中国民航大学大学物理学第05章刚体力学基础

1、2021/4/212021/4/225-1 5-1 刚体的运动刚体的运动5-2 5-2 定轴转动定律定轴转动定律 5-3 5-3 定轴转动的功和能定轴转动的功和能 5-5 5-5 进动进动5-4 5-4 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律2021/4/232021/4/241.1.刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质刚

2、体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。元组成的质点系。2021/4/252.1 2.1 平动：平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。过程中始终保持方向不变。 特点：特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。速度。2.2.刚体的运动刚体的运动2021/4/262.2 2.2 转动：转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为若转轴固定不变，则称为定轴转动。定轴转动。特点：特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和

3、刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。角加速度。zO2021/4/273.3.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 3.1 3.1 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 角位置：角位置： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。的方向并满足右手螺旋定则。2021/4/28角量的单位为角量的单位为rad,rad/s,rad/s2。质点作匀变速曲线运动时，其角量的变化规律与匀变质点作匀变速曲线

4、运动时，其角量的变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：速直线运动中线量的规律相似，表示如下：22020t20012tt2021/4/293.2 3.2 角量和线量的关系角量和线量的关系rv 2tnararxOP rv质元转过的圆弧长：质元转过的圆弧长：rsrv2021/4/2102021/4/2111.1.力对转轴的力矩力对转轴的力矩 力对转轴上参考点力对转轴上参考点O O的力矩矢量的力矩矢量: : FrMFrMzzrOPdFzr大小：大小：sinFrMz方向：方向：，即沿转动轴方向方向沿Fr2021/4/212 力对转轴的力矩矢量力对转轴的力矩矢量zFO rrOPdF/Fzr一

5、般情况一般情况FFF/平行转轴平行转轴 垂直转轴垂直转轴 能改变刚体的转动状态只有FFrMz2021/4/213FrMz结论：结论：zdPOrFFzFO rzr 力对转轴的力对转轴的力矩力矩等于在等于在转动平面转动平面内的外力内的外力 F 的大的大小和小和 F 与轴之间的垂直距离与轴之间的垂直距离 d 的乘积。的乘积。2021/4/2142 2刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量2.1 2.1 质点对转轴的角动量：质点对转轴的角动量： 质点对转轴上参考点质点对转轴上参考点O O的角动量矢量的角动量矢量: : zmOrpprLprLz大小：大小：rprpLzsin方向：方向：，即沿转动轴方向方向

6、沿pr2021/4/215zdmOrpP/pO rzr对转轴的角动量对转轴的角动量一般情况一般情况ppp/平行转轴平行转轴 垂直转轴垂直转轴 对轴向角动量有贡献只有pprLz2021/4/216zLrp结论：结论：zdmOrpP/pO rzr对转轴的对转轴的角动量角动量等于在等于在转动平面转动平面内的动量内的动量p 的大小的大小和和 p与轴之间的垂直距离与轴之间的垂直距离 d 的乘积。的乘积。2021/4/2172.2 2.2 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 zOriimiv 组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和: :2izii ii iLmv rmr

7、 ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2刚体对转轴的转动惯量：刚体对转轴的转动惯量： 刚体对转轴的角动量：刚体对转轴的角动量： zzLJ2021/4/2183 3刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，则，则zzJM简写为：简写为：JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 2021/4/219连续体：连续体：dmrJ24.2 4.2 转动惯量的计算转动惯量的计算4 4转动惯量转动惯量4.1 4.1 转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：刚体定轴转动惯性大小刚体定轴转动惯性大小 的量度。的量度。 2iirmJ分立体：分立体：

8、计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1):(1)总质量总质量 (2)(2)质量分质量分布布 (3)(3)转轴的位置转轴的位置2021/4/220(1) I (1) I 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM2020231MLdxLMxdxxILL 木木铁铁II4 4转动惯量转动惯量2021/4/221(2) (2) I I 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmRRO

