线性代数课件2008第3章向量空间

1、-2-O),(zyxP三维空间的向量三维空间的向量: 有向线段。有向线段。建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 P 或一个三元数组或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。唯一确定。 我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向量的和向量的数数乘乘两种运算。两种运算。 k-3-建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标坐标)的运算的运算.),(,),(222111zyxzyx ),(212121zzyyxx ),(111kzkykxk 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中由于

2、解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广的向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。直接把。直接把 n 元的数组叫做元的数组叫做(代数中的代数中的)，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。量坐标的运算。-4-n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个 或或 , 其中其中 称为该行称为该行(列列)向向量的第量的第 i 个个. 行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为. 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的向量称为实的向量称为实(复复)向量向量, n 维实维实(复复)向向量的全体记为量的全体记为 . 以

3、后如无特殊说明以后如无特殊说明, 向量均指实向量向量均指实向量.:所书写的向量如无特殊说明均指列向量所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量而行向量用列向量的转置表示用列向量的转置表示. 向量的向量的运算和运算和运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.)(CRnnia naaa21),(21naaa或或-5- 由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个. 如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组向量组总是指含有限个向量的向量组. : mn 的矩阵的矩阵 A 全体列向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向

4、维列向量的向量组量组, 简称简称 ; 全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称 .: 解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.)(0nArxAnm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211-6- 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。运算对应于矩阵的相应运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算。在在Rn中的向量满足以下

5、中的向量满足以下8 8条规律：条规律：其中其中 、 、g g 都是都是n维向量维向量，k、l为实数为实数。 g g g g 1 )8(0)()4()()()7(0)3()()6()()()2()(5()1(kllkkkklklk-7-解解 123101231 12320231 12531313235)2(3121 3221 2122 212 1011 1232 ，求，求使使 212例例1-8-对于向量组对于向量组 , 表达式表达式nA ,:21)(2211Rkkkkinn nn 2211则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A . nn 2121,通常写成通常写成称为向量组称为向量组 A 的

6、一个的一个.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个线性组合性组合, 即存在数即存在数 使使 n ,21-9-1零向量可由任一组向量线性表示。零向量可由任一组向量线性表示。120000m中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身m,212向量组向量组miiii00100111线性表示，线性表示，(1,2,)im 注意注意Tnaaa,213任一任一n元向量元向量都可由都可由n元单位向量组元单位向量组线性表示，即线性表示，即 121,0,0,0,1,0,TTee ,0,0,1,Tne 1 122nna ea ea e -10- n元线性方程组元线性方程组 可以用向量形式表示为可

7、以用向量形式表示为a11x1a21x1 am1x1a12x2a22x2 am2x2 a1nxna2nxn amnxnb1b2 bm (1)其中其中对应齐次方程组对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为可用向量形式表示为02211 nnxxx , , ， ， 121111maaa 222122maaa mnnnnaaa21 mbbbB21Bxxxnn 2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示-11-向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 nA ,:21 nn2211存在数存在数 使使n ,21即即 ,21nAAx 有解有解|)( ArAr 注意注意:符号混用符号混用另外另外, 如

8、果解唯一如果解唯一, 则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的. 如果如果 (按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)方程组方程组 nnxxx2211自学自学 P95例例3-12-例例2解解,321 A记记 不能由不能由 A 线性表示线性表示; 能由能由 A 唯一表示唯一表示; 能由能由 A 有有无穷多种表示无穷多种表示, 并求所有表示方法并求所有表示方法. ,)1 , 1 ,1(1T ,)1 ,1 , 1(2T 设向量组设向量组 A:问问 为何值时为何值时,), 3 , 0(T ,)1 , 1 , 1(3T 向量向量 只需讨论只需讨论 Ax解的情况解的情况.具体解方程组

