直线与圆的位置关系

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【知识清单知识清单】 ： 1直线与圆的位置关系(半径 r，圆心到直线的距离为 d) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 0 0 几何观点 dr dr dr 2圆与圆的位置关系(两圆半径 r1，r2，d|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 dr1r2 dr1r2 |r1r2|dr1r2 d|r1r2| d|r1r2| 题组一题组一： 1(教材习题改编教材习题改编)直线直线 yax1 与圆与圆 x2y22x30 的位置关系是的位置关系是( ) A相切相

2、切 B相交相交 C相离相离 D随随 a 的变化而变化的变化而变化 解析：解析：选选 B 直线直线 yax1 恒过定点恒过定点(0,1)，又点，又点(0,1)在圆在圆(x1)2y24 的内部，故直线与圆相交的内部，故直线与圆相交 2(教材习题改编教材习题改编)已知过点已知过点 M(3，3)的直线的直线 l 被圆被圆 x2y24y210 所截得的弦长为所截得的弦长为 4 5，则直线，则直线 l的方程为的方程为_ 答案：答案：x2y90 或或 2xy30 3已知圆已知圆 C：x2y26x80，则圆心，则圆心 C 的坐标为的坐标为_；若直线；若直线 ykx 与圆与圆 C 相切，且切点在第四相切，且切点

3、在第四象限，则象限，则 k_. 解析：解析：圆的方程可化为圆的方程可化为(x3)2y21，故圆心坐标为，故圆心坐标为(3,0)；由；由|3k|1k21，解得，解得 k24，根据切点在第四，根据切点在第四象限，可得象限，可得 k24. 答案：答案：(3,0) 24 注意：注意：1对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率 k 不存在的情形 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 题组二题组二： 1过点过点(2,3)与圆与圆(x1)2y21 相切的直线的方程为相切的直线的方程为_ 解析：解析：设圆的切线方程为设圆的切线方程为 yk

4、(x2)3， 由圆心由圆心(1,0)到切线的距离为半径到切线的距离为半径 1， 得得 k43， 所以切线方程为所以切线方程为 4x3y10， 又直线又直线 x2 也是圆的切线，也是圆的切线， 所以直线方程为所以直线方程为 4x3y10 或或 x2. 答案：答案：x2 或或 4x3y10 2若圆若圆 x2y21 与圆与圆(x4)2(ya)225 相切，则常数相切，则常数 a_. 答案：答案： 2 5或或 0 【考点突破考点突破】 ： 考点一考点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 基础送分型考点基础送分型考点自主练透自主练透 1(2016 湖北七市联考湖北七市联考)将直线将直线 xy10 绕

5、点绕点(1,0)沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转 15得到直线得到直线 l，则直线，则直线 l 与圆与圆(x3)2y24 的位置关系是的位置关系是( ) A相交相交 B相切相切 C相离相离 D相交或相切相交或相切 解析：解析：选选 B 依题意得，直线依题意得，直线 l 的方程是的方程是 ytan 150(x1)33(x1)，即，即 x 3y10，圆心，圆心(3,0)到直线到直线 l 的距离的距离 d|31|312，因此该直线与圆相切，因此该直线与圆相切 2(易错题易错题)(2016 西安一模西安一模)直线直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆与圆 x2y22x2y70 的位置关系是的位置关

6、系是( ) A相切相切 B相交相交 C相离相离 D不确定不确定 解析：解析：选选 B 法一：法一：x2y22x2y70 化为圆的标准方程为化为圆的标准方程为(x1)2(y1)29，故圆心坐标为，故圆心坐标为(1，1)，半径，半径 r3，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离 d| a1 a1 2a| a1 2 a1 2|2a2|2a22.再根据再根据 r2d294a28a42a227a24a7a21，而，而 7a24a70 的判别式的判别式 161961800，故有，故有 r2d2，即，即 dr，故直线与圆相交，故直线与圆相交 法二：法二：由由(a1)x(a1)y2a0(aR)整理得整理得 xya

