变分原理正文

1、第1章 泛函和变分1.1引言以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题: 一个足够光滑的连续函数，其在区域内任何一点都可以作以下的Taylor展开 ()函数在某一点有极值的必要条件是但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题泛函的极值问题(泛函简单地讲， 就是函数的函数，详细见后面)。例1.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图1.1最短线问题假设经过两点距离最短的曲线方程为 (1.1.2)另有一任意的连续可导函数，满足两端固定的边界条件 (1.1.3)显然依旧是过固定两点的连续曲线，其对应的长度为 ()当,时取到极小值，也就是说 ()把()代入(), 展开后有 ()由于() 对于

2、任意的都成立，根据变分引理(见2.2.2节), 我们可以得到 ()意味着 ()因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2 最速降线问题 图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A为坐标原点，水平为轴，向下为轴。曲线的方程为， A点坐标, B点坐标。曲线上任意一点P时的速度为 () ()因此，重物沿该曲线从A点滑到B点所需要的总时间为 ()我们也称之为泛函。该曲线参数形式为 (例1.3 短程线问题 短程线问题可以描述为：给定一个光滑曲面，在该曲面上有两个固定A和B，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。 记A和B的坐标分别

3、为和，连接该两点的曲线方程为 ()它们满足 ()那么该曲线的长度为 ()因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接A和B而且满足的光滑曲线，中，找到其中的一条，使得()中的泛函取到极小值。和前面速降线问题中不同的是，这里的自变函数，不是自由的，它们受到约束条件的限制，因此短程线问题对所应的是个泛函的条件极值问题，其约束条件是代数关系。例1.4 等周问题用参数表示的平面曲线方程为 ()参数可以理解为曲线从起点的长度。如果曲线的长度为,那么。由于曲线是封闭，所以有边界条件 ()而该曲线的长度为 () 该曲线所围成的面积为(根据Green公式) ()因此, 等周问题所对应的变分问题可以描述为: 在所

4、有满足以及约束条件的曲线中, 找到其中一根使得()中取极大值。显然，等周变分问题是泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。例1.5 最优控制问题状态方程为 () 其中为状态向量, 为初始状态, 为终止状态, 为输入向量。要求寻找合适的，使得 ()其中是一个性能泛函。 和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束()的泛函极值问题.1.2 泛函定义1.1 记是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数，都有一个数(在本讲义中全部为实数)与之相对应，我们记为或者。这样我们说是定义在函数集合上的一个泛函。简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。如例1

5、.2中最速降线中的泛函()，其定义域为此外，在等周问题中泛函() 中的定义域为 象短程线问题中的() 、等周问题中的(1.1.30) 、最优控制问题中的(1.1.32)，一般不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子。是定义在区域上连续函数的集合，那么下式就定义了一个泛函 如果是定义在区间上的一阶连续可微函数对的集合，那么下式就定义了一个泛函 当然也可视为一种泛函；不过，以后提到的泛函主要是指具有上述积分形式的泛函。线性泛函 对于泛函， 如果对于泛函定义域中任意两个函数和以及任意两个实数和，始终

6、成立那么称泛函为定义域上的线性泛函。1.3 自变函数的变分定义1.2 在同一泛函定义域上的两个函数、，若彼此任意接近，那么与之差称为函数的变分。显然函数变分也是关于的函数，它和函数的增量是有差别的。变分反应了整个函数的变化，而函数增量反应的是同一个函数由于自变量的取值不同所引起的变化。图2.1变分和函数的增量自变函数变分的一个重要性质 下面我们来讨论函数变分的一个重要性质：求变分和求导数可以交换次序 ()如果自变函数是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序, 就是说 (), (), ()1.4 泛函的变分对于一个足够光滑的函数，如果我们在某一点附近作泰勒展开， 那么其增量的线性部分 称

7、为函数的一阶微分，而 称为函数的两阶微分。其中是的线性函数，而是的两次函数。对于任意一个泛函, 函数变分所引起的泛函增加量为 如果可以展开为 ()其中是关于的线性泛函，也就是说 ()而为的两次泛函。那么，可以定义定义1.3 泛函的一阶变分为 ()而泛函的两阶变分为 ()我们看下面一个比较简单的泛函 如果给函数一个变分，也就是说新的函数为， 那么对应于新函数的泛函为 显然，泛函的变化量为 假如是充分光滑的， 那么根据多元函数Tayler展开公式，上式可以表示成其中 ()分别是关于变分及其导数的一次齐式和两次齐式。我们把和分别称为泛函的一阶变分和两阶变分。在不引起混淆时，我们就把一阶变分称为泛函的

8、变分。泛函变分的另一种求法对于任意给定的一个齐次函数(当然该函数有一些其他诸如可微或者其他一些限制条件，具体视泛函的定义域而定)，也就是说它在边界上的值为零，那么对于任意小的一个实数，显然也在泛函的定义域内。那么如果更进一步，令就是函数的变分，那么从泛函变分的定义中就可以知道，上式的第一部分就是泛函的一阶变分，而第一部分就是泛函的两阶变分。 也就是说 （） 1.5 泛函变分的性质(1) (2) (3) (4) (5) (6) 这表明，求泛函变分可以用类似求复合函数求微分的方式进行。下面我们来看两个例子：例1.6 已知泛函求。解这里被积函数内还包含着自变函数变分的偏导数，需要进一步简化，我们在后