9、过程略。具体解方程组过程略。0 时时,方程组无解方程组无解, 不能由不能由 A 表示表示. 30 且且时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解, 可由可由 A 唯一表示唯一表示. -13-3 时时, 方程组有无穷多解方程组有无穷多解, 可由可由 A 无穷多种表示无穷多种表示. 通解为通解为 021111321kxxx所有表示方法所有表示方法:321)2()1( kkk 其中其中 k 为任意实数为任意实数.即即 211121)2(112)1(330kkk作业作业 P96 2; 3; 6; 7-15-看看三维空间中的向量看看三维空间中的向量(如图如图)设设 可表为可表为22114 kk 4 421,

10、, 说明说明321, 这三个向量任何一个都不能由其它两个这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示向量线性表示, 说明它们是异面的说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内这三个向量在一个平面内(共面共面).1 3 2 4 -16- 我们把上面这种向量之间的最基本我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广的关系予以推广, ,并换一种叫法并换一种叫法. .向量可由其余的向量线性表示向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组则称该向量组;否则否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示如果任一向量都不能由其余向量线性表示, 则称该则称该向量组向量组(或独立或独立).mA ,:21设向量组设向量组

11、,如果其中一个如果其中一个线性相关与线性相关与线性表示之线性表示之间的关系间的关系(证明略证明略)-17-当当m2时，向量组时，向量组12,m 线性无关线性无关 向量组向量组 中任一个向量都不能用其余中任一个向量都不能用其余m -1个向量线性表示。个向量线性表示。02211 mmkkk mkkk,21如果存在如果存在的数的数使得使得则称该向量组则称该向量组. 否则否则,如果设如果设02211 mmkkk 便能推出便能推出021 mkkk则称该向量组则称该向量组.定义定义1-18-例例1证明单位向量组是线性无关向量组证明单位向量组是线性无关向量组.例例2已知已知321,线性无关线性无关,证明证明

12、,211,322也线性无关也线性无关.133-19-02211 nnkkk 存在不全为零的数存在不全为零的数 使使nkkk,21即即 ,021nAAx 有非零解有非零解.nAr )(nA ,:21向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组) 齐次齐次方程组方程组(用矩阵的秩用矩阵的秩)02211 nnxxx 把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。证明向量组线性相关性的基本方法证明向量组线性相关性的基本方法（向量

13、方程）（向量方程）-20-,742,520,111321 问向量组问向量组,321 ,21 和和的线性相关性的线性相关性? 000220201751421201,321 r2,321 r,321 线性相关线性相关.2,21 r,21 线性无关线性无关.例例3-21-例例4设向量设向量 可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组 n ,21线性表示线性表示,证明表法是唯一的证明表法是唯一的.nnnn 221122110)()()(222111 nnn 由由 线性无关线性无关n ,21nn ,2211-22-(参见参见P.99101)(1) “部分相关部分相关,则整体相关则整体相关.等价地等价地”

14、111,642,321321 观察知观察知 相关相关, 从而从而 相关相关.21, 321, nA ,:21设设相关相关,要证要证121,: nnB 相关相关.11)(|)(1 nArArBrn 线性相关性的一些结论线性相关性的一些结论书书P.98例例2-23-(2) “个数大于维数必相关个数大于维数必相关” AA 的列组是的列组是 4 个个 3 维向量维向量, 必相关必相关.mnAnm ,设设要证要证 A 的列组线性相关的列组线性相关.nmAr )(P.101推论推论1123416121 ,2 ,3 ,01365 如：如：-24-(3) nA ,:21 ,:21nA无关无关, 相关相关则则

15、可由可由 A 唯一表示唯一表示. 这由这由1)|()( nArArn nnxxx2211有唯一解有唯一解.nArAr )|()( 为以后引用方便为以后引用方便, 给它起个名子叫给它起个名子叫.P.99 定理定理3.2.2-25-(4) “短的无关短的无关, 则长的也无关则长的也无关.等价地等价地 ” 43,2121 是无关的是无关的. 43,2121 也是无关的也是无关的.nBrArnnlnm )()(nBrnl )(P.101推论推论3,00211 ,01102 .10903 再如：再如：-26-(5)含有含有n个向量的个向量的n元向量组线性相关（无关）元向量组线性相关（无关）P.101推论

