相似变换及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 本科毕业论文题 目： 相似变换及其应用院 （部）： 理学院专 业： 信息与计算科学班 级： 信计 091姓 名： 李博学 号： 指导教师： 李宗成完成日期： 2013 年 6 月 10 日精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过得科研成果。对本文的研究作出重要贡献的导师及同学，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。 签名： 日 期：关于论文使用授权的说明本人完全了解山东建筑大学有关保留、使

2、用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影音、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名： 导师签名： 日 期： 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业目 录3.8 在微分方程中的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24谢谢 辞辞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3、7参考文献参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业摘摘 要要相似变换是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学中很多分支问题的研究工具。本文通过学习和研究高等代数、高等数学等内容,并充分理解相关基本概念与基本方法,主要解决了两个方面的问题。第一个是相似变换的定义与性质，第二个是相似变换的应用方面。本文在论文的论证过程中，主要运用了矩阵，函数的概念, 在参考大量文献基础上，通过自己的研究与总

4、结，列举具体的实例展示了相似变换在各个方面的应用。关键词关键词：相似变换；矩阵；特征值; 对角化精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业Similarity Transformation and Its ApplicationsAbstract Similarity transformation is an important element in the advanced algebra, and it is a research tool in many branches of higher mathematics. The article has solved three aspect

5、s of questions through learning and researching the contents of higher mathematics, advanced algebra , and understanding the basic concepts and basic methods. The first is in terms of the definition and nature of similarity transformation; the second is in terms of the applications of similarity tra

6、nsformation. In this paper, we mainly use the concepts of the function and in process of argumentation. The paper shows applications of similarity transformation in all kinds of aspects in specific examples through my own research and thought on the basis of consulting a number of Literature. Keywor

7、ds: Similarity transformation; matrix; eigen value; diagonalization 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 1 前前 言言 1.1 选题的背景选题的背景矩阵相似变换是线性代数里面的一项重要内容，也是解决线性代数问题的一个重要工具，它在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用，如求矩阵特征值、特征向量、求矩阵对角型、求矩阵若当标准型等。相似变换的应用几乎贯穿线性代数内容的始终，几个主要概念和计算几乎都涉及到。它正如一只看不见的手，将线性代数各个部分看似零散的知识点统一起来，形成一个整体。同时，作为矩阵运算的一种方法，其在高

8、等代数中有着极为重要的地位，也是高等代数的教学重点和难点。虽然相似变换的内容比较简单,但它贯穿于整个高等代数理论的始终,应用相似变换证明命题,过程容易被接受。所以,许多学者们也在不断地挖掘相似变换的潜力,尽量用它来描述、证明、计算各种问题，使相似变换能在数学领域及其它科学领域中发挥更大的作用。但是目前国内关于矩阵初等变换的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程组等的应用，而国外很多矩阵、线性代数方面的研究基于矩阵的相似变换，作为研究的工具，却缺少矩阵相似变换的专论。因此，一方面矩阵的初等变换处境尴尬，作为必不可少的工具却不被重视，另一方面即使被重视，关于它的理论知识、研究成果凌散、不系统。本文

9、旨在综合前人在矩阵相似变换方面的诸多研究，对矩阵相似变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使矩阵相似变换的理论更全面、细致，同时在借鉴前人的基础上，提出自己的新见解，希望能对矩阵理论的教学提供参考作用。1.2 本文要解决的问题和所用的方法本文要解决的问题和所用的方法本文主要解决了三个问题：(1) 相似变换的基本概念及性质；(2) 相似变换在矩阵运算中的应用；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(3) 相似变换在其他数学问题中的应用。本文解决的问题主要用的是推理证明和计算，并对它的应用加以举例用实际的数学数据来证明问题。加深对相似变换的了解。1.3 成果及其意义成果及其意义(1) 通过对第一

10、个问题的研究，我们可以了解相似变换的基本概念和运算性质，从而可以全面的了解矩阵的相似变换；(2) 通过对第二个问题的研究，我们可以得到相似变换在矩阵变换与运算中的应用；(3) 通过对第三个问题的研究，我们可以认识到相似变换在解决其他数学问题方面也有着重要的意义；2 相似变换相似变换及其性质及其性质2.1 相似变换的基本概念相似变换的基本概念定义定义 2.12.1 设 A、B 为数域 F 上两个 n 阶方阵,如果存在 F 上的 n 阶可逆矩阵P,使, （1）APPB1则称 B 是 A 的相似矩阵,或称矩阵 A 与 B 相似. 反之，两个矩阵 A 与 B 相似，则存在可逆矩阵 P，使。运算称作对