7、(xy2)0，则由，则由 xy0，xy20，解得解得 x1，y精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 1，即直线，即直线(a1)x(a1)y2a0(aR)过定点过定点(1，1)，又，又(1)2(1)22(1)2(1)750，则点，则点(1，1)在圆在圆 x2y22x2y70 的内部，故直线的内部，故直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆与圆 x2y22x2y70 相交相交 3(2015 大连双基测试大连双基测试)圆圆 x2y21 与直线与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是没有公共点的充要条件是_ 解析：法一：解析：法一：将直线方程代入圆方程，将直线方程代入圆方程，得得(k21)x

8、24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是，直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0，解得，解得 k( 3， 3) 法二：法二：圆心圆心(0,0)到直线到直线 ykx2 的距离的距离 d2k21，直线与圆没有公共点的充要条件是，直线与圆没有公共点的充要条件是 d1， 即即2k21 1， 解得解得 k( 3， 3) 答案：答案：k( 3， 3) 谨记通法谨记通法：判断直线与圆的位置关系的 2 大策略 (1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法 考点二考点二 切线、弦长问题切

9、线、弦长问题 重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 1(2015 广东高考广东高考)平行于直线平行于直线 2xy10 且与圆且与圆 x2y25 相切的直线的方程是相切的直线的方程是( ) A2xy50 或或 2xy50 B2xy 50 或或 2xy 50 C2xy50 或或 2xy50 D2xy 50 或或 2xy 50 解析：解析：选选 A 所求直线与直线所求直线与直线 2xy10 平行，平行，设所求的直线方程为设所求的直线方程为 2xym0.所求直线与圆所求直线与圆x2y25 相切，相切，|m|14 5，m 5.即所求的直线方程为即所求的直线方程为 2xy50 或或 2xy50.

10、2(2015 宜昌二模宜昌二模)若圆若圆 x2y2a2与圆与圆 x2y2ay60 的公共弦长为的公共弦长为 2 3，则，则 a 的值为的值为( ) A2 B 2 C1 D 1 解析：解析：选选 B 设圆设圆 x2y2a2的圆心为的圆心为 O，半径，半径 r|a|，将，将 x2y2a2与与 x2y2ay60 联立，可得联立，可得 a2ay60，即公共弦所在的直线方程为，即公共弦所在的直线方程为 a2ay60，原点，原点 O 到直线到直线 a2ay60 的距离为的距离为 6aa ，根据勾股，根据勾股定理可得定理可得 a23 6aa2，解得，解得 a 2. 由题悟法由题悟法 精选优质文档-倾情为你奉

11、上 专心-专注-专业 1圆的切线方程的圆的切线方程的 2 种求法种求法 (1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0 进而求得k. (2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k. 提醒提醒 若点若点 M(x0，y0)在圆在圆 x2y2r2上，则过上，则过 M 点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为 x0 xy0yr2. 2弦长的弦长的 2 种求法种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0 的前提下，利用根与系数的关

12、系，根据弦长公式求弦长 (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2r2d2. 提醒提醒:代数法计算量较大，我们一般选用几何法代数法计算量较大，我们一般选用几何法 即时应用即时应用: 1(2016 重庆调研重庆调研)过点过点(2,3)的直线的直线 l 与圆与圆 x2y22x4y0 相交于相交于 A，B 两点，则两点，则|AB|取得最小值时取得最小值时 l的方程为的方程为( ) Axy50 Bxy10 Cxy50 D2xy10 解析：解析：选选 A 由题意得圆的标准方程为由题意得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心，则圆心 C(1,2)过圆心与点过圆心与点(2,3)的直线的直

13、线 l1的斜率为的斜率为 k322 1 1.当直线当直线 l 与与 l1垂直时，垂直时，|AB|取得最小值，故直线取得最小值，故直线 l 的斜率为的斜率为 1，所以直线，所以直线 l 的方程的方程为为 y3x(2)，即，即 xy50. 2一条光线从点一条光线从点(2，3)射出，经射出，经 y 轴反射后与圆轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率相切，则反射光线所在直线的斜率为为( ) A53或或35 B32或或23 C54或或45 D43或或34 解析：解析：选选 D 点点 A(2，3)关于关于 y 轴的对称点为轴的对称点为 A(2，3)，故可设反射光线所在直线的方程