16、推论2由它构成的由它构成的n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式| 0(| 0)AATTTt), 3 , 1(,)3 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(321 t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关 ? tA31321111,321 记记03)(,321 AAr线性相关线性相关 512021011131321111 tttA当当 t = 5 时时, 上面向上面向量组线性相关量组线性相关.例例4-27-A, B 为非零矩阵且为非零矩阵且 AB = O, 则则(A) A 的的列列组线性相关组线性相关, B 的的行行组线性相关组线性相关(B) A 的的列列组线性相关组线性相关, B

17、 的的列列组线性相关组线性相关(C) A 的的行行组线性相关组线性相关, B 的的行行组线性相关组线性相关(D) A 的的行行组线性相关组线性相关, B 的的列列组线性相关组线性相关 设设 说明说明 Ax = 0 或或 AX=O 有非零解有非零解, 故故r(A)0, r(B)0, 得得 r(A)n 和和 r(B)n, 由表示不等式由表示不等式mnArBrnlml )()(从而从而 B 必相关必相关.P.107 引理引理1 -36-P.107-108(以下向量组可无限以下向量组可无限) (1) 最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一定存在

18、吗？定存在吗？ (2) 最大无关组唯一吗最大无关组唯一吗?它含向量个数唯一吗？它含向量个数唯一吗？ (3) 如果向量组的秩为如果向量组的秩为 r ,则其任一则其任一 r 个线性无关的向量都是个线性无关的向量都是其最大无关组吗其最大无关组吗? (4) 向量组与其任一最大无关组等价吗向量组与其任一最大无关组等价吗? (5) 向量组的任意两个最大无关组等价吗向量组的任意两个最大无关组等价吗? (6) 等价向量组的秩相等吗等价向量组的秩相等吗?-37-极大无关组的求法极大无关组的求法引理引理2 矩阵的初等矩阵的初等行行变换不改变矩阵的变换不改变矩阵的列列向量组的线向量组的线性相关性性相关性.-38-例

19、例1求向量组求向量组的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出. 6317425201111 2 3 4 利用初等行变换可求得一个极大无关组为利用初等行变换可求得一个极大无关组为21, 要求要求 用用 表出表出, 这相当于要解方程组这相当于要解方程组3 21, 32211 xx 000110201550220201751421201|,321 rr解解2132 -39-类似类似 可求可求 用用 表出表出.4 21, 000110101550220101651321101|,421 rr解解214 -40-练习练习TT)6 , 6, 1 , 1(

20、,)3 , 4 , 1 , 2(21 TTT)9 , 4 , 4 , 2(,)7 , 2, 1 , 1(,)9, 2 , 2, 1(543 54321, 求向量求向量一个最大无关组一个最大无关组,并把其余并把其余向量用该最大无关组表出向量用该最大无关组表出. 97963422644121121112,54321 00000310003011040101r矩阵的秩矩阵的秩=?421, 线性无关吗线性无关吗?421, 是最大无关组吗是最大无关组吗?阅读书阅读书P.例例3-41- 97963422644121121112,54321 00000310003011040101r213 97963422

21、644121121112,54321 00000310003011040101r4215334 -42-213 213 4215334 4215334 421, 是右边的最大无关组是右边的最大无关组421, 是左边的最大无关组是左边的最大无关组 97963422644121121112 0000031000301104010154321 54321 r矩阵的矩阵的行行初等变换不改变矩阵的初等变换不改变矩阵的列向量组列向量组的线性关系。的线性关系。引理引理2-43-)r()r()r(的行组的行组的列组的列组AAA : 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用

22、，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。这个原因。向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理三秩相等定理-44-设设 线性无关线性无关, 问问 满足什么条件满足什么条件, 321, km,312312, mk线性相关线性相关.向量组向量组: 分析分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题这是一个向量组表示另一向量组的问题, 就是矩阵乘法的关系。就是矩阵乘法的关系。P.104313232121, mk记记 1001101,321321mk 则则例例2-45-01001101,321321 xxxmk 0,32132133

