导数的概念及运算

1、导数的概念及运算适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域江苏省课时时长（分钟）60知识点导数的概念；导数的几何意义以及曲线切线的求解；导数的运算.教学目标1、理解导数的概念；2、理解导数的几何意义并能够求解曲线的切线；3、能利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数求导公式求简单函数的导数.教学重点1、求解函数的导数；2、求解曲线的切线.教学难点1、求解函数的导数；2、求解曲线的切线.教学过程一、课堂导入 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿求最大值与最小值的方法。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A)，发

2、现的因子E就是我们所说的导数f(A)。 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷级数，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的百科全书第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点

3、，可以用现代符号简单表示：1823年，柯西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了-语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的定义也就获得了今天常见的形式。二、复习预习1.什么是平均变化率？2.什么是导数？3.导数的几何意义指的是什么？三、知识讲解考点1 导数的概念设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A为函数f

4、(x)在xx0处的导数，记作f(x0)即 .考点2 导数的几何意义 函数在点处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率.考点3 导数的运算1、几种常见函数的导数原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x (为常数) f(x)x1 (为常数)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax (a0，a1)f(x)axln a(a0，a1)f(x)exf(x)exf(x)logax(a0，a1，且x0)f(x)f(x)ln xf(x)2、导数运算法则3、 复合函数的求导法则： 若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.四、例

5、题精析例1 一质点运动的方程为。（1） 求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【规范解答】（1）s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-61=-6.例 2 【规范解答】(1)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：y=(2x2-1)(3x

6、+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：(5)设=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成，所以y=fx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.例3 已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)

7、求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程【规范解答】(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2) 当切点为P点时，由（1）可得，切线为4xy40 切点不是P点，令切点为A（x02），则 切线的斜率kx.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02（舍），此时切线方程为xy20综上所述：所求切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切

8、线的斜率为kx1，解得x01，故切点为，(1,1)故所求切线方程为yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.五、课堂运用【基础】1、若函数f（x）=2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于 【规范解答】y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.2、设函数在处可导，则等于 【规范解答】3、求下列函数的导数： (1)y(2x3)5；(2)y；(3)yln(2x5)【规范解答】(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成yyuux5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成yyuuxu(1)u.(3)设u2x5，则y

9、ln(2x5)由yln u与u2x5复合而成yyuux2.4、曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为_【规范解答】yx13x22x11切线方程为y01(x1)整理得yx1.切线方程为yx1.【巩固】1、若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.【规范解答】由于f(x)4ax32bx，f(1)4a2b2，又f(x)f(x)，f(x)为R上的奇函数，因此，f(1)f(1)2.f(1)=-22、如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是y2x9，则f(4)f(4)的值为_【规范解答】因为f(4)2491，f(4)2， 所以f(4)f(4)1(2)1.f(4)f(4)的值

10、为-1.3、曲线C：yxln x在点M(e，e)处的切线方程为_【规范解答】因为yln xxln x1，所以在点M处的切线的斜率为ln e12，所以在点M(e，e)处的切线方程为ye2(xe)，即为y2xe.4、若曲线在x1处的切线与直线xby10垂直，则实数b的值为_【规范解答】因为，所以在x1处的切线斜率为3，又切线与xby10垂直，所以，解得b3.答案为3【拔高】1、已知点P在曲线上为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是 【规范解答】y e0，且f(x)2ax.因为曲线存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x0范围内导函数f(x)2ax存在零点令2ax0，即2ax210，

11、即x2，显然只有a0，方程2ax210才有正实数根，故实数a的取值范围是a0.3、 已知函数f(x)ax3bx2cx，且f(1)1，若方程f(x)0的实数根为1，求方程f(x)0的实数根【规范解答】由题设的三个条件“f(1)1，f(1)0，f(1)0”列方程组可解得a、b、c的值f(1)1，abc1，即abc1.又f(x)3ax22bxc，f(x)0的实数根为1，3a2bc0，且3a2bc0，联立方程，解得a，b0，由f(x)0，得，解得x0，或x，即方程f(x)0的实数根为0，.4、过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到

12、第个切点则点的坐标为 【规范解答】设T1（x1，ex1），此处的导数值为ex1，故切线方程为y-ex1=ex1（x-x1），代入点P（-1，0）可得0-ex1=ex1（-1-x1），解得x1=0，即T1（0，1），H1（0，0），同理可得过点H1再作曲线C的切线方程为y-ex2=ex2（x-x2），代入点H1（0，0），可得0-ex2=ex2（0-x2），可解得x2=1，故T2（1，e），H2（1，0），依次下去，可得Tn+1的坐标为（n，en）六、课程小结1准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧2曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程