式：22e22e2)= 2 e2P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2)= 0.4 ( e×（ 2由全概率公式： P(Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)= 0.4 ×5e2+ 0.6173= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458× e2 3由贝叶斯公式： P(X

16、=2|Y 2)= P( X2, Y2) 0.270670.516P(Y2)0.52458§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数，那么XB(5,0.6),(1) P( X = 2 ) = C520.620.43(2) P(X3)=C53 0.630.42C54 0.6 40.4 0.65(3)P(X 3)=1-C54 0.6 40.40.65(4)P(X 1 ) = 1 -0.452： 至少必须进展11 次独立射击 .§ 2.41：X1= 0.5； P(X 1) = 0.5， 1P(X 0 )=0.5； P 0(2) X 的分布律为：X-11P0.50.52： (1)A=

17、1,(2)P1X2=1/60x0§ 2.51 ：1k 2， 2F (x)x 20x1 ；1x10.5f (x)dx00.51；3 P(- 0.5<X<0.5) =0dx2xdx40.50.50专业资料整理WORD格式或 = F(0,5) F(-0.5) =110 。44专业资料整理WORD格式2 ： 1f ( x)1/ x1 xe0其 2P( X 2) 1 ln 2他§ 2.6 1：3/5 2： (1) e 2(2) e 2e 4专业资料整理WORD格式§ 2.7§ 2.81： (1) 0.5328,0.9996,0.6977, 0.5； (

18、2) c = 3 ，2： 31.25。1：Y- 113p0.30.40.3专业资料整理WORD格式1y) 0y11y / 22：fY( y)(1， 3：fY( y)2ey 0 ；y0其他0y 0第 3 章多维随机变量专业资料整理WORD格式- 6 -专业资料整理WORD格式§3.1二维离散型随机变量1.设盒子中有2 个红球， 2 个白球， 1 个黑球，从中随机地取3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出(X, Y)的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为：X Y012试根椐以下条件分别求a 和 b 的值；00.10.2

19、a(1) P( X1)0.6 ；10.1b0.2(2) P( X1| Y2)0.5 ；(3) 设F ( x)是Y的分布函数，F (1.5)0.5 。§3.2二维连续型随机变量k(xy)0x1, 0y11.( X、 Y) 的联合密度函数为：f ( x, y)0其他求 1常数 k； 2 P(X<1/2,Y<1/2) ； (3) P(X+Y<1) ； (4) P(X<1/2) 。kxy0 x 1, 0y x2( X、Y )的联合密度函数为：f ( x, y)其他0求 1常数 k； 2 P(X+Y<1) ；(3) P(X<1/2) 。§3.3边缘

20、密度函数1. 设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与 Y 的边缘密度函数。f ( x, y)1x,y2 (1 x2 )(1 y2 )2.设 (X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与 Y 的边缘密度函数。e x0yxf (x, y)其他0§ 3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下，X Y123试根椐以下条件分别求a 和 b 的值；11/61/91/18专业资料整理WORD格式- 7 -专业资料整理WORD格式(1)P(Y1)1/3；2ab1/9(2)P( X1|Y 2)0.5 ； 3X与Y相互独立。2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数c，并讨论

21、X与Y是否相互独立？cxy20 x 1, 0y 1f ( x, y)其他0第 3 章作业答案§3.11：X Y122：(1) a=0.1b=0.310.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70.31§3.21： (1) k = 1 ； (2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8； (3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8 。2： (1) k = 8 ； (2) P(X+Y<1) = 1/6； (3) P(X<1/2) = 1/16 。

22、7;3.31：f X ( x)1dy2x；2(12)(1y2)(1x2)xfY ( y)1dx2y；2(1x2)(12(12)y)y2：f X ( x)xe xx0f Y ( y)e yy00x0；0y；0§3.41： 1 a=1/6b=7/18；(2) a=4/9b=1/9； 3a = 1/3, b = 2/9 。2：c = 6, X 与 Y 相互独立。第 4 章 随机变量的数字特征§ 4.1 数学期望1盒中有5 个球，其中2 个红球，随机地取3 个，用 X 表示取到的红球的个数，那么EX是： A1；B1.2 ；C1.5 ；D2.3x2x 412. 设X有密度函数：f (

23、 x)82, 求E(X ), E(2X 1), E(其他X2),并求 X0大于数学期望E( X ) 的概率。专业资料整理WORD格式- 8 -专业资料整理WORD格式3. 设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为：X Y012 E(XY)0.65，00.10.2a那么 a 和 b 的值是：10.1b0.2（ A a=0.1, b=0.3 ； B a=0.3, b=0.1； C a=0.2, b=0.2； D a=0.15, b=0.25 。4设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求EX, EY, E( XY 1) 。xy0 x 1, 0y 2f ( x, y)其他0§4