23、2211 xxxxxx 设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)01001101321 xxxmk3,321 r(由由 )-46-31001101r mk线性相关线性相关321, 1 mk有非零解有非零解01001101321 xxxmk有非零解有非零解0332211 xxx011001101 mkmk-47-设向量组设向量组 能由向量组能由向量组rB ,:21sA ,:21线性表示为线性表示为rssrK ,2121 且且A组线性无关。证明组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是组线性无关的充要条件是rKrs )r(作业作业 P113 3; 4; 5(2); 6-49-

24、VRV 则则若若,VVV 则则若若,集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指V 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及数对于加法及数乘乘两种运算封闭，那么就称两种运算封闭，那么就称集合集合 为为nVVVV 维向量的全体是一个向量空间维向量的全体是一个向量空间,记作记作nnR只含零向量的集合是一个向量空间只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量Vkk 21-50-证明下列集合是向量空间证明下列集合是向量空间 ,|0 ,21

25、211RxxxxxVT 证证 1211210 ,0 ,VbbVaaTT 122110 ,VbabaT 1210 ,VaaT 例例1所以所以 构成了向量空间构成了向量空间.1V1e2e3e 1V-51- 0|)( xARxANnmn证证0, 0),(,2121 AAAN即即设设0)(22112211 AkAkkkA)(2211ANkk 例例2证明齐次方程组的解集证明齐次方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的以后称为齐次方程组的.-52-例例3证明非齐次方程组的解集证明非齐次方程组的解集不是向量空间不是向量空间.0,| bbAxxS证证设设 , 而而 S S 0 S 对加

26、法运算不封闭对加法运算不封闭.或或SbbAA 222)2(S 对数乘运算不封闭对数乘运算不封闭.-53-维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设n , RxL ,是向量空间是向量空间.Lx 111设设Lx 222,Lxx )()(212121Lkkkx )()(111例例4证证-54- Rxximm ,|2211设设 是一向量组是一向量组, 称称m ,21为由该向量组为由该向量组.记为记为),(),(2121mmspanL 或或 特别地特别地, 由矩阵由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为的列向量生成的向量空间称为 A的的列空间列空间(或称或称像空间像空间或称或称值域值域).记为记

27、为R(A),|)(R2211RxxxxyyAinn ,|nRxAxyy ,21nA -55- 向量空间向量空间 V 的一个最大无关组的一个最大无关组, 又称又称 V 的一个的一个(或坐标系或坐标系). 基所含向量的个数基所含向量的个数 r 又称为又称为 V 的的.记为记为 dim(V) = r . 此时称此时称 V 是是 . 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若，若 ，就称，就称 是是的的21VV 1V2V1V2VRVn 0.的子空间的子空间总是总是所以所以RVn设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，则维向量所组成的向量空间，则Vn-56- 设向量空间设向量空间 V 的一个基为的一个基为 ,

28、则则对对 V 中的任一向量中的任一向量 可唯一地表示为可唯一地表示为r ,21 rrxxx 2211数组数组 或向量或向量 称为称为向量向量 在基在基 下的下的.rxxx,21Trxxxx),(21 r ,21),(21mspanV Rximm 2211的一个基显然就是向量组的一个基显然就是向量组 的一个最的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。大无关组，其维数就是该向量组的秩。m ,21-57- ,|0 ,2121RxxxxxVT 例例5证明证明TTee)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(21 TT)0 , 2 , 1(,)0 , 1 , 1(21 都是都是 V 的基的基. di

