第10章-能量法题解

1、精选优质文档-倾情为你奉上 第10章 习题解答 10-1 两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。试比较两杆的变形能。Fdl（a）（b）Fl38l38l14d2d2d 解： 10-2 已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI，试求梁的变形能及A截面的转角。M0CAB2l2lM0CABx2x1FBFC 解：1. 支反力 2. 弯矩 AB段： （0x1l/2） CB段： （0x2l/2） 3. 变形能 4. 位移 ，（ ）10-3 图示桁架各杆抗拉压刚度EA均相等，试求桁架的变形能及C点的水平位移。lCFDBllA（a）FDBAFAyFAxFB12345C（b）N1N2N3N4N5N3（c）FB

2、FCDB 解：1. 支反力 ， 2. 各杆长度 ，3. 各杆轴力 由节点B的平衡条件得（压），（拉）； 由节点D的平衡条件得，（拉）；由节点C的平衡条件得（拉）。 4. 变形能 5. 位移 ，（）10-4 图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI已知，试求曲杆的变形能及B点的铅垂位移。 解：1 弯矩 （0/2）FBAORM()FBO2. 变形能 3. 位移 （） 10-5 图示阶梯形变截面圆轴两端承受扭矩Mn作用，d2 = 1.5d1，材料的切变模量G已知，试求圆轴的变形能及圆轴两端的相对扭转角。 解：1. 圆轴扭矩 Mn = TTTd2d12l2lx2x1 2. 变形能 3. 位移 ， C

3、FBA3l32lFBFAx1x2C1BA 10-6 已知梁的抗弯刚度EI和支座B的弹簧刚度k，试求截面C的挠度。 解：1. 支反力 ， 2. 内力 梁的弯矩：AC段 （0x1l/3） BC段 （0x22l/3） 弹簧轴力： 3. 在C点施加单位力，单位力引起的内力 梁的弯矩： AC段 （0x1l/3） BC段 （0x22l/3）弹簧轴力： 4. 莫尔积分（）10-7 图示简支梁B端悬吊在直杆CB上，已知梁的抗弯刚度EI和杆的抗拉刚度EA，试求梁中点D的挠度。DqBAaC2l2lxD1BAC 解：1. 载荷引起的内力 杆： 梁：AD段 （0xl/2） 2. 在D点施加单位力，单位力引起的内力 杆

4、： 梁：AD段 （0xl/2） 3. 莫尔积分 （） 10-8 试求图示简支梁A截面的转角，已知梁的抗弯刚度EI。CABaaCABx1x21FAFBq 解：1. 支反力 ， 2. 弯矩 AC段： （0x1a） BC段： （0x2a） 3. 在A截面施加单位力偶，单位力偶引起的支反力和内力 支反力 （），（） 弯矩 AC段： （0x1a） BC段： （0x2a） 4. 莫尔积分 （ ）10-9 试求图示变截面梁A截面转角和B截面的挠度，已知材料的弹性模量E。2aaABCM02IIABC1ABC1x1x2FAFC 解：1. 支反力 （），（） 2. 弯矩 AC段： （0x12a） BC段： （0x

5、2a） 3. 计算A截面转角在A截面施加单位力偶，单位力偶引起的弯矩 AC段： （0x12a） BC段： （0x2a） 莫尔积分 4. 计算B截面挠度 在B截面施加单位力，单位力引起的弯矩 AC段： （0x12a） BC段： （0x2a）莫尔积分 （）10-10 已知图示组合梁的抗弯刚度EI，试求中间铰B左右两截面的相对转角。（提示：在中间铰B两侧加一对单位力偶，分别写出两边弯矩方程，并注意到中间铰处的弯矩为零。）CBAllqCBA1x 解：1. 载荷引起的弯矩 BA段： （0xl） 2. 在中间铰B的两边施加一对单位力偶，单位力偶引起的弯矩 BA段： （0xl） 3. 莫尔积分 FBCA2l

6、2l4lDM1BCADFlV4FlV4FlV81212l4（MF）（MM）（M0）（M0）1BCAD10-11 外伸梁受力如图所示，M = Fl/4，已知抗弯刚度EI，试用图乘法求D点的铅垂位移和B截面的转角。 解：分别画出集中力F和力偶M引起的弯矩图，在D点施加铅垂单位力，在B截面施加单位力偶，并分别画出单位力和单位力偶引起的弯矩图。 1. D点的铅垂位移 （） 2. B截面的转角 （ ） 10-12 图示外伸梁由于温差变化产生弯曲变形，已知梁顶面温度为t1，梁底面温度为t2（t2t1），设温度沿梁高h为线形变化，材料的线膨胀系数为，试求自由端C的挠度。laABCt1t21ABCx2x1 解