11、A 进行相似变换.可逆矩阵APPB1APP1P 称作把 A 变为 B 的相似变换矩阵。关于矩阵的初等变换，有以下几个引理。引理引理 1.11.1对一个矩阵作初等行变换，就相当于在左边乘上相应的初等矩阵；对作初等列变换，就相当于在右边乘上相应的初等矩阵。引理引理 1.21.2级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。因此，若、两个阶方阵相似，则存在阶可逆方阵使 B=P AP，也1意味着存在一些初等矩阵 P ，P ，使 P=P P 。初等矩阵都是可逆矩阵，且1i1i精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业它们的逆矩阵还是初等矩阵，于是有：B=（P ，P ）A（P P ）=PPA

12、P P . （2）1i11i111i1i其中，P（i，j）= P（i，j），P（i（k）= P（i（k），111k0，P（i，j（k）=P（i，j（-k）。1上式中的 P与 P 是成对出现，可记作 P=Q，同理也可表示 B。11111于是，由 A 到 B 所做的相似变换运算 P AP 相当于对 A 做一系列初等行变1换与列变换，不妨称每做一对初等行变换与列变换为一次相似初等变换。定义定义 2.22.2 以下三种变换统称矩阵的相似变换;将 n 阶矩阵 A 的第 i 行与第 j 行交换, 接着将其第 i 列与第 j 列交换, 1称矩阵的第一种相似变换; 将矩阵 A 的第 i 行乘以 k(k0),

13、接着将其第 i 列乘以,称作矩阵的 2k1第二种相似变换;； 将矩阵的第 j 行乘以 k 加到第 i 行, 接着将其第 i 列乘以-k 加到第 j 3列，称作矩阵的第三种相似变换。定理定理 2.12.1 任意 n 阶方阵 A 经相似变换后得到的新矩阵与 A 相似。由（1）式表明，只要对 A 施行一系列相似变换，矩阵 A 就可化为 B，并将（1）改写为 （3）iPPEPP21把（2）与（3）比较得：当对 A 施行有限次相似变换化为 B 时，对 E 只需做其中相应的初等变换，则就可化为。EP定理定理 2.22.2 设 A 为 n 阶方阵，做相似变换，则。PBEAEA作相应的列变换对做相似变换对_A

14、PPB1例例 2.12.1 设 A=，求，使。4312PAAPP1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解：解：.300141321001341121001431222331PABAcr验证得。AAPP12.2 相似变换的性质及相关推论相似变换的性质及相关推论 性质性质 2.12.1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的秩。性质性质 2.22.2 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。性质性质 2.32.3 若 A 与 B 相似，则与相似。 （为正整数）kAkBk性质性质 2.42.4 若 A 与 B 相似，则与相似。 （m 为正整数）

15、mAmB性质性质 2.52.5 若 A 与 B 相似，而是一个多项式，则与相似。)(xf)(Af)(Bf性质性质 2.62.6 ).)()(2111211PAPPAPPAAP性质性质 2.72.7 （为任意常数）PAPkPAPkPAkAkP21211122111)(21,kk注：注：（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵相似的 n 阶方阵只有数量阵本身。kEkE （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。推论推论 2.12.1 若矩阵与对角阵相似，则nnAn21 是 A 的 n 个特征值。 n,21 推论推论 2.22.2 每一次相似变换都把一个 n 阶矩阵 A 变换

16、为与其相似的另一个同阶矩阵 B。推论推论 2.32.3 用 n 阶矩阵 A 和 n 阶单位矩阵 I 以及 n 阶零矩阵 O 构造mn2n2n 阶分块矩阵，对其中的 A 施加相似变换，使之变换为 B，则 B 相似于精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业A。与此同时左下角的 n 阶单位矩阵 I 则变换成为相似变换矩阵 P，而右上角m的 n 阶单位矩阵 P 。1例例 2.22.2 设 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特征值，设 n 阶方阵 B 与 A 有相同的特征值。证明：A 与 B 相似。证：证：设 A 的 n 个互异的特征值，则存在可逆矩阵，n,211P使得 nAPP21111又也是 B的特

