电动力学 第4章 电磁波

1、第三节 平面电磁波在导体中的传播及其在导体表面的反射和折射 导体和绝缘体的差别是导体内有自由电子，当电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波的能量转化为焦耳热。 可以预料，在导体中传播的电磁波是个衰减波。本节要点：1.导体中平面电磁波的数学表示；2.导体中平面电磁波的传播特征；3.衡量导体是否为良导体的判据；4.绝缘介质和导体分界面上的菲涅耳公式。一、导体内的自由电荷分布 静电场中的导体其自由电荷分布在导体的外表面上，处在速变场中的导体是否有保留这一特性？ 设导体内某一区域内有自由电荷分布，其密度为，区域内的电场为E E，则 E（3.1）导体内在 E E 作用下引起的传导

2、电流密度J J 由欧姆定律决定，即,EJ（3.2） 其中为电导率. E把（3.2）代入有. J（3.3）上式的物理过程：如果某区域有电荷聚集，该区域电流密度的散度不为零，因为电荷之间的相互排斥引起电荷向外扩散。 由于电荷向外流动，该区域每个体积元的电荷密度减小，电荷密度的变化率由电荷守恒定律决定。即tJ（3.4）和（3.3）比较：.t（3.5）（3.5）式的解是,)(0tet（3.6）0是t=0时的电荷密度。 显然随t 减少，衰减的特征时间是，它为：.（3.7）是(t)减少到0(0)的1/e所经历的时间。石墨 = 3.6910 -10秒铜 =1.5510-19 秒这说明，良导体内部不能堆积电荷

3、，电荷只能分布在良导体的表面上，本节着重讨论良导体， 二、导体内的电磁波（时谐）因为导体内部(t)=0，,EJ所以对应 的麦克斯韦方程组为;,JtDHtBE.0, 0BD（3.8）对一定频率的电磁波E E，D，H H，B B仍然满足,HBED则有;0,EHiE.0,HEEiH（3.9）和P124（4-1-16）作比较，上面的第二式多了一项E E，该项由传导电流引起。如果引入“复电容率”,i（3.10）式,EiHEEiH变为（3.11）这样，导体中的麦克斯韦方程组可改写为;0,EHiE.0,HEiH（3.12）这组方程和绝缘介质中的麦氏方程组的形式完全一样，因此电磁波解的形式也和绝缘介质中电磁波

4、解相同，只是用.取代一定频率下的平面电磁波解 和本章第一小节作类比，导体内电场应满足亥姆霍兹方程, 022EkE（3.12）其中.k（3.13）（3.12）的电磁波解必须满足的条件：0 E和本章第一小节作类比，（3.12）的平面波解是.)(),(0)(0 xk itxkieExEeEtxE（3.14）注意到,k.i因此k是一复矢量，设,ik（3.16）并代入有)(0),(txkieEtxE.),()(0)(0)(0txixtxiitxkieeEeEeEtxE即.),()(0txixeeEtxE（3.17） 可见，导体内平面电磁波的振幅不再是常量而和空间量有关， 显然振幅是衰减的。衰减因子是 称

5、为衰减常数；.xe复矢量中的实数部分反映波的相位关系，称为相位常数。因为导体内平面电磁波的相位是 波的等相面由它确定，, )(tx可以证明的方向就是等相面的法线方向，也就是波的传播方向。改写波的相位函数. )(, )(txtxn xn是位置矢量x x在方向上的分量,对相位函数的时间求导可得.0tdxdvtdxdnn（3.18） 是导体内平面电磁波的相速。之间的关系,比较和k有ik, )(22222iik（3.19）其中利用了,i比较（3.19）两边的实部和虚部有.21,222（3.19）由波矢量的边值关系求相位常数和衰减系数的具体形式设电磁波从自由空间入射到导体表面，以 k k(0)表示空间中

6、的波矢，设x z为入射面，k k表示导体内的波矢。z轴指向导体内部的法线，由波矢的边值关系有.)0(xxxxikk（3.20）)0(kxzv比较等式两边,0 x,xxk又 在zx平面内，那么有)0(k0)0(yyyyikk,0yy那么,sinzzxzzzyxxeeceee.zzzzyyxxeeee显然，复波矢的实部和虚部一般不同向。这时导体中的平面电磁波的振幅函数为,00zxzeEeE可见，波的透射深度为.11z导体中电磁波的相速度是.sin222222zzxcv（3.21）（3.22）（3.23）（3.24）。联立上面两式可得讨论：电磁波正入射时=0，此时 均沿z方向，略去,zz,的脚标，由

