基于APOS理论的函数概念教学设计

1、.基于APOS理论的函数概念教学设计一、 概念同化教学与APOS 理论高中新课程实行已经有四年多了，然而目前，相当多老师仍然采取传统的概念同化教学方式，其教学步骤为1：1提醒概念的本质属性，给出定义、名称和符号;2对概念进展特殊分类，提醒概念的外延;3稳固概念，利用概念的定义进展简单的识别活动;4概念的应用与联络，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联络。这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进展有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用非常有限。因为心

2、理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由老师代替学生操作、考虑、体验。美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地说,人们透过心智构造mental structure使所学的数学概念产生意义。假如一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智构造，那么他几乎自然就学到了这个概念。反之，假如他无法建立起适当的心智构造，那么他学习数学概念几乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky认为，学生学习数学概念就是要建构心智构造，这一建构过程要经历以下4个阶段2：二、基于APOS理论的函数教学设计从数学教育的研究内容来看，关于代数内容已经逐渐从以解方程为中心转到

3、以研究函数为中心了3。函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。 函数概念本身不好理解。国外关于函数教学的研究说明了这一点斯法德调查了60 名16 岁和18 岁的学生，结论是大多数学生认为函数的概念是个过程而不是静止的构造。中国学者也进展了相关的研究，见文献4.可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数的教学在我国设置成螺旋式的教学，初中是用运动变化的观点对函数进展定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全提醒出函数概念的本质。例如，对于函数假如用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但假如用集合与对应的观点来解释，就非常自然。笔者在浙江省义乌市第三中学陈向阳老师设计的?

4、函数的概念?根底上进展考虑，尝试用APOS理论来设计高中函数概念的教学。一创设问题情境，引出课题老师提出问题1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢?在初中已经学过哪些函数?在学生答复的根底上出示投影我们已经学习了一些详细的函数，那么为什么还要学习函数呢?先请同学们考虑下面的问题：问题2：由上述定义你能判断“y=1是否表示一个函数?函数y=x与函数表示同一个函数吗?学生考虑、讨论后，老师点拨：仅用上述函数概念很难答复这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。二生活实例演示，操作练习活动A问题3：以下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图像写出一件事.1我分开家不

5、久，发现自己把作业本可能忘在家里了，于是停下来找，没找到，就返回家里找到了作业本再上学;2我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间;3我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开场加速.活动小结：每一个时刻，按照图像，都有唯一确定的间隔 与它对应。三借助信息技术，讨论归纳过程P师：实例1演示动画，用?几何画板?动态地显示炮弹高度关于炮弹发射时间的函数。启发学生观察、考虑、讨论，尝试用集合与对应的语言描绘变量之间的依赖关系：在的变化范围内，任给一个，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度与之相对应。生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描绘变量之间的依赖关系。师：实例2

6、引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积与之相对应。生：动手测量，然后用集合与对应的语言描绘变量之间的依赖关系。师生：实例3共同读表，然后用集合与对应的语言描绘变量之间的依赖关系。四从特殊到一般，引出函数概念对象O问题4：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点?生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。师生：由学生概括，老师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描绘为：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的与它对应，记作老师强调指出“仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号的含义，老师

7、提出下一个问题：问题5：一定就是函数的解析式吗?师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。问题6：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?假如能，怎样给函数重新下一个定义呢?在学生答复的根底上老师归纳总结补充练习：以下图象中不能作为函数的图象的是 例1.函数，1求函数、的定义域;2求的值;3当时，求的值。4求5求让学生考虑，并提问个别学生。师问：怎样求函数的定义域?追问：与有何区别与联络?点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。追问：如何求，又如何求一般情况的?详细地，可以将2带入函数求出详细值，再代入求出函数值。对于抽象的，应该将看成

8、一个整体，带入的解析式，求出的解析式。问题7：函数的三要素是什么?老师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法那么。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，那么第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法那么已确定，那么函数的值域也就确定了。追问：如何判断两个函数是否一样?以学生已解决的问题出发创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构建自身根底上的“再创造，并通过独立考虑后的讨论，培养学生分析解决问题、用数学语言交流沟通的才能。例2.以下函数中哪个与函数相等?1234师问：判断函数相等的根据是什么?变式：假设改2为呢?考虑：你能举出一些函数相等的详细例子吗?启发并引导