17、征值，所以存在可逆矩阵，n,212P使得 nAPP2121221211APPAPPBPAPPP121122即BPPAPP)()(121121即存在可逆矩阵，使得PPP121BAPP1即 A 与 B 相似。例例 2.32.3 判断下列两矩阵 A，B 是否相似。, , . .111111111A00100100nB解：解：因，A 的特征值为。1)()det(nnEA0,21nn又 A 是实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得1P，)0 , 0 ,(111ndiagAPP精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业还可求得,)()det(1nnEB即 B 与 A 有相同的特征值。对应特征值，有 n-1 个线性

18、无关的特征向量，故存在可逆矩阵，使得0,2n2P，212BPP从而 ，212111BPPAPP即 ,121112BPAPPP故 A 与 B 相似。3 相似变换的应用相似变换的应用3.1 在求矩阵特征值与特征向量中的应用在求矩阵特征值与特征向量中的应用求矩阵的特征值与特征向量是线性代数中最常见的问题，以往我们是通过带入公式求得特征值，在这里我们可以运用相似变换进行解决。0 IA定义定义 3.13.1 设 A 是一个 n 阶方阵，若存在着一个数和个非零 n 维向量 x，使得xAx则称是方阵 A 的特征值，非零向量 x 成为 A 对应于特征值的特征向量，或简称为 A 的特征向量。下面将具体论述矩阵特

19、征值的求法。 根据推论 2.1，若方阵 A 与 C 相似，则他们有相同的特征值，又由于上（下）三角矩阵的特征值即其主对角线上的元素。 因此，求 n 阶方阵 A 的特征值，可先通过相似变换将 A 变换为一个上（下）三角矩阵，则该三角矩阵的主队角元素即为 A 的全部特征值。例例 3.13.1 设 3 阶方阵 A=，下面用相似初等变换求其特征值。411301621精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业0001000000100000011004110103010016213231)1()2(rrrr0001000001100002011001111100102_01001 这里取下三角矩阵 C=

20、，这是由 A 到 C 的变换矩阵及其逆矩111010001阵 P=，P=，满足 PAP=C=,即 A 与 C 相似，10011020111001102011111010001由引理 3 知它们的特征值是相等的，再由=0 知 C 的特征值CI =1，于是我不经求解特征方程，而是通过做相似初等变换找出 A 的全123部特征值=1。123例例 3.23.2 设，求矩阵 A 的特征值。0167121700140013A解：解：将 A 作相似变换： 0167121700140013A)21()21(122101671217001400211ccrr 112570150001400010125711500

21、01400010167121700140001)1(3443ccrr所以 A 的特征值为 1（四重） 下面将具体论述特征向量的求法n 阶方阵 A 的若当标准型矩阵 J 是上（或下）三角矩阵，于是 J 的主对角精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业线上的 n 个元素即 A 的全部 n 个特征值，在注意到吧 A 变换成 J 的相似变换矩阵 P 是可逆的，即 P 的列向量组是一线性无关组。据此，我们再以 3 阶方阵 A为例，不经过求线性无关组找出 A 的线性无关特征向量。由例 3.1 中计算结果，对于 3 阶方阵 A=，存在 3 阶可逆矩阵411301621P=，使得 。100111201JAP

22、P1110010001 令P=（P ，P ，P ），则有A（P ，P ，P ）=（P ，P ，P ），123123123111010001由此立即可得 A P =1 P ，A P =1 P ，这正说明P =，P =是A的属于113310113112特征值 =1的两个线性无关的特征向量，它们也是 A的全部线性无关的特征向量。3.2 在矩阵对角化中的应用在矩阵对角化中的应用 将矩阵对角化是矩阵运算中一个很重要的步骤，是解决许多代数问题的基础，利用相似变换对角化矩阵能够大大简化计算。 定义定义3.23.2 对n阶方阵A，若，使为对角阵，则称方阵A对角0PAPP1化。 定理定理3.1:3.1: 若n阶

