132函数的奇偶性

1、函数的奇偶性函数的奇偶性 数学来源于生活，那么我们现在正数学来源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？感呢？在生活中你还发现了哪些对称的图形？在生活中你还发现了哪些对称的图形？问题提出问题提出函数的奇偶性函数的奇偶性知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .2( )f xx ( ) |f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者有这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？何共同特征？ xy

2、o图（图（1）xyo图（图（2）观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个

3、的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxf思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(xy=f(x) )的图象关于的图象关于y y轴对轴对称，那么称，那么f(xf(x) )与与f(-xf(-x) )有什么关系？有什么关系？ 我们把具有上述特征的函数叫做偶函数我们把具有上述特征的函数叫做偶函数 当自变量当自变量x x任取定义域中的一对任取定义域中的一对相反数相反数时，时，对应的函数值对应的函数值相等相等。 即即 f(x)=f(-xf(x)

4、=f(-x) )思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？ 思考思考5:5:函数函数 是偶函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？吗？偶函数的定义域有什么特征？2( ), 1,2f xxx 偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称思考思考4:4:怎样定义偶函数？怎样定义偶函数？ 如果对于函数如果对于函数f(xf(x) )定义域内的定义域内的任意一任意一个个x x，都有，都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )成立，则称

5、函数成立，则称函数f(xf(x) )为偶函数为偶函数. . 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数：考察下列两个

6、函数：(1) ; (2) .(1) ; (2) .( )f xx1( )f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者有这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？何共同特征？ xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(xy=f(x) )的图象关于的图象关于坐标原点对称，那么坐标原点对称，那么f(xf(x) )与与f(-xf(-x) )有什么关有什么关系？系？ 思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有

7、什么关系？有什么关系？ 当自变量当自变量x x任取定义域中的任取定义域中的一对相反数一对相反数时，时，对应的函数值对应的函数值f(x)f(x)也是也是一对相反数一对相反数。 即即f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x) )思考思考5:5:函数函数 是奇函数吗？是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定义域有什么特征？( ), 1,2f xx x 奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做奇我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？函数，那么怎样定义奇函数？ 如果对于函数如果对于函数f(xf(x) )定义域内的定义域内的

8、任意一个任意一个x x，都有，都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )成立，则称函数成立，则称函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .注意：注意： 函数具有奇偶性的一个必要条件是，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定也一定是定义域内的一个自变量（即是定义域内的一个自变量（即定义域关于定义域关于原点对称原点对称）练：奇函数定义域是练：奇函数定义域是a,2a+3 a,2a+3 ，则，则a=a= . .例5、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf 课堂练习 3 , 1,

9、)() 6(1)() 5 (0)() 4(5)() 3 (1)() 2(1)() 1 (22xxxfxxfxfxfxxfxxxf 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：判断函数奇偶性的步骤：判断函数奇偶性的步骤： 第一步：求出函数定义域，看它是否关第一步：求出函数定义域，看它是否关于原点对称；于原点对称；第二步：求出第二步：求出f(-x)f(-x)的解析式，观察它与的解析式，观察它与f(x)f(x)的关系是否满足的关系是否满足f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)或或f(-f(-x)=-f(x)x)=-f(x)；第三步：作出结论。第三步：作出结论。练习：判断下列函数的奇偶性。练习：判断

10、下列函数的奇偶性。（1 1） f(xf(x)=2x)=2x4 4+3x+3x（2 2） f(xf(x)=0)=0 偶函数偶函数 根据奇偶性根据奇偶性 奇函数奇函数函数可划分为四类函数可划分为四类 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数 归纳小结：归纳小结：（1 1）函数的奇偶性分为四类：）函数的奇偶性分为四类：奇函数奇函数，偶函偶函 数数，既奇且偶既奇且偶，非奇非偶非奇非偶。（2 2）判断函数奇偶性的步骤：首先判断定义）判断函数奇偶性的步骤：首先判断定义域是否关于域是否关于原点原点对称，再用定义进行判别。对称，再用定义进行判别。（3 3）奇偶函数图象的性质，奇偶函数图象的性质，判断

11、函数的奇偶判断函数的奇偶性也可利用函数的图象来判定。性也可利用函数的图象来判定。(1)(1)定义在定义在R R上的奇函数的图象上的奇函数的图象一定经过一定经过原点。原点。(2)(2)由图象对称性可以得到：由图象对称性可以得到：奇函数奇函数在关于原点对称区间上在关于原点对称区间上单调性一致单调性一致，偶函数偶函数在关于原点对称区间上的在关于原点对称区间上的单调性相反单调性相反。知识拓展：知识拓展：知识迁移知识迁移1.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函数，是偶函数，则则a=_，b=_，c_10R 2.函数函数 的奇偶性是的奇偶性是 ( ) (A)奇函数奇函数 (B)偶

12、函数偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶非奇非偶 242xxxfD3.3.已知已知f(xf(x) )是奇函数，是奇函数，g(xg(x) )是偶函数，且是偶函数，且f(x)+g(xf(x)+g(x)= ,)= ,则则f(xf(x)=)= _ _ 11x21xx 2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x(x) )满足：对任意满足：对任意实数，都有实数，都有 成立成立. .（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值； （2 2）确定）确定f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .()( )( )f a baf bbf a知识迁移（二）知识迁移（二）f(1)=0,f(-1)=0f(1)=0,f(-1)=0奇函数奇函数 1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: : (1)(1) ; (2) ; (2) (3)(3)1( )f xxx2( )1f xx)0() 1()0()1 ()(xxxxxxxf作业作业课本课本P36练习第练习第1题题补充练习1.设函数设函数f（x）是奇函数，若）是奇函数，若f(-2)+f(-