7、（3.26）式可得到,xxk, 0, 0, 0zzyy有21,222,)sin(222222zzc.21zz.)sin(21)sin(212222222222222ccz其中考虑了其中考虑了 是实矢量。是实矢量。同理可得到同理可得到.)sin(21)sin(212222222222222ccz（其中使用了其中使用了 ）ck)0(代入0 x把把（3.25）（3.26）,)(11 2212.)(112212（3.27）（3.28）1由由 和（和（3.28）可见）可见， 透射深度透射深度和波的频率及物质的电磁和波的频率及物质的电磁常数有关。常数有关。一般用比值一般用比值 的大小来判断该导体是不是良导

8、体。的大小来判断该导体是不是良导体。对于对于不良导体不良导体比值比值 ，利用，利用 （x x为小量为小量）1xx2111（3.28）式可简化为.2)(21112212（3.29）此时21由于电导率很小，所以由于电导率很小，所以透入深度很大！透入深度很大！对于对于良导体良导体比值比值 ，简化（3.27）和（3.28）式有122（3.30）其透入深度为其透入深度为.2（3.31）上式说明一个重要的事实上式说明一个重要的事实： （1 1）在高频的情况下，电磁场及其在导体内激发的高频电流只）在高频的情况下，电磁场及其在导体内激发的高频电流只能集中在导体表面的一个薄层内，这种现象称为趋肤效应能集中在导体

9、表面的一个薄层内，这种现象称为趋肤效应。 （2 2）在直流和低频时作为良导体的物质，在极高频的电磁场）在直流和低频时作为良导体的物质，在极高频的电磁场中，它就有可能不是良导体了中，它就有可能不是良导体了。如铜，对于短如铜，对于短X X射线（射线（=10=102222H Hz z）来说）来说，, 1102在这种情况在这种情况下铜就不再是良导体了，下铜就不再是良导体了， X X射线在铜扳上不仅不存在趋肤效应，而射线在铜扳上不仅不存在趋肤效应，而且且不能穿透铜扳。不能穿透铜扳。不难发现：不难发现：正好是复电容率正好是复电容率 的虚部与实部之比的虚部与实部之比；i也正好是导体中传导电流与位移电流两者数

10、值大小之比也正好是导体中传导电流与位移电流两者数值大小之比；EitDJEJd,附：也是良导体中单色电磁波磁场能量与电场能量之比。导体中电磁波的磁场表示可由EkH1给出。即,)(1EniH(3.32) n n 指向导体内部，对良导体且波垂直入射，这时,2（3.32）式变为,)1 (4EneEniHi(3.33)良导体中单色平面电磁波的磁场能量与电场能量之比为。. 122422EEneEHWWiem(3.34)这说明导体中磁场能量远大于电场能量。 因为传导电流消耗的 焦耳热由一部分电场能量提供，磁场能量与此无关。可见，磁场的相位比电场相位落后450。三、导体表面上的反射 该问题可从菲涅耳公式中得到

11、答案，由于波在绝缘介质和在导体的数学形式相同，因此振幅的反射比、折射比的数学形式也相同，但要用复波矢和复电容率取代原来波矢和电容率。 也可用边值关系去分析，但计算比较复杂。如果波垂直入射则比较简单。设波由真空垂直入射导体表面，则反射波、折射波 、入射波的E E，H H 、均与界面平行，所以它们的边值关系为.,HHHEEE (3.35)其中EEE ,分别代表入射、反射、折射波的场强。 在良导体的情形下，由EniH)(1,100cBE和可把(3.35)中的第二式用E表示表示。（设0= ）EiEE )1 (20EiEE )1 (20联立可解出和EEE .212100iiEE(3.36)反射系数020