14、为，故可设反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即，即 kxy2k30.反射光线与圆反射光线与圆(x3)2(y2)21 相切，相切，圆心圆心(3,2)到直线的距离到直线的距离 d|3k22k3|k211，化简得，化简得 24k250k240，解得，解得 k43或或34. 考点三考点三 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 题点多变型考点题点多变型考点纵引横联纵引横联 典型母题典型母题 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2015 合肥二模合肥二模)已知圆已知圆 C1： (xa)2(y2)24 与圆与圆 C2： (xb)2(y2)21 相外切，相外切，则则 ab 的最大值为的最大值为

15、( ) A62 B32 C94 D2 3 解析解析 由圆由圆 C1与圆与圆 C2相外切，可得相外切，可得 ab 2 22 2213， 即即(ab)29， 根据基本不等式可知根据基本不等式可知 ab ab2294， 当且仅当当且仅当 ab 时等号成立时等号成立 答案答案 C 变式变式 1 母题条件不变，试求母题条件不变，试求 a2b2的最小值的最小值 解：解：由母题可知由母题可知(ab)29， 又由基本不等式又由基本不等式a2b22 ab22，可知，可知 a2b2 ab 22， a2b292，当且仅当，当且仅当 ab 时时“”成立成立 a2b2的最小值为的最小值为92. 求解本题最小值的关键是掌

16、握基本不等式求解本题最小值的关键是掌握基本不等式 ab22a2b22. 变式变式 2 母题条件中母题条件中“外切外切”变为变为“内切内切”，则，则 ab 的最大值为的最大值为_ 解析：解析：由圆由圆 C1与圆与圆 C2内切，内切， 得得 ab 2 22 21，即，即(ab)21， 又又 ab ab2214， 当且仅当当且仅当 ab 时等号成立，故时等号成立，故 ab 的最大值为的最大值为14. 答案：答案：14 变式变式 3 母题条件母题条件“外切外切”变为变为“相交相交”，则公共弦所在的直线方程为，则公共弦所在的直线方程为_ 解析：解析：由题意得，把圆由题意得，把圆 C1，圆，圆 C2的方程

17、都化为一般方程的方程都化为一般方程 破译玄机 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 圆圆 C1：x2y22ax4ya20， 圆圆 C2：x2y22bx4yb230， 由由得得(2a2b)x3b2a20， 即所求公共弦所在直线方程为即所求公共弦所在直线方程为(2a2b)x3b2a20. 答案：答案：(2a2b)x3b2a20 变式变式 4 母题条件母题条件“外切外切”变为变为“若两圆有四条公切线若两圆有四条公切线”， 则直线， 则直线 xy10 与圆与圆(xa)2(yb)21 的的位置关系是位置关系是_ 解析：解析：由两圆存在四条切线，知两圆外离，由两圆存在四条切线，知两圆外离， 则则

18、ab 2 22 23. (ab)29.即即 ab3 或或 ab3. 又圆心又圆心(a，b)到直线到直线 xy10 的距离的距离 d|ab1|21， 直直线线 xy10 与圆与圆(xa)2(yb)21 相离相离 答案：答案：相离相离 类题通法类题通法:解决圆与圆位置关系问题的 2 大通法 (1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法 (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到 题组： 1、设O1 ：x2 y2 D1x E1y F1 0，O2 ：x2 y2 D2x E2y F2 0两圆相交于A 、B 两点，其公共弦 AB 所在直线方程为： 2、试

19、分别判断下列圆与圆的位置关系： （1）221:(3)(2)1Cxy圆，222:(7)(1)36Cxy圆 （2）221:2232y0Cxyx圆，222:33y0Cxyx 圆 3、过点)4 , 2(M向圆1) 3() 1( :22yxC引两条切线，切点分别为QP,. (1)求直线PQ的方程 ； (2)求切点弦PQ的长 本题的关键是由两圆公切线条数来确定两圆的位置关系本题的关键是由两圆公切线条数来确定两圆的位置关系 破译玄机 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【三维演练三维演练】 ： 3直线直线 l 与圆与圆 x2y22x4ya0(a3)相交于相交于 A，B 两点，若弦两点，若弦 AB