7、：用单位载荷法求解。 1. 由于温差引起微段梁两端相对转角（参阅例10-7） 2. 在C端施加单位力，单位力引起弯矩 AB段： （0x1l） CB段： （0x2a） 3. 自由端C的挠度 计算结果为负， C点的挠度向上。10-13 图示刚架由于沿截面高度线性变化的温差而弯曲变形（不计杆的拉压变形），设外表面温度为t1，内表面温度为t2（t2t1），AB杆和BC杆截面相同，高度均为h，材料的线膨胀系数为，试求自由端C的水平位移、铅垂位移及转角。t1llCBAt1t2t21CBAx1x21CBAx1x21CBAx1x2 解：用单位载荷法求解。1. 由于温差引起微段杆两端相对转角（参阅例10-7）

8、2. 在C端施加向上铅垂单位力，单位力引起弯矩 CB段： （0x1l） BA段： （0x2l）（） 3. 在C端施加向左水平单位力，单位力引起弯矩 CB段： （0x1l）； BA段： （0x2l）（） 4. 在C端施加单位力偶，单位力偶引起弯矩 CB段： （0x1l） BA段： （0x2l） 10-14 图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA，试求节点B的水平位移和BC杆的转角。BFN1N2F6060BCAl1236060B1CA1236060B1CA1123CFCN3N2B1N1N2CFCN3N2B1N1N2CFCN3N21 解：1. 载荷引起各杆的轴力 由节点B的平衡条件得 N1 = F （拉）

9、，N2 = F （压）由节点C的平衡条件得 N3 = F/2 （拉） 2. 在节点B施加向右水平单位力，单位力引起的轴力 由节点B的平衡条件得 （拉），由节点C的平衡条件得（压）。 B点的水平位移 （）3. 在BC杆两端节点B和C各施加一垂直杆轴线的单位力，单位力引起的轴力 由节点B的平衡条件得 （拉），（压），由节点C的平衡条件得 （压）。B，C点的相对位移 BC杆的转角 （ ）10-15 图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA，试求节点A的铅垂位移。AFN1N24545DFBClA123454545D1BCA12345CFCN3N5N1N3BN4N2 解：1. 各杆的长度 ， 2. 载荷引起各杆的

10、轴力 由节点A的平衡条件得 （压），（拉） 由节点B的平衡条件得 （拉），（压） 由节点C的平衡条件得 （压） 3. 在A点施加铅垂单位力，单位力引起各杆的轴力 由节点A的平衡条件得 （压），（拉） 由节点B的平衡条件得 （拉），（压） 由节点C的平衡条件得 （压） 4. A点的铅垂位移 （） 10-16 刚架受力如图所示，抗弯刚度EI已知，试求D点铅垂位移。 解：1.载荷引起的弯矩aFCBAa2aDq1CBAx1x2D DB段： （0x1a ） BC段： （0x22a ） 2. 在D点施加单位力，单位力引起的 弯矩 DB段： （0x1a ）； BC段： （0x12a ） 3. D点的铅垂位移

11、 （） 10-17 图示刚架抗弯刚度EI已知，试求A点铅垂位移和C处转角。aFDCBaaAFaFDCBAa1DCBA11DCBAM图M0图M0图 解：1. 在A点施加单位力，在C截面施加单位力偶，分别画出载荷和单位力的弯矩图。 2. A点的铅垂位移 （） 3. C处的转角 （ ） 10-18 图示刚架抗弯刚度EI已知，试求A，B两点相对位移。aFFABC45FFABC4511ABC45M图M0图 解：1.在A，B两点施加一对单位力，分别画出载荷和单位力的弯矩图。 2. A，B两点的相对位移 （） 10-19 图示刚架抗弯刚度EI已知，试求B点水平位移。q = F/lllCBAFx1x2FC 解