12、20222211)21 (1)21 (EER(3.37)由上式可见，增大，R也增大且向1接近。上式的结果和实验事实相符。如铜，当=1.210-5m 的红外线垂直入射时，测得反射系数为R=1-0.016，与（3.37）的计算结果相符。对于波长较长的电磁波，反射系数更接近于1， 这意味着绝大部份的能量被反射。或无线电波情形下，往往把金属看为反射系数接近1的导体，导体面是约束电磁波的理想界面。因此在微波例1 证明在良导体内，在非垂直入射情形下有.,2zxzz解：设空间入射波矢 并位于xoz平面内，)0(k由波矢的边值关系有0yy,)0(xxk,0 x导体中的复波矢为k因为导体内复波数的平方为,)(2

13、22222iiik.21,222对于良导体，复波数平方中的实部和虚部的比1202221zz02)0(00022121k.212)0(k*由*式,2)0(2xxk与上式比较.2xzz002222222zzzzx,zz对于良导体,2z故.2zz.222xzxzxzz而由上述结果得知， 在任意入射角情形下 垂直于表面， 亦接近法线方向。几种波函数.)(),()(0titxkiexEeEtxE -均匀介质中的平面电磁波的波函数。波矢k k是实数。.),()(0txkizxeeEtxE -全反射中的隐失波。沿界面传播。波速为xkv .v.),()(0txixeeEtxE -导电介质中的平面电磁波的波函数

14、。波矢k k是复数。波速为 第四节 谐振腔谐振腔： 是产生一定频率（微波范围）的电磁振荡的装置。谐振腔结构一般为中空的金属腔。本节讨论谐振腔内的电磁场分布及其特征的问题。由于某些频率的电磁波在金属表面上几乎全部反射，因此谐振腔及（后一节）波导管中的电磁场都属有界空间的电磁场问题。其边界条件起着重要的作用。一、理想导体的边界条件常采用LC回路来产生低频电磁波。波的频率.21LC减小L或C，增大，但 L或C减小到一定的限度后，波的辐射能力将下降，因为辐射及焦耳热的损耗增大。 理想导体是对电磁波全部反射的导体。 理想导体的边界条件电磁谐振腔电磁谐振腔微波波段的谐振电路。通常在波导的两端用导电板短路而

15、构成的封闭腔体 。电磁场被限制在腔内，没有辐 射损耗，谐振腔的品质因数Q值较高。随着谐振频率的提高，要求腔体的尺寸减小 ，致使损耗加大 ，Q 值下降，所以在毫米波、亚毫米波还采用开放腔。在理想的无耗谐振腔内，任何电磁扰动一旦发生就永不停歇。当扰动频率恰使腔内的平均电能和平均磁能相等时便 发生谐振，这个频率称为谐振频率。腔内的电磁场可根据腔的边界条件求解麦克斯韦方程组而得出，它是一组具有一定正交性的电磁场模式的叠加。按波导两端被短 路的观点，腔内的电磁场也可认为是波在腔壁上来回反射而形成的驻波场。当腔长等于某种模式的12波导波长整数倍时，该模式发生谐振，称为谐振模。谐振腔 和外电路的能量耦合方式

16、有：环耦合、探针耦合和孔耦合。谐振腔的主要参数是谐振频率f 和品质因数Q。谐振频率决定于腔的形状、尺寸和工作模式。谐振腔的有载品质因数Q由谐振腔的内部损耗和外部损耗决定。内部损耗取决于腔壁导体的损耗和腔内 介质的损耗，外部损耗取决于通过耦合元件反映的外电路负载情况。一定频率电磁场的边值关系)(,0)(1212HHnEEn（4.1）（注：n n 的指向从介质1指向介质2的法线）,0)(,)(1212BBnDDn（4.2）令脚标1代表理想导体，脚标2代表真空或介质。 n n 从导体指向介质，对理想导体而言，导体内部没有电磁场 （对实际导体，在离表层几个透射深度处就没有电磁场）， 因此，H H1=E

17、 E1=0。略去角标2，以E、H表示介质一侧的电磁场有.0,0BnDnHnEn（4.3）上面第一式说明导体表面上的电场线与表面垂直； 第四式说明磁感应线和界面相切。所以理想导体的边界条件可形象地说为：电力线和界面相垂直；磁感应线与界面相切。上述四式中只有两个是相互独立的，在解理想导体边界的电磁场问题时，一般结合第一式和第四式进行分析并附加上 就可0 E得到响应的电磁波解。例 证明两平行无限大导体之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。 即电磁波可能存在的一种形式。 解 建立坐标系如图，导体平面和xk面平行，由导体的边界条件，应有.0,0yzxHEE. 00)(0yEkEyExEEykyx因为y 的