9、mrdrdlRdmRIRL 202022203222mRRmRdlRR rdrds 2dsdm rRmrrRmd2d222 2302022d2dRmrrRmmrIRm2021/4/222OLxdxMzLOxdxMz(3) (3) I I 与转轴的位置有关与转轴的位置有关20231dMLxxIL 2222121dMLxxILL 2021/4/2234.3 4.3 平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理：平行轴定理：2zCJJmdiririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd2021/4/22

10、4垂直轴定理垂直轴定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJ2021/4/225解：（解：（1 1）对对称轴）对对称轴dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例 求质量均匀分布的半圆形薄板对（求质量均匀分布的半圆形薄板对（1 1）它的对称）它的对称轴；（轴；（2 2）它的直边；（）它的直边；（3 3）通过质心平行于直边的轴的转）通过质心平行于直边的轴的转动惯量。设圆弧直径为动惯量。设圆弧直径为 ，质量为，质量为 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圆上取半圆上

11、窄条窄条为为 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy2021/4/226（2 2）对直边）对直边mCR)3()2() 1 (OxyDJ设设 为整圆对直径的转动惯量。为整圆对直径的转动惯量。DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 21241mRJJ（3 3）对通过）对通过C且平行于直边（且平行于直边（2 2）232mdJJ应用平行轴定理：应用平行轴定理： ，先求质心位置：，先求质心位置：222223070. 091641mRmRmdJJ34322130RmRxdyymydRC22yRx2021/4/227 5. 5.转动定律的应用转动定律的应用 解题

12、要点解题要点:2021/4/228 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2a2021/4/229O2021/4/230COmg2021/4/231FOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速端，试计算飞轮的角加速解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 两者区别两者区别mgT例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，

13、飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计， (见图见图)2mrJmgr22rad/s 8212010502098.2021/4/232圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动, ,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R2021/4/233例例 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量231mlJ ，现有一水平力作用于距轴为，现有一

14、水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 NyxNN ,JFl 由质心运由质心运动定理动定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy) 123(2llFFJFlmlNxmgNyl l320 xN打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用xNyNOCmg lF质点系质点系由转动定律由转动定律2021/4/2342021/4/2351.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功dOzP0PFrdl0AMdMddFrrdFdlFl dFdAsinsi

15、ncos2021/4/2362.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 2021/4/2372 2刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能 222221)(21)21(JrmvmEiiiiiik221JEk2.1 2.1 刚体的转动动能刚体的转动动能 O zrimivi2021/4/2382.2 2.2 刚体的重力势能刚体的重力势能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi2021/4/2393.3.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA刚体定轴转动时合外力矩

16、对刚体所作的功等于刚体刚体定轴转动时合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 2021/4/240O2021/4/241解：解：2021/4/242MmkR2021/4/2432021/4/2442021/4/2451.1.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL简写为简写为刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理0M 000LLJJ刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律2021/4/246 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例2021/4/247例例

17、如图，长为如图，长为l，质量为，质量为M的均匀细棒可饶过的均匀细棒可饶过O点的点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为转轴在竖直面内自由转动。一质量为m的质点以的质点以初速初速v0沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求上摆。求（1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度 ；（2）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度 。Olmv02021/4/2482021/4/249例例: 半径半径R、质量、质量M 的水平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖直的水

18、平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖直轴自由转动，其边缘有一质量轴自由转动，其边缘有一质量m 的人，二者最初相对地面静的人，二者最初相对地面静止止求求: 当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？解：解：（人（人+盘）关于转轴盘）关于转轴O 的外力矩为零，的外力矩为零， （人（人+盘）角动量守恒盘）角动量守恒xO 以逆时针为正方向，在地面参照系以逆时针为正方向，在地面参照系02122 MRmR021 Mm021 Mm且且 2 222Mmm 2021/4/2502021/4/251进动进动: 高速自旋的物体的自转轴在空间旋进的运动高速自旋的物体的自转轴在空间旋进的运动高速自转的陀螺在高速自转的陀螺在陀螺重力对支点陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的角动量近似为陀螺的角动量近似为JL 角动量定理角动量定理tLMddtMLddM/Ld当当LM时时则则只改变方向，只改变方向，不改变大小不改变大小(进动进动)LOLgmMLd2021/4/252 进动角速度进动角速度所以所以1sins