23、矩阵A可对角化, 则A必可以经相似变换化为对角形。证明：证明：A可对角化, 所以必然存在n 阶可逆矩阵T , 使TAT=1而T=E Ex211t其中E 为初等矩阵，则T=EEEi11t11t11精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 PPPAP PP =(*)1t11t1111ttx21(*)表明对A作一系列相似变换可将A化为对角形。由以上定理证明过程知, 运用相似变换将A化为对角形, 其列初等变换对应的初等矩阵之积为P ，P P =T。所以在对角化的过程中可同时求出T。12t 例例3.33.3 设A=，找一可逆矩阵T，使TAT为对角型。7000210111 解解: : 3IA000012

24、510017000253001253)251()251(2112TTT=T= TAT= 1000125100117253253 例例3.43.4 设，求一个可逆矩阵T，使TAT为对角型。4101141001411014A1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 解解: : 1221133124424_10000100101001014101041000420024_10000100101000014101041002420014_ccrrccrrccrrIA1021410121411021410121414000040000600002_10000100101000114011041000

25、620002于是，102141012141102141012141T使得40000400006000021ATT定理定理3.23.2 若与对角矩阵相似（即A能对角化） ，则A有n个线性无关的特征nA向量。证明证明：由A能对角化APPP1, 0 使精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 ,PAP把P用其列向量表示为即12(,).nPp pp ),(),(212121xnnppppppA=).,(2211nnppp),(),(2, 121nnApApAppppA ),(2211nnppp于是有 iiiApp(1,2, ).in可见是A的特征值，而P的列向量就是A的对应于特征值的特征向量。iip

26、i又由于P可逆，所以线性无关nppp,213.3 在分块矩阵中的应用在分块矩阵中的应用 针对一些比较特殊的矩阵，将其分块成若干子块，通过运用相似变换的思想，可以迅速接近问题本质，简化计算。 定义定义 3.33.3 设为矩阵，将成分块矩阵，且的行分法与列分法一致，下列三种初等变换，称为分块矩阵的相似变换。（）把 A 的第 i，J 两行(列)互换，接着把所得新矩阵的第 i，j 两列(行)互换；()把 A 的第 i 行(列)左(右)乘可逆矩阵 C，接着把所得新矩阵的第 i 列(行)右(左)乘 C1；(3)把 A 的第 j 行(列)左(右)乘矩阵 P 倍加到第 i 行(列)，接着把所得新矩阵的第 i

27、列(行)右(左)乘矩阵一 P 倍加到第 j 列(行)； 定理定理 3.33.3 设 A 为 nn 矩阵，将 A 分成分块矩阵，且 A 的行分法与列分法一致，经有限次分块矩阵的相似变换得到 B，那么 A 与 B 相似。 证明：证明：先证对A做一次分块矩阵的相似变换的情形。在这里仅对第三种情形精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业进行证明，类似的可证第一、第二种情形。把A的第J行左乘矩阵P倍加到第i行，接着把所得新矩阵的第i列右乘矩阵一P倍加到第J列得到B，由性质1和性质3得B=I(J(P)，i)A I(j(一P)，i)=I。(J(一)，i)A I(j(一P)，i)，即A与B相似。用数学归纳法

28、，定理 1 得证。 例例3.53.5 求s=的特征值。3131131331311313解：解：设s=其中A=，对s进行分块矩阵的相似变换。AAAA3313AAAA000A由定理，与相似，因此有相同的特征值，而的特征值很000A000A容易求得=，所以S的特征值为=0。123412343.4 在求矩阵若尔当标准型中的应用在求矩阵若尔当标准型中的应用在通常的教科书中，要先求矩阵的初等因子或者特征值才能求它的可逆矩阵与若当矩阵，而通过相似变换可以直接求得可逆矩阵与若当矩阵。定义定义 3.43.4 形如的矩阵称为若当块，其中100000001000),(tJ是复数。中的 t 表示若当块的阶数。),(t

29、J由若干个若当块组成的准对角矩阵就是若当形矩阵，其一般形式是：，其中SAAA21., 1),(sitJAiii精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业即可以相等。sttiiiiiiiiitJA,111),(21 定理定理 3.53.5 任一 n 阶矩阵 A 都可经一系列初等相似变换得到若当形矩阵 J 证明：证明：设存在一可逆矩阵 T，使 J=TAT1因为可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积：T= P ，P P（P ，i=1,2，m）12mi所以，J= TAT=（P ，P ）A（P ，P ）=（P（PA 11m11mm111P ）P ）1m即 A 经 m 次初等相似变换得到 J。所以，A 可可