18、方向又为界面的法线方向，所以上式又可写为.0nEn(4.4)满足上述条件的电力线和磁力线如图。此外没有第二种可能，可见，有导体边界存在时，电磁波的传播形式受到限制，对其他形状的边界也有同样的问题。二、谐振腔内的电磁波解取金属矩形谐振腔如图，它的内表面位置分别为.0;0;0321LzLyLx和和和因为取直角坐标考虑问题，所以电磁场方程002222BkBEkE，的分量式和其矢量方程 的形式一样，设u(x,y,z)为E E 和H H 的任一个直角分量，所以分量所满足的方程为022uku（4.5）用分离变量法，令, )()()(),(zZyYxXzyxu（4.6）代入上式得到三个方程, 0; 0;02

19、22222222ZkzdZdYkydYdXkxdXdzyx（4.7）.22222kkkkzyx（4.8）腔内电磁场应满足因为，电磁波只在腔内振荡，腔内形成的是驻波，所以选取（4.6）式的驻波通解. )sincos()sincos)(sincos(),(332211zkDzkCykDykCxkDxkCzyxuzzyyxx（4.9）由边界条件简化上式，先考虑EX分量。式中Ci,Di是任意常数。对每个电磁分量都成立。对x=0的壁面来说，它是该面的法线分量，.0 xEx所以在x=0处，由（4.9）中的sinkxx应忽略； 对y=0,z=0的面来说， Ex是切向分量，因此 （4.9）式中的,0 xEco

20、skyy, coskzz应忽略。那么，EX的通解为,sinsincos1zkykxkAEzyxx对Ey,Ez分量也作同样的处理有,sincossin2zkykxkAEzyxy,cossinsin3zkykxkAEzyxz（4.10）（4.11）（4.12）,sinsincos1zkykxkAEzyxx,sincossin2zkykxkAEzyxy,cossinsin3zkykxkAEzyxz再考虑x=L1, y=L2, z=L3壁面上的边界条件，如x=L1时，Ey=Ez=0,取Ey得, 0sincossin2zkykxkAzyx由于在x=L1的面上，z,y可取任意值， 所以只能取)2 , 1

21、, 0(1mmLkx,1Lmkx同理.,32LpkLnkzy（n,p均为整数）（4.13）（4.14）可见在谐振腔内x,y,z三个方向上都有驻波， 驻波中的半波数目由m,n,p确定。把Ex,Ey,Ez代入0 E可得到任意常数A1，A2，A3和kx,ky,kz的关系。腔内的k值不连续！.0321AkAkAkzyx因此，三个待定常数中只有两个是独立的。（4.15）满足上式的k值有多个，每一个k值代表腔内的一种电磁振荡模式，称本征摸。给定的谐振腔，有多种本征摸。k的数值由,1Lmkx32,LpkLnkzy决定。振荡模的圆频率：.232222212222LpLnLmkkkkvzyxmnp（4.16）上

22、式说明，每组参数为（m,n,p)的本征摸的圆频率都由上式确定。对应的本征频率为.22232222212LpLnLmfmnpmnp（4.17）由上式看出，要使 f 不为零，m、n、p 有最小值。 如：如果,321LLL则m、n、p 可取（1、1、0），此时得到这种结构中的最低谐振频率：对应的电磁振荡模式为（1、1、0）模式。,211211102221110LLf相应的电磁波波长.1122221110110LLfv（4.18）（4.19）110110,f被称为这种结构下的截止频率和截止波长。可见截止波长和谐振腔的线度同数量级！在微波技术中通常用谐振腔的最低波摸来产生特定的电磁波，也可用谐振腔产生较