29、m( V ) = ?, 并求向量并求向量T)0 , 5 , 3( 在这两个基下的坐标在这两个基下的坐标.证证21,ee显然线性无关显然线性无关, 又又 V 中的任一向量中的任一向量2211exex Txxx0 ,21 所以所以 是是 V 的一个基的一个基.21,eedim( V ) = 2.V 中任意两个线性无关的向量都是中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基的一个基, 21, 也是也是 V 的一个基的一个基所以所以-58-2153)0 , 5 , 3(eeT 所以所以 在基在基 下的坐标为下的坐标为 (3 , 5) 21,ee 2211xx为求为求 在基在基 下的坐标下的坐标, 需解方程

30、组需解方程组 21, 求得坐标为求得坐标为 ( 1 , 2 ). 02120111053 21 作业作业 P118 2 ;4 -59-60- n 维向量空间是三维向量空间的直接推广维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线但是只定义了线性运算性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维它们构成了三维空间丰富的内容空间丰富的内容.我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中. 在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积),cos(yxyxyx 建立标准的直角

31、坐标系后建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积设设TTyyyyxxxx),(,),(321321 则则332211yxyxyxyx -61-维向量维向量设有设有nTnTnyyyyxxxx),(,),(2121 xyyxyxyxyxyxTTnn 2211,. ,的的与与为为向向量量称称yxyx令令-62-;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx有有时时且当且当-63-非负性非负性. 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3,22221nxxxxxx . 或或的的维向量维向量为为称称xnx; 0

32、,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx -64- . ,11为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx ,arccos,0,02 时时当当 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交. ,0 与任何向量都正交与任何向量都正交则显然则显然若若xx -65- 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的向中的向量两两正交量两两正交: , 则称该向量组为则称该向量组为正正交向量组交向量组. 又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量: ,则称该向量组为则称该向量组为标准正交向量组标准正交向量组. 若

33、该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基, 又分别称又分别称为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和标准正交基标准正交基. )(0,jiji r ,211 i -66- 100,010,001321eee是向量空间是向量空间R3的一个标准正交基的一个标准正交基(通常称为自然基通常称为自然基). 010,00121ee是下面向量空间是下面向量空间V的一个标准正交基的一个标准正交基.),span()0 ,(|21213eexxxRxVT -67-, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有又又r

34、,2102211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T ,r21 设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.-68-例例100200032132121 AxxxxxxxxxTT 解解这相当于要求下面齐次方程组的非零解这相当于要求下面齐次方程组的非零解 12111121TTA 求得求得 1013 121,11121 已知已知 中两个正交向量中两个正交向量3R试求试求 使使 构成构成3 321 ,的一个正交基的一个正交基.3R-69- 设设 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基(坐标系坐标系),如如何在向量空间何在向量空间 V 中建立中建立(规范

35、规范)正交基正交基(坐标系坐标系)?r ,21这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组r ,21r ,21-70-以三个向量以三个向量 为例为例, 从几何直观上去求从几何直观上去求.321, 1122 1 2 11 1 2 11 上式两边与上式两边与 做内积做内积, 注意注意 得得1 0,21 ,11211 从而从而1112122, -71-我们求得我们求得 已正交已正交, 再来求再来求21, 3 1 2 3 11 22 2211 3 )1(221133 (1)式两边与式两边与 内积内积, 注意注意1 0,3121 ,11311 得得(1)式两边再与式两边再与 内积内

36、积, 类似可得类似可得2 ,22322 222321113133, 从而从而-72-11 ,1112122 111122221111, rrrrrrrrr 222321113133, 设设 线性无关线性无关r ,21令令则则 两两正交两两正交, 且与且与 等价等价.r ,21r ,21?111/ 222/ rrr / 是与是与r ,21等价的规范正交组等价的规范正交组施密特正交化过程施密特正交化过程-73- 两两正交两两正交, 可用数学归纳法严格证明可用数学归纳法严格证明.r ,21与与 等价等价, 这是因为这是因为(只需看三个只需看三个)r ,2111 11222 r 32231133 rr

37、11 21122 r22311333 rr 100101,231312321321rrr 1231312321321100101, rrr -74-例例2TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求求 的一个规范正交基的一个规范正交基, 并求向量并求向量),span(321aaa222321113133,bbbabbbbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 ,