20、的中点为的中点为(2,3)，则直线，则直线 l 的方程的方程为为( ) Axy30 Bxy10 Cxy50 Dxy50 解析：解析：选选 C 设直线的斜率为设直线的斜率为 k，又弦，又弦 AB 的中点为的中点为(2,3)，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 kxy2k30，由，由 x2y22x4ya0 得圆的圆心坐标为得圆的圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为，所以圆心到直线的距离为 2，所以，所以|k22k3|k21 2，解得，解得k1，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 xy50. 4若圆若圆 x2y2mx140 与直线与直线 y1 相切，其圆心在相切，其圆心在 y 轴

21、的左侧，则轴的左侧，则 m_. 解析：解析：圆的标准方程为圆的标准方程为 xm22y2 m2122，圆心到直线，圆心到直线 y1 的距离的距离m212|0(1)|，解得，解得 m 3，因为圆心在，因为圆心在 y 轴的左侧，所以轴的左侧，所以 m 3. 答案答案： 3 5已知点已知点 P 是圆是圆 C：x2y24x6y30 上的一点，直线上的一点，直线 l：3x4y50.若点若点 P 到直线到直线 l 的距离为的距离为 2，则符合题意的点则符合题意的点 P 有有_个个 解析：解析：由题意知圆的标准方程为由题意知圆的标准方程为(x2)2(y3)242， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业

22、 圆心到直线圆心到直线 l 的距离的距离 d|6125|52354，故直线与圆相离，则满足题意的点，故直线与圆相离，则满足题意的点 P 有有 2 个个 答案：答案：2 二保高考，全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标 1(2016 温州十校联考温州十校联考)对任意的实数对任意的实数 k，直线，直线 ykx1 与圆与圆 C：x2y22x20 的位置关系是的位置关系是( ) A相离相离 B相切相切 C相交相交 D以上三个选项均有可能以上三个选项均有可能 解析：解析：选选 C 直线直线 ykx1 恒经过点恒经过点 A(0，1)，圆，圆 x2y22x20 的圆心为的圆心为 C(1,0)，半

23、径为，半径为 3，而，而|AC| 2 3，故直线，故直线 ykx1 与圆与圆 x2y22x20 相交相交 2 (2016 大连期末大连期末)圆圆 x2y22y30被直线被直线 xyk0分成两段圆弧， 且较短弧长与较长弧长之比为分成两段圆弧， 且较短弧长与较长弧长之比为 13，则，则 k( ) A 21 或或 21 B1 或或3 C1 或或 2 D 2 解析：解析：选选 B 由题意知，圆的标准方程为由题意知，圆的标准方程为 x2(y1)24.较短弧所对圆周角是较短弧所对圆周角是 90，所以圆心，所以圆心(0，1)到直到直线线 xyk0 的距离为的距离为22r 2.即即|1k|2 2，解得，解得

24、k1 或或3. 4(2016 乌鲁木齐三诊乌鲁木齐三诊)在圆在圆 x2y22x4y0 内，过点内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A6 B4 C3 D34 解析：解析：选选 B 由题意知，圆心为由题意知，圆心为(1,2)，过点，过点(0,1)的最长弦的最长弦(直径直径)斜率为斜率为1，且最长弦与最短弦垂直，且最长弦与最短弦垂直，过过点点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为的最短弦所在直线的斜率为 1，即倾斜角是，即倾斜角是4. 5(2015 重庆高考重庆高考)已知直线已知直线 l：xay10(aR)是圆是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点的对称轴

25、过点 A(4，a)作圆作圆 C 的一条切线，切点为的一条切线，切点为 B，则，则|AB|( ) A2 B4 2 C6 D2 10 解析：解析：选选 C 由于直线由于直线 xay10 是圆是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，的对称轴，圆心圆心 C(2,1)在直线在直线 xay10 上，上，2a10，a1，A(4，1) |AC|236440.又又 r2，|AB|240436. |AB|6. 7(2015 沈阳质监沈阳质监)过点过点 M(1,2)的直线的直线 l 与圆与圆 C：(x3)2(y4)225 交于交于 A，B 两点，两点，C 为圆心，当为圆心，当ACB最小时，直线最小时，直线 l 的

