材料力学第七章(1)

1、17-1 概述概述 在第在第2章和第章和第3章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合不同方位截面上应力的集合(总体总体)称之为称之为一点处的应力状态一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的定，故受力物体内一点处的应力状态应力状态可用一个单元体及

2、其可用一个单元体及其上的应力来表示。上的应力来表示。2根据材料的均匀连续性假设，单元体各微面上的根据材料的均匀连续性假设，单元体各微面上的应力均匀分布，应力均匀分布，相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反；相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两侧面上切应力互等。互相垂直的两侧面上切应力互等。单元体的特点单元体的特点3为什么要研究应力状态？为什么要研究应力状态？1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸低碳钢拉伸时的时的屈服屈服(yield)现象是由于在切应力最大的现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生斜截面上材料发生滑移所

3、致；又如滑移所致；又如铸铁圆截面杆铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在的扭转破坏是由于在45 方向拉方向拉应力最大从而使材料发生断裂所致。应力最大从而使材料发生断裂所致。 2. 在不可能总是通过实验测定材料极限应在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设析是建立关于材料破坏规律的假设(称为称为强强度理论度理论的基础。的基础。4一点的应力状态一点的应力状态过一点的不同方向面上应力的集合过一点的不同方向面上应力的集合。应力分析就。应力分析就是研究过一点的不同方位面上应力的变化规律。是研究过一点的不同方位面

4、上应力的变化规律。5单向应力状态单向应力状态 20coscos p 2sin2sin0 px单向应力状态单向应力状态6纯剪切应力状态纯剪切应力状态 2sin cos2yxxy纯剪切状态纯剪切状态7G,H点的斜截面上点点的斜截面上点的应力状态的应力状态FPx y yx xy二向（平面）应力二向（平面）应力状态状态8三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态yxz x y z xy yx yz zy zx xz第一个下标（左边）指作用面的外法线方向，第一个下标（左边）指作用面的外法线方向，第二个下标指应力作用方向。由切应力互等第二个下标指应力作用方向。由切应力互等定理，有：定理，有：xyyxyzzy

5、xzzx9单元体上应力的正负号规定单元体上应力的正负号规定xx（1）正应力）正应力拉为正、压为负拉为正、压为负10切应力使单元体或其局部顺时针切应力使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负方向转动为正；反之为负 yx xy（2）切应力）切应力单元体上应力的正负号规定单元体上应力的正负号规定yxxy11由由x轴正向轴正向逆时针逆时针转到斜截转到斜截面法线面法线n正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。（3）方向角）方向角单元体上应力的正负号规定单元体上应力的正负号规定yx tn127-2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力平面应力状态是指单元体有一对平面上的应力平面

6、应力状态是指单元体有一对平面上的应力等于零的应力状态。等于零的应力状态。现研究由单元体各面上的已知应力分量来确定现研究由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量。其任一斜截面上的未知应力分量。13 （c） 由图由图c知，如果斜截面知，如果斜截面ef的面积为的面积为dA，则体元左侧，则体元左侧面面eb的面积为的面积为dAcos ，而，而底面底面bf 的面积为的面积为dAsin 。图图d示出了作用于体元示出了作用于体元ebf 诸诸面上的力。面上的力。14单体元的平衡方程为单体元的平衡方程为: : 0sinsindcossind coscosdsincosdd0n AAAAAFy

7、yxx， 0cossindsinsind sincosdsincosdd0t AAAAAFyyxx， 由以上两个平衡方程并利用由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理切应力互等定理可得到以可得到以2 为参变量的求为参变量的求 斜截面上应力斜截面上应力 ， 的公式：的公式： 2sin2cos22xyxyx 2cos2sin2xyx 15用用 斜截面截取，此截面上的应力为斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2022-3-716x yyx xy因此因此yx即单元体两个相互垂直面上即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。的正应力之和是一个常数。

8、两个垂直面上的切应力互等。两个垂直面上的切应力互等。17II. . 应力圆应力圆 为便于求得为便于求得 、 ，也为了便于直观地了解平面应力，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆圆( (莫尔圆莫尔圆)()(Mohrs circle for stresses) )来表示。来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：222222xyxyx18 而这就是如图而这就是