24、.2数学期望的性质1设 X 有分布律：X0123 那么E(X22 X3) 是：p0.10.20.30.4A 1；B2； C3；D4.5yx2y 1，试验证 E( XY )E(X)E(Y) ，但X与Y不2. 设( X , Y)有f ( x, y)40其他相互独立。§ 4.3 方差1丢一颗均匀的骰子，用X 表示点数，求EX , DX .( x 1) / 40x 22X有密度函数：f (x)其，求 D(X).0他专业资料整理WORD格式- 9 -专业资料整理WORD格式§4.4常见的几种随机变量的期望与方差1设X (2) ,Y B(3, 0.6) ,相互独立，那么E(X2Y ),

25、 D ( X2Y) 的值分别是： A-1.6和 4.88 ；B-1 和 4； C1.6 和 4.88 ； D1.6 和-4.88.2. 设X U (a, b),Y N (4, 3) ，X与Y有一样的期望和方差，求a,b 的值。A0 和8；B1 和7；C2 和6；D3 和5.§ 4.6独立性与不相关性矩1以下结论不正确的选项是AX与Y相互独立，那么X 与Y不相关；BX与Y相关，那么X 与Y不相互独立；CE(XY)E(X )E(Y) ，那么X与Y相互独立； Df (x, y)f X ( x) f Y ( y) ，那么X与Y不相关；2假设C O V( X ,Y)0 ，那么不正确的选项是AE

26、(XY)E(X )E(Y) ；B E( XY)E(X )E(Y) ；CD(XY)D(X)D(Y) ；D D(XY)D(X)D(Y) ；3X ,Y有联合分布律如下，试分析X 与 Y 的相关性和独立性。XY101. 11/81/81/801/801/811/81/81/84E( XY)E( X )E(Y) 是X与Y不相关的 A 必要条件； B充分条件： C充要条件；D 既不必要，也不充分。5.E(XY )E( X )E(Y) 是X与Y相互独立的A 必要条件； B充分条件： C充要条件； D既不必要，也不充分。6.设随机变量(X, Y) 有联合密度函数如下：试验证X 与 Y 不相关，但不独立。21x

27、 2 y / 4x 2y 1f ( x, y)其他0专业资料整理WORD格式-10-专业资料整理WORD格式第 4 章作业答案§4.11： B； 2 ：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3 ： D ；4： 2/3 ，4/3 ，17/9 ；§ 4.2 1： D；§4.31： 7/2,35/12；2： 11/36；§4.41 ：A；2 ： B；§4.51： 0.2， 0.355；2： 1/144, 1/11；§4.61： C；2：C； 3：X与Y不相关，但X与Y不相互独立； 4：C； 5：A ；第 5 章 极限定理* §

28、5.1 大数定理§5.2 中心极限定理1一批元件的寿命 以小时计 服从参数为0.004 的指数分布， 现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用， 当使用的一只损坏时， 立即换上备用件， 利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年 8760 小时的近似概率。2某一随机试验，“成功的概率为0.04，独立重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功 6 次的概率的近似值。第 5 章作业答案§ 5.2 2： 0.1788；3： 0.889， 0.841；第 6 章 数理统计根底§ 6.1 数理统计中的几个概念1有 n=10 的样本； 1.2， 1

29、.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8，1.4，那么样本均值X=，样本均方差 S，样本方差 S2。2设总体方差为b2有样本X1, X2, , Xn，样本均值为X，那么Cov ( X1, X )。§6.2数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表， 以下分位点的值：Z0 .9 =，02.1(5) =， t0.9 (10) =。设X1, X2, X n是总体2( )的样本，求 E( X ), D(X ) 。2m§6.3一个正态总体的三个统计量的分布1设总体XN( ,2) ，样本 X1,X2, X n，样本均值 X ，样本方差 S2，那么XX，

30、/n，S /n专业资料整理WORD格式-11-专业资料整理WORD格式1n21n2( X i X )，(X i)，22i 1i 1第 6 章作业答案§6.11x1.57, s0.254, s20.0646 ；2. Cov (X1, X ) b2/ n；§6.21 -1.29，9.236， -1.3722 ；2E(X)m, D ( X ) 2m / n ；§6.31.N(0,1),t (n1),2 (n 1),2 (n) ；第 7 章 参数估计§ 7.1 矩估计法和顺序统计量法x10x1，有样本 X1, X2,1.设总体 X 的密度函数为：f (x)0, X n，求未其他知参数的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X () ，为估计的值，在实地随机地调查了20 次，每次 1 分钟，结果如下：次数：23456量数：95374试求的一阶矩估计和二阶矩估计。§7.2极大似然估计1.设总体 X 的密度函数为：f ( x)(1)x0x1，有样本 X1,X2, X n，求0其他未知参数的极大似然估计。§7.3估计量的评价标准1.设总体X服从区间 ( a, 1)上的均匀分布，有样本X1, X2, Xn，证明"是 a