26、方程是的方程是_ 解析：解析：依题意得知，当依题意得知，当ACB 最小时，圆心最小时，圆心 C 到直线到直线 l 的距离达到最大，此时直线的距离达到最大，此时直线 l 与直线与直线 CM 垂直，又垂直，又精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 直线直线 CM 的斜率为的斜率为 1，因此所求的直线，因此所求的直线 l 的方程是的方程是 y2(x1)，即，即 xy30. 答案：答案：xy30 8(2016 云南名校联考云南名校联考)已知圆已知圆 O：x2y21，直线，直线 x2y50 上动点上动点 P，过点，过点 P 作圆作圆 O 的一条切线，切的一条切线，切点为点为 A，则，则|PA|的最

27、小值为的最小值为_ 解析：解析：过过 O 作作 OP 垂直于直线垂直于直线 x2y50，过，过 P 作圆作圆 O 的切线的切线 PA，连接，连接 OA，易知此时，易知此时|PA|的值最小由的值最小由点到直线的距离公式，得点到直线的距离公式，得|OP|10205|122 5.又又|OA|1，所以，所以|PA| |OP|2|OA|22. 答案：答案：2 9已知圆已知圆 C：x2y28y120，直线，直线 l：axy2a0. (1)当当 a 为何值时，直线为何值时，直线 l 与圆与圆 C 相切；相切； (2)当直线当直线 l 与圆与圆 C 相交于相交于 A，B 两点，且两点，且|AB|2 2时，求直

28、线时，求直线 l 的方程的方程 解：解：将圆将圆 C 的方程的方程 x2y28y120 配方得标准方程为配方得标准方程为 x2(y4)24，则此圆的圆心为，则此圆的圆心为(0,4)，半径为，半径为 2. (1)若直线若直线 l 与圆与圆 C 相切，则有相切，则有|42a|a212，解得，解得 a34. (2)过圆心过圆心 C 作作 CDAB，则根据题意和圆的性质，则根据题意和圆的性质， 得得 |CD|42a|a21，|CD|2|DA|2|AC|222，|DA|12|AB| 2， 解得解得 a7 或或 a1. 故所求直线方程为故所求直线方程为 7xy140 或或 xy20. 10如图，已知以点如

29、图，已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点相切过点 B(2,0)的动直线的动直线 l 与圆与圆 A 相相交于交于 M，N 两点，两点，Q 是是 MN 的中点，直线的中点，直线 l 与与 l1相交于点相交于点 P. (1)求圆求圆 A 的方程；的方程； (2)当当|MN|2 19时，求直线时，求直线 l 的方程的方程 解：解：(1)设圆设圆 A 的半径为的半径为 R. 由于圆由于圆 A 与直线与直线 l1：x2y70 相切，相切， R|147|52 5. 圆圆 A 的方程为的方程为(x1)2(y2)220. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业

30、 (2)当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时，易知轴垂直时，易知 x2 符合题意；符合题意； 当直线当直线 l 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为的方程为 yk(x2) 即即 kxy2k0. 连接连接 AQ，则，则 AQMN. |MN|2 19，|AQ|20191， 则由则由|AQ|k2|k211， 得得 k34，直线直线 l：3x4y60. 故直线故直线 l 的方程为的方程为 x2 或或 3x4y60. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1(2015 绥化三校联考绥化三校联考)已知圆已知圆 C1：x2y24ax4a240 和圆和圆 C2：x2y22byb210 只有一条公切只有一条公切线，若线，若 a，bR 且且 ab0，则，则1a21b2的最小值为的最小值为( ) A2 B4 C8 D9 解析：解析：选选 D 圆圆 C1的标准方程为的标准方程为(x2a)2y24，其圆心为，其圆心为(2a,0)，半径为，半径为 2；圆；圆 C2的标准方程为的标准方程为 x2(yb)21，其圆心为，其圆心为(0，b)，半径为，半径为 1.因为圆因为圆 C1和圆和圆 C2只有一条公切线，所以