函数的对称性与周期性例题、习题

1、函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数，如果存在非零常数，使得对任意都有 ，那么函数为周期函数，T为的一个周期；2. 周期函数的其它形式 ； ； ； ； ， ， 3. 函数图像的对称性1.假设，那么的图像关于直线 对称；2.假设，那么的图像关于点 对称；3假设，那么的图像关于直线 对称；4假设，那么的图像关于直线 对称；5假设，那么的图像关于点 对称；6假设，那么的图像关于点 对称；4. 常见函数的对称性1函数的图像关于点 对称；2函数的图像关于直线 对称；3函数的图像关于直线 对称；【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性1. 函数的图像关于 对称；2. 函数的定

2、义域为R，且，那么的图像关于 对称；3. 函数的图像关于 对称；4. 函数的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.函数是偶函数，在递减，那么( ) 2.是偶函数，那么的图像关于 对称；3.是奇函数，那么的图像关于 对称；题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.的图像关于直线对称，且时，求时，的解析式；2.的图像关于点对称，且时，求时，的解析式；3.的图像关于点对称，且时，求时，的解析式；题型四 函数周期性和图像对称的应用1.假设函数的图像关于点对称，求满足的关系；2.函数的定义域为，且对任意，都有(1)假设有个根，求所有这些根的和；(2)假设有个根，求所有这

3、些根的和；3.假设有两条对称轴和，求证：是以为周期的周期函数；4.设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，当时，求时，的解析式；5.定义域为的函数满足，求证函数是周期函数；题型五 综合应用1设是定义在区间上以2为周期的函数，对于，用表示区间，当时，1求在上的解析式；2对自然数k，求集合使方程在上有两个不等实根。2定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，函数。1求的值；2求的函数表达式；3如果关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得所有解的和记为，求的所有可能取值及相对应的的取值范围。3函数1求证：函数的图像关于点对称； 2计算：的值。函数的对称性与周期性课后练习1.定义在R上的函数

4、单调递增，如果的值A恒小于0B恒大于0C可能为0D可正可负2.函数满足：是偶函数；在上为增函数 假设那么与的大小关系是A> B< C= D与的大小关系不能确定3.函数是定义在上的偶函数，且，当时，那使成立的x的集合为AB C D4.函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，那么f(2 010)_.5.假设满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, + A. B.3 C. D.46.设指数函数与对数函数的图象分别为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OMO为坐标原点交曲线C1于另一点N假设曲线C2上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点

5、P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，那么点P的坐标是A.4， B. C. D.7.1，那么函数图像关于 对称；2，那么函数图像关于 对称；3假设，那么函数图像关于 对称8.1函数是奇函数，那么函数图像关于 对称；2函数是奇函数，那么函数图像关于 对称 9.定义在上的函数满足，且当时，那么_10.假设，那么的周期性是： 11.1定义域是的奇函数又是周期为周期函数，那么 ， 2是定义在上的奇函数，且满足，那么_；3假设和都是定义域是的奇函数，那么 12.定义域是的奇函数图像关于直线对称，当时，那么当时，函数零点个数是 13.是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，假设，那么 14.1是定义域为的偶函数，且

6、，当时，那么 2设定义在上的函数满足，假设，那么 15.是以2为周期的偶函数，当时，那么在区间 内，关于的方程有5个不同的根，那么实数的取值范围是 16.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当2，0时，假设在区间2，6内关于x的方程恰有三个不同的实数根，那么的取值范围为A.1，2 B.2，C.1，D.，217.函数和的零点分别是，求证答案4.函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，那么f(2 010)_.解析：f(1)，令y1得f(x)f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x)，由得f(x2)f(x1)，即f(x3)f(x)，那么f(x6)f(x)该函数周期为6.f(2 010)f(6×3350)f(0)令x1，y0得4f(1)f(0)f(1)f(1)，f(0).f(2 010).答案：5.假设满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +A. B.3 C