30、经一系列初等相似变换得到若当形矩阵 J。 在高等代数中说明了矩阵A右乘以一个初等矩阵相当于A做一次初等列变换；A左乘以一个初等矩阵相当于A做一次初等行变换。因此，以上证明说明矩阵A可经一系列行和列的初等变换得到若当矩阵J只不过每一次要同时做行和列且行与列变换是互逆的。 例例3.63.6：求矩阵A=的若当标准形及过渡矩阵。502613803解：解：= =IA1021014300150001080121_21100014300150201080343_4310001000150261380331132112ccrrccrr精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1221_ccrr81210043

31、100010011000181_81210043100010081000133rr于是 J=, P=100110001812100431010 第一步中的k=-是由方程(-1)(-k)+3k+3=0得出，为了消去第二行第一列43中的3，第二步的k=是由方程(-k)(-5+8k)-2+3k=0得出，为了消去第三行第一21列的-2，第三步中第一行第三列的8不能通过第三类互逆初等变换化为0，因为(-k)(-1)+8+(-k)=80，因而只能通过第一类互逆初等变换把它移到第二行，第四步中第二行第三列 的8不能通过第三类互逆初等变换化为0，因为(-k)(-1)+8+(-k)=80，因而只能通过第二类互逆

32、初等变换把它化成1。 例例3.73.7 设3阶矩阵A=,求它的若当标准型及相应的相似变换411301621J矩阵。 解：解：000100000011000201100210211100201001) 1(_) 1 ()2(_)2(00040000001000000110041101030100162121121331ccrrccrr精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业000100000111000201100010311010201001) 1(_) 1() 1 (_) 1(332332crccrr由此可知，由A到的变换矩阵，J100111201P其逆矩阵=，满足1P100311201J

33、APP11100100013.5 在线性变换中的应用在线性变换中的应用利用相似变换可以求得矩阵线性变换中基矩阵。引理引理 3.13.1 若是 n 维向量空间 V 的一个线性变换， 是 V 的一n21个基，且（） ，（） ）=（）A，则1,nn,21（1） 关于的矩阵为niiakaaa),(,1B=T（-k）AT (k)=TA T (k)。jiji)(1kjiji （2） （） ，（）（k）=（）B(11i)(nnik21其中 B=D)()(1kADkii（3）关于的矩阵为 B=。nijaaaaa,21APijPij1从引理知，若已知关于一个基的矩阵为A，另一个基是这个基作成的向量矩阵经某些列初

34、等变换得到。则关于另一个基的矩阵就是对A作这些列初等变换对应的相似变换得到。这样, 我们可以通过矩阵相似变换求关于任一基的矩阵。 例例3.83.8 设V=F，是V的线性变换，且=，求关于 x3 xf xf 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的矩阵。2221 ,1 ,2 , 1xxxxxx 解：解：设=（1 ）A 32,1xxxx2x3x其中A=0000300002000010且是向量矩阵（ ）经下列的初等变换2221 ,1 ,2 , 1xxxxxx1x2x3x而得到：（1） 将第4列乘以-1；（2） 将第1 列、第2 列、第3 列分别乘以1加到第4列,（3） 第1列、第2列分别乘以1加

35、到第3列;（4） 第1列乘以2加到第2列。关于所给基的矩阵为B=。00003000520063103.6 在求函数迭代根中的应用在求函数迭代根中的应用 对于求稍微复杂一点的初等函数，直接计算迭代根将是件非常困难的事，但如果利用相似变换的方法，则变得非常简单。假设如果存在可逆函数 h（x） ，使得函数 F（x）和 G（x）满足 F（x）=hoGoh（x） ，则称 F（x）和 G（x）相似。1 定理定理 3.63.6：若 F（x）和 G（x）相似，寄存在可逆函数 h（x） ，使得 F（x）=hoGoh（x） ，则 F（x）的 n 次迭代根为 f（x）=hoGoh（x） ，其中 g（x）为11G（x