9、学生考虑、讨论、交流，老师归纳总结出函数的要点：1.函数是一种特殊的对应非空数集到非空数集的对应;2.函数的核心是对应法那么，通常用记号表示函数的对应法那么，在不同的函数中，的详细含义不一样。函数记号说明，对于定义域的任意一个在“对应法那么的作用下，即在中可得唯一的. 当在定义域中取一个确定的，对应的函数值即为.集合中并非所有的元素在定义域中都有元素和它对应;值域;3.函数符号的说明：1“即为“是的函数的符号表示;2不一定能用解析式表示;3与是不同的，通常，表示函数当时的函数值;4在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号外，还常用、等符号来表示。4.定义域是函数的重要组

10、成部分，如与是不同的两个函数。五借助熟悉的函数，加深对函数概念的理解图式S问题8：集合AA=R到集合BB=R的对应：: A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素对应，如何表示这个函数?定义域和值域各是什么?函数呢?函数呢?老师演示动画，用?几何画板?显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们考虑之后填写下表：函数一次函数反比例函数二次函数对应关系a0a0定义域值域用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描绘性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数与“形结合在理解函数中的作用，更

11、好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联络。明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次考虑问题的习惯。六再创情境，引导探究函数概念的新认识图式S问题9：比较函数的近代定义与传统定义即初中课本函数的定义的异同点，你对函数有什么新的认识?学生考虑、讨论，老师点拨：函数近代定义与传统定义在本质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全一样。两个定义中的对应法那么实际上也一样，只不过表达的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法那么是从集合与对应的观点出发。问题10：学生在前面学习

12、的根底上，反思对问题2的解答，重新考虑问题2，谈谈自己的认识。老师启发、引导学生画图，以形求数。师生：是函数;与不是同一个函数。引导学生对问题2进展反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和蔼于运用数学语言抽象所发现的结论的才能。七举例应用，深化目的图式S例3.函数1画出函数的图象;2求的值;3你从2中发现了什么结论?4求函数的值域。为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研究函数的性质奇函数作准备。老师引导学生解决此题的关键点，并进展变式：变式1：， 当时，求函数的值域; 当时，求函数的值域。变式2：， 当函数值域为时，求函数定义域; 当函数值

13、域为时，求函数定义域。变式3：1，求的值。2，求函数.变式4：，求的解析式;的解析式;的解析式。以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，表达梯度，使不同程度的学生都有开展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的才能，从而提升学生的思维品质。借助三个变式层层深化，是理论到理论的升华，使概念深化、强化、类化的作用与含义印入心底，得到再次认同，初步掌握与应用才能也就自然形成了。八练习交流，反响稳固以学生答复、板演的形式进展课堂练习，充分发挥师与生、生与生的互动，以老师、学生互相交流来稳固本节课的学习。九学生归纳小结，老师评价以同桌之间一人小结一人倾听

14、的方式，以四人为一小组进展小组讨论，对本节课所学的内容进展自主小结，老师及时进展归纳总结：1.函数的近代定义与传统定义的异同点;2.集合与函数的联络、区别;3.函数的三要素;4.数形结合的思想。三、几点启示APOS理论对学生的函数概念的理解作出了分层分析，可以预测学生已经在多大程度上对性质作出了心理建构，从而推知学生对函数概念的掌握起点。基于APOS理论的理念设计数学性质教学，本质是“以学生为主体的理念在课堂探究中的表达，有利于学生理解函数的概念。教学中老师要关注数学本身的特点，更重要的是要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机结合，要求老师要重视学生的学习活动，让学

15、生亲身创设问题情境。数学老师要意识到：一个数学概念由“过程到“对象的建立, 有时既困难又漫长, 需要经过屡次反复,循序渐进,螺旋上升, 直至学生真正理解,“对象的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观构造形象。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们

16、专心听，用心记。平时我还通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的才能，强化了记忆，又开展了思维，为说打下了根底。学生对于函数概念的认识不是一蹴而就的，这就要要老师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合详细的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完好的知识链。在往后的教学中要注意学生对知识的图式的建立, 即加强知识间的联络和应用,如在讲解详细的指数函数、对数函数、幂函数时，可以以详细函

17、数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进展研究，表达了“详细抽象详细的过程，是函数概念理解的深化。又如，在讲解不等式、方程的求解及应用后，可以与函数相结合，进展比照，从而加深对函数概念的理解，帮助学生在头脑中建立起完好的数学知识的心理图式。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意

18、帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