9、如图a所示的一个圆所示的一个圆应力圆应力圆，它表明代，它表明代表表 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC2yx222xyx(a)19OC(b)xxD,1yyD,2 图图a中所示的应力圆实际上可如图中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单所示作出，亦即使单元体元体x截面上的应力截面上的应力 x, x按某一比例尺定出点按某一比例尺定出点D1，依单元体，依单元体y截截面上的应力面上的应力 y, y( (取取 y = - - x) )定出点定出点D2，然后连以直线，以它与，然后连以直线，以它与 轴的交点轴的交点C为圆心，并且以为圆心，并且以 或或 为半

10、径作圆得出。为半径作圆得出。1CD2CD20在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和截面和y截面截面上应力的点上应力的点D1和和D2所夹圆心角为所夹圆心角为180，它是单元体上相应，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，两个面之间夹角的两倍， 、 计算公式中以计算公式中以2 为参变为参变量量。OC(b)xxD,1yyD,221 利用应力圆求利用应力圆求 斜截面斜截面( (图图a) )上的应力上的应力 、 时，只需将时，只需将应力圆圆周上表示应力圆圆周上表示x截面上的应力的点截面上的应力的点D1所对应的半径所对应的半径 按方位角按方位角 的转向转动的转

11、向转动2 角，得到半径角，得到半径 ，那么圆周上，那么圆周上E点的座标便代表了单元体点的座标便代表了单元体 斜截面上的应力。现证明如下斜截面上的应力。现证明如下( (参参照图照图b) )：1DCEC(a)22E点横座标点横座标 2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOF23E点纵座标点纵座标 2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF24III. . 主应力与主平面主应力与主平面圆周上圆周上A1和和A2两点的横座标

12、分别代表两点的横座标分别代表该单元体的正应力中的最大值和最小该单元体的正应力中的最大值和最小值，它们的作用面成值，它们的作用面成9090 ( (由由A1和和A2两两点所夹圆心角为点所夹圆心角为180可知可知) )，且这两，且这两个截面上均无切应力。个截面上均无切应力。(b)25一点处切应力等于零的截面称为一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面，主平面上的正应力称为，主平面上的正应力称为主应力主应力。据此可知，应力圆圆周。据此可知，应力圆圆周上点上点A1和和A2所代表的就是主应力；所代表的就是主应力；但除此之外，但除此之外，图图a所示单元体上平所示单元体上平行于行于xy平面的面上也是没有切应力

13、平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。是其上的主应力为零。(b)26 在弹性力学中可以证明，在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么受力物体内一点处无论是什么应力状态应力状态必定存在三个相互垂必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应直的主平面和相应的三个主应力力。对于一点处三个相互垂直。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作代数值由大到小的次序记作 1、 2、 3。图。图b所示应力圆中标所示应力圆中标出了出了 1和和 2，而，而 3=0。(b)27当三个主应力中

14、有二个主应力不等于零时为当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是 1，也可能是也可能是 2或或 3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。值后才能明确。12)0(331)0(22)0(1328 现利用前面的图现利用前面的图b所示应所示应力圆导出求不等于零的主应力力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角数值和主平面位置方位角 0的的解析式，由于解析式，由于12111ACCOACCOAO 22222142124212x

15、yxyxxyxyx 其中，其中， 为应力圆圆心的横座标，为应力圆圆心的横座标， 为应力圆的半径。故得为应力圆的半径。故得OC11CDCA 29 yxxBCDB 212tan1110 yxx 2arctan2 0或即或即图图c示出了主应力和主平面的方位。示出了主应力和主平面的方位。30 由于主应力是按其代数值排序记作由于主应力是按其代数值排序记作 1、 2、 3的，故的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是不一定就是 1、 2，所以应该把式中的，所以应该把式中的 1、 2看作只是表看作只是表示主应力而已。示主应力而已。3