12、：（a） 1. 支反力 2. 在B点施加水平单位力，载荷和单位力弯矩分别为： C ， （0x1l） （0x2l） llCBA1x1x21 3. B点水平位移 （）llCBAM0x1FBx2（b） 1. 支反力 2. 在B点施加水平单位力，载荷和单位力弯矩分别为： BC段： （0x1l）llCBAx11x21 CA段： （0x2l） 3. B点水平位移 （）10-20 图示刚架抗弯刚度EI已知，试求A点水平位移。BAFlhBAFFhFhM图BA1hhM0图 解：1.在A点施加水平单位力，分别画出载荷和单位力的弯矩图。 2. A点的水平位移 （）ABCFR1110-21 图示半径为R的等截面半圆曲

13、杆，C点受铅垂集中力F作用，抗弯刚度EI 已知，试求B点的线位移。 解：1. 载荷引起的弯矩 BA段： （0/2）2. B点的水平位移 在B点施加水平单位力，单位力引起的弯矩 BA段： （0/2） （）2. B点的铅垂位移 在B点施加铅垂单位力，单位力引的弯矩 BA段： （0/2） （）ABCFRFAFBABC1R1/21/210-22 半径为R的半圆拱如图所示，在中央点C受铅垂集中力F作用，已知抗弯刚度EI，试求C点的铅垂位移。 解： 1. 支反力 2. 在C点施加铅垂单位力，载荷和单位力弯矩分别为： （0/2） （） 10-23 等截面曲杆BC是半径为R的四分之三圆周，抗弯刚度EI 已知，

14、AB为刚性杆，试求B点的线位移。ABCFR11 解：1. 载荷引起的弯矩 （03/2） 2. B点的水平位移 在B点施加水平单位力，单位力引起 的弯矩 （03/2） （）3. B点的铅垂位移 在B点施加铅垂单位力，单位力引起的弯矩 （03/2） （）*10-24 图示半径为R的半圆形曲杆A端固定，自由端B作用有扭转力偶矩M0 。曲杆横截面为圆形，其直径为d，已知材料弹性常数E，。试求B截面扭转角。ABOM0RM0MMnRo1M0M0nRo 解：1. 载荷引起的内力 将力偶用矢量表示，截面的内力为 弯矩 （0） 扭矩 （0） 2. 在B截面施加单位扭转力偶，单位力偶引起的内力 弯矩 （0） 扭矩

15、 （0） 3. B截面扭转角 10-25 图示等圆截面刚架，抗弯刚度EI和抗扭刚度GIP均为已知，试求自由端A的铅垂位移。1ABDCx1x2x3FABDCabc解：1. 在自由端A施加铅垂单位力，分别列出载荷和单位力引起的内力方程 AB段：（0x1a） 弯矩 ； BC段：（0x2b） 弯矩 ； 扭矩 ； CD段：（0x3c） 弯矩 ； 扭矩 ； 2. 自由端A的铅垂位移 （）10-26 图示开口平面刚架，刚架横截面为圆形，抗弯刚度EI和抗扭刚度GIP均为已知，在A，B两点作用一对与刚架平面垂直的集中力F，试求A，B两点沿载荷作用方向的相对线位移。ABFFll/2l/2AB11x2x1x3CDE

16、 解：1. 在A，B两点施加一对单位力，分别列出载荷和单位力引起的内力方程（由于对称，只需分析一半结构） BC段：（0x1l/2） 弯矩 ； CD段：（0x2l） 弯矩 ； 扭矩 ； DE段：（0x3l/2） 弯矩 ； 扭矩 ； 2. A，B两点沿载荷作用方向的相对线位移 FFAB11ABR10-27 图示半径为R的圆环放置在水平平面内，圆环横截面为圆形，抗弯刚度EI和抗扭刚度GIP均为已知，在圆环微小开口的两侧作用一对铅垂集中力F，试求A，B两点沿铅垂方向的相对线位移。 解：在A，B两点施加一对单位力，分别列出载荷和单位力引起的内力方程为（由于对称，只需分析一半结构） 1. 弯矩方程 （0） 2. 扭矩方程 （0） 3. A，B两点沿铅垂方向的相对线位移。 10-28 试用位移互等定理求图示简支梁上载荷F移动至何处时，截面C的挠度最大。梁的抗弯刚度EI已知。CFBAl/4lxDCFBAl/4lxD 解：由位移互等定理可知，载荷F作用于任一x 截面时，C截面的挠度vCx等于载荷F作用于C截面时x 截面的挠度vxC ，且vxC取极值时，vCx也取极值。查附录B得 vxC对x 极值等于零得 即当载荷F移动至距左端0.559l时，C截面的挠度最大。 *10-29 图（a）所示半径为R的圆球承受一对径向集中力F作