23、高频的电磁波。第五节 波导管波导管 是传输高频电磁能量装置。 它的结构是一中空金属管，一、矩形波导中的电磁波因为波导管的内壁是平面，所以取直角坐标考虑问题见下图,波导管的内壁面分别位于x=0,a和y=0,b;波沿z轴方向传播。 在一定的频率下，管内的电磁波满足亥姆霍兹方程,0222kEkE（5.1）其解必须满足条件0 E及边界条件.因为电磁波沿z轴方向传播，它应有传播因子.tzikze因此取电场的待定解形式为.),(),(zikzeyxEzyxE（5.2）E E(x,y)待定， 把zikzeyxEzyxE),(),(代入022EkE有.0),()(),()(0),(),()(222222222

24、2222yxEkkyxEyxeyxEkeyxEzyxzzikzikzz（5.3）在直角坐标系中对上式进行分离变量，设u(x,y)为),()(),(yYxXyxu（5.4）把上式代入（5.3） ， 得到两个微分方程.0,02222222222kkkkYkdyYdXkdxXdzyxyx（5.5）（5.6）（5.5）的解是. )sincos)(sincos(),(2211ykDykCxkDxkCyxuyyxx2121,DDCC（5.7）是任意常数。当（5.6）表示电磁场的某一分量时，应满足边界条件和散度为零，如对电场，应满足), 0(,0,0axxEEExzy)00(ExEx来自), 0(,0,0b

25、yyEEEyzx（5.8）（5.9）考虑Ex分量在y=0处，Ex切向分量，因此它的值为零，所以xyyxxEykDykCxkDxkCyxu)sincos)(sincos(),(2211中的C2必须为零； 这时上式变为;sin)sincos(),(211xyxxEykDxkDxkCyxu又在x=0边界附近应满足,0 xEx00sin)cossin(1211DykDxkkDxkkCyxxxx则)(sincos2111DCAykxkAEyxx同理可得到.sinsin,cossin32ykxkAEykxkAEyxzyxy再考虑传播因子,tzikze则矩形波导管中的电磁波解是.sinsin,cossin,

26、sincos)(3)(2)(1tzkiyxztzkiyxytzkiyxxzzzeykxkAEeykxkAEeykxkAE（5.10）波矢量的制约条件由x=a,y=b的边界条件给出，如x=a时：,0sin0cossinA,0)(2makakeykakExxtzkiyxyz即同理，由在y=b处Ex=0得到.nbky因此波矢量的制约条件是3 , 2 , 1 , 0,nmbnkamkyx（5.11）m,n分别代表沿矩形波导x,y方向上的半波数目。此外，电磁波解)(3)(2)(1sinsin,cossin,sincostzkiyxztzkiyxytzkiyxxzzzeykxkAEeykxkAEeykxk

27、AE还应满足, 0 E由此可得到. 0321AikAkAkzyx（5.12）显然，三个待定常数A1，A2，A3只有两个是独立的。 数组(m,n)不能全为零，如果这样，波导管内无电磁波。 数组(m,n)给定时，波导管内有两种独立的波模存在。波导管内的磁场由EiH（5.13）给出。讨论： 对一定的(m,n)，若选某种模式使EZ=0，由(5.12)式，待定常数A，A之间的关系为,21xykkAA根据独立性，另一种波模z一定不为零;当z=0时，由（.）看出z不为零因为z与z无关因此波导管内的电磁波有这样的特点：电场和磁场不能同时为横波！ 如果波模是如果波模是z=0z=0，则这种波称横电波，则这种波称横

28、电波（也称波），（也称波）， 如果波模是如果波模是z=0z=0，则这种波称横磁波（波），则这种波称横磁波（波）波和波是波导中两类重要的波在同一类中又按（m,n）值的不同，分为mn或mn波 如：，一般情况下，波导管中的波是这些波的叠加附：横电波（E波）的电磁场结构横电波条件：z=0)(3)(2)(1sinsin,cossin,sincostzkiyxztzkiyxytzkiyxxzzzeykxkAEeykxkAEeykxkAE由. 0321AikAkAkzyx则由,12yxkkAAEiH由. )(, )(, )(zEyEiHxEzEiHyExEiHyzxzxyxyz把电场分量代入上面三式，可得到横电波的磁场分量,coscos)()(221tzkiyxyyxzzeykxkkkkiAH,cossin)(1tzkiyxyxzxzeykxkkkkAH.sincos)(1tzkiyxzyzeykx