16、122max, minmaxmin22xyxy 32结论结论：(1)当倾角当倾角转到转到0方向相反方向相反(2(2）切应力极值所在平面与主）切应力极值所在平面与主平面成平面成4545度角，即：度角，即：0045maxmin2二者大小相等，均为二者大小相等，均为090和和 面时面时m axm in对应有对应有maxmin45max33用应力状态理论解释下列现象：用应力状态理论解释下列现象：（1）韧性材料（如低碳钢）构件拉伸时，其表面出现与轴线）韧性材料（如低碳钢）构件拉伸时，其表面出现与轴线成成45左右的滑移线左右的滑移线（2）铸铁构件扭转时，沿）铸铁构件扭转时，沿45螺旋面断裂螺旋面断裂34

17、两端简支的焊接工字钢梁如图所示。试利用应力圆求危两端简支的焊接工字钢梁如图所示。试利用应力圆求危险横截面上险横截面上a、b (图图c)两点处的主应力。两点处的主应力。例题例题 7-135 1. 梁的剪力图和弯矩图如图梁的剪力图和弯矩图如图d和和e所示。危险截面为所示。危险截面为C偏左偏左的横截面。的横截面。mkN80kN200S CCMF例题例题 7-1解解:362. 计算截面的几何性质计算截面的几何性质 46333333m108812m10270m1011112m10300m10120 zI 363333*m10256m105 . 7m10135m1015m10120 zaS例题例题 7-1

18、373. 求求C偏左横截面上偏左横截面上a、b两点处的应力两点处的应力MPa7 .122Pa107 .122m135. 0m1088mN10806463 azCayIM MPa6 .64Pa106 .64m109m1088m10256N102006346363*S dISFzzaCa 例题例题 7-138MPa4 .136Pa104 .136m15. 0m1088mN10806463 bzCbyIM 0 b 例题例题 7-139 分别围绕分别围绕a、b两点用相邻的两个横截面和两个水平纵两点用相邻的两个横截面和两个水平纵截面在梁中截取两个单元体，如图截面在梁中截取两个单元体，如图f、g所示。所示

19、。yxMPa6 .64 x MPa7 .122 x xxyy(f)ab(g)例题例题 7-140(h) 1求求a点处的主应力值和主平面方位。点处的主应力值和主平面方位。 在在 坐标系中，按选定坐标系中，按选定的比例尺，由图的比例尺，由图f所示单元体上所示单元体上x和和y向的应力确定向的应力确定D1和和D2点，点，以以 为直径画出应力圆如为直径画出应力圆如图图h所示。用比例尺在应力圆所示。用比例尺在应力圆上量得上量得21DDMPa270,MPa150321 量得量得2 046.4o， 023.2o主平面的方位如图主平面的方位如图i所示。所示。130yxxxxxyy(i)例题例题 7-141b(g

20、)由由b点的单元体点的单元体(图图g)可见，可见，单元体的单元体的x和和y面上的切应力面上的切应力均等于零，即均等于零，即x和和y面均为主面均为主平面，平面， x为主应即为主应即00MPa4 .136321 求求b点处的主应力值和主平面方位。点处的主应力值和主平面方位。例题例题 7-142 (1) a点处的主应力值和主点处的主应力值和主平面方位也可按应力圆上的平面方位也可按应力圆上的几何关系来计算：几何关系来计算：MPa4 .150 22221111 xxxDCCOACCOAO (h) 1例题例题 7-1434 .462/MPa7 .122MPa4 .64arctan2arctan20 xx

21、亦即亦即 0- -23.2。MPa7 .27 22221223 xxxDCCOACCOAO 例题例题 7-144练习练习1求：求：（1） 斜面上的应力；斜面上的应力；（2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。40MPa30MPa60 ： 一点处的平面应力状态如图所示。已知：一点处的平面应力状态如图所示。已知： ,30,60MPax.30MPaxy,40MPay45【解解】（1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9)60cos(30)60sin(24060MPa3 .5840MPa30MPa60 46（2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPaMPa3 .48, 0,3 .6832140MPa30MPa60 470113主平面的方位：主平面的方位：02tan 2xyxy 4060606 . 0