36、）的 n 次迭代根。证明：证明：g（x）为 G（x）的 n 次迭代根 g （x）=G（x）n f （x）=hog oh（x）=h oGoh=F(x)n1n1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 故 f（x）为 F（x）的 n 次迭代根。注：注：由定理 1 可知，利用相似变换可以把求一个较复杂的函数 F（x）迭代根转化为求一个较简单的函数 G（x）迭代根的问题。 例例 3.93.9 F（x）=x +2a+a ，其中 a 为实数，试寻找一个 f（x） ，使得2x2f =F（x） 。n 解：解：F（x）=（+a）x2取 h（x）=，G（x）=x+a，则 h= xx12F（x）= hog oh（

37、x）1nG（x）=x+a 的其中一个 n 次迭代根为 g（x）=x+na令 f（x）= hog oh（x）=（+）1nxna2则满足 f =F（x）n 例例 3.103.10 F（x）=，其中 k 为实数，试寻找一个 f（x） ，使得kkaxx1f =F（x） 。n 解：解：取 h（x）=x ，G（x）=，则=kaxx11hkx F（x）= hog oh（x）1nG（x）=的其中一个 n 次迭代根为 g（x）=axx1xnax1令 f（x）= hog oh（x）=，1nkkxnax1则满足 f =F（x）n 例例 3.113.11 设,试寻找一个，使得 f =F（x） 。 xxxxF323 x

38、fn解：解：取 h（x）=x+1，G（x）=，则=x-13x1h F（x）= hog oh（x）1n精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业G（x）=的其中一个 n 次迭代根为 g（x）=3x3x令 F（x）= hog oh（x）=1n1) 1(3xx则满足f =F（x）.n3.7 在矩阵代数中的应用在矩阵代数中的应用令F 表示一个域,表示由F 上所有矩阵形成的代数.其中的线性)(FMnnn映射在上每一点的取值与的某个相似变换在该点的取值相同, 随)(FMn)(FMn着上的点不同, 这些相似变换可能也不同. 从一个矩阵代数A 到其自身)(FMn的一个线性映射称为局部相似变换, 如果对每一个都

39、存在一个与相关A的相似变换使得=. 对于所研究的代数考虑其上这样的映射是否 一定是相似变换，是非常有意义的. 如果矩阵代数上的每一个局部相似变换是相似变换, 则在某种程度上可以说这个代数上的相似变换完全是由它们的局部作用来决定的. 因此可知存在真正意义上的局部相似变换, 从而丰富了局部映射理论的研究.用H表示由上所有相似变换形成的集合,L表示由上所有局部)(FMn)(FMn相似变换形成的集合，有下面引理.引理引理3.23.2 令表示由F 上所有矩阵形成的代数, 则当时, 映)(FMnnn2n射是局部相似变换, 但不是整体相似变换tnAAFMF),()(M :n引理引理3.33.3 H按映射的乘

40、法形成群, 并且同构的一个商群.)(FGLn引理引理3.43.4 L按映射的乘法形成群, 并且包含H作为它的子群.引理引理3.53.5 域上的每一个幂等矩阵都是可对角化的.引理引理3.63.6 设是的一个局部相似变换, 则)(FMn(1) 当且仅当; AA2AA 2(2) = 0 当且仅当0; 2A2A(3) =当且仅当A=I; AI精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(4) =I当且仅当I; 2A2A(5) rank=rank(A). A特别地, 是奇异的当且仅当A是奇异的. A此引理的证明比较简单, 在此省略.定理定理3.73.7 设是的一个线性映射, 则是Mn(F) 的一个局部相似

41、变)(FMn换当且仅当具有如下形式或, 这里P 是APPA1:PAPAt1:的某一固定元.)(FGLn证明证明 由引理7.5的(5) 可知是保秩变换, 从而根据定理7.1可知具有如下形式 或;QAPA :PQAAt:再根据引理7.5的(3)可得. 即具有如下形式1 PQ 或APPA1:PQAAt:定理的另一方向根据引理7.1显然是成立的.推论推论3.13.1 (1) H是L的正规7子群, 且H在L中的指数是2.(2) 若是的一个局部相似变换, 则是的一个相)(FMn2)(FMn似变换.3.8 在微分方程中的应用在微分方程中的应用 在微分方程的计算中，利用相似变换可以简化齐次微分方程组，对于计算有很大帮助。对于一阶齐次线性微分方程组 )()()()()()(221112121111txatxatx