9、面会详细进行讨论。例1.7 已知泛函求解：这里已通过分部积分消去了积分号下自变函数变分的导数。1.6 各种泛函的变分(1) 最简单的泛函(2) 含高阶导数的泛函 如果, 而且满足固定的边界条件 那么 (3) 含多元自变函数的泛函 这里最后一个等式应用格林公式，消去了二维积分中的自变函数变分的导数, 其作用相当于一元函数中的分部积分公式。至于对三维积分情形，则需要用到高斯公式(见附录) 。 一般来说，对于 式中如果需要将被求导函数视为仅仅是的函数，则用代替，以避免混淆，譬如 (4) 含多个自变函数的泛函 习题1. 若是关于的二次齐次函数，求泛函的一、二阶变分。2. 求1.6 节中各种泛函的二阶变

10、分。第2章 泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。2.1函数的极值性质2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数, , 如果, 当 (或者说)时, 有那么, 我们称在处是连续的, 记为。2.1.2 函数的可微性更进一步, 如果存在, 使得那么我们称在处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为或者记为其中为梯度算子(或者Hamilton算子, 见附1)。同理, 可以定义该函数的两阶导数及更高阶导数。 这里也称为Jacobi矩阵。如果函数在某点足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开其中为高阶小量, 分别为函数的一阶微分和两阶微分。换个角度来看, 如果其中为

11、的线性函数, 而为的两次函数, 那么为的一阶微分, 为的两阶微分。2.1.3 函数的极值对于足够小的, 如果，总有, 那么我们称在有极大值。 如果，总有, 那么我们称在有极小值。这里为的邻域。如果在某一点附近足够光滑, 那么在有极值的必要条件为或者说更进一步, 如果, 那么在有极大(小)值的充分条件为或者说是其中表示是负定矩阵。2.2泛函的极值2.2.1函数的邻域定义在区间上的函数的一阶邻域定义为: 对于, 始终满足我们称同时满足上述两式的函数的集合是的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。2.2.2泛函的极值变分引理: 如果函数, 对于在上满足的、足够光滑的任意函数, 如果总是成立 那么在必

12、有 证明: 用反证法。 假设有使得, 不失一般性设 。由, 一定存在, 使这样我们总可以构造下面一个连续函数 其中 可以证明 这样 显然与引理条件矛盾, 所以对于任意的都有 以上结果容易推广到二维或更高维的情形。如果泛函在的一阶邻域内都不大(小)于, 那么我们称泛函在有极大(小)值。 也就是说, （）使取到极值的函数称为极值函数。下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。 如果使取到极值, 则对于的一阶邻域内的函数应有或者现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取由于, 因此当足够小的时候, 属于的邻域。当以及给定以后, 应该是关于的函数因为在处取极值, 应该是的极值点。根据函数极值的

13、必要条件这就意味着如果令那么有考虑到的任意性，根据变分引理有 （）这就是该泛函极值问题的Euler方程。 如果只限定、而放松处的要求，则定义域 （）若是泛函在上的极值，限定则必是泛函在上的极值，根据（）有 ()代入（）并考虑的任意性可得 ()要使在处取极值, 那么意味着必须同时满足（）和（2.2.5）对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。定理2.1 如果泛函在上达到极值，那么泛函在上的一阶变分满足证明：根据泛函极值的定义，如果泛函在上达到极大值, 那么必定存在的一个领域, 对于该领域内的任何一个函数, 使得泛函的增量不变号, 由前面的推导()其中显然, 当充分小时, 的符号由部分

14、确定。如果, 我们总是可以调整的符号使得改变符号, 这与假设矛盾。 因此是泛函有极值的必要条件。尽管不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足的泛函，我们称在该点取驻值。2.2.3 泛函的Euler方程由泛函所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。例2.1的Euler方程为例2.2得到上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件, 构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。例2.3上述泛函可以写成 其一阶变分为 根据格林公式有 当边界上值给定时, ，可以得到相应的Euler方程 这是一个Laplace 方程。如果只在部分边界上给定函数值，这

15、里，则除上述的Laplace 方程外还应满足例2.4 其中及其法向导数在的边界上给定。泛函的一阶变分为 由于 根据格林公式, 由于及其法向导数在的边界上给定, 即，所以有 从而当泛函取极值时, 根据变分引理1得到 也就是这是一个双调和方程。例2.5其中在一部分边界（）上给定：。泛函可以写成 其一阶变分为 当泛函取极值时, 根据变分引理2得到对应的Euler方程为 这是一个Poisson 方程。2.3 泛函的条件极值问题2.3.1 函数的条件极值问题与Lagrange乘子假设求极值的函数为 相应的约束条件为 （）首先, 自变量的微分必须满足约束条件, 也就是说 这意味着 （）也就是说必须与每个约

16、束函数的梯度正交。对于极值函数, 如果在某点的梯度满足 那么, 沿着满足约束条件的方向有该点也就是条件极值点。反之, 如果要求沿着满足约束条件的方向有必须有 这样, 就有 （）而 （）所以对于约束极值问题, 我们可以通过引进拉格朗日乘子来构造一个新的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数的无条件极值问题。2.3.2 存在代数约束下的泛函极值泛函为 （）约束条件 （）注意上述约束是上的恒等式，所以引入的是Lagrange函数、而不是Lagrange乘子。可以通过引进Lagrange函数,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （）这里Lagrange函数是新泛函的自变函数，相应的Euler方程

17、为 , （）以及 , 这样共有个方程(恒等式)来决定个未知函数。例3.6 第1章的短程线问题 , 新的泛函为 相应的Euler方程为 2.3.3 存在微分约束下的泛函极值泛函为约束条件 （）上述约束仍是上的恒等式，通过引进Lagrange函数, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （）这里Lagrange函数是新泛函的自变函数. 相应的Euler方程为 , （）以及 , 2.3.4 存在积分约束下的泛函极值泛函为约束条件为 （）注意：与前面不同，这里约束条件为个数值等式，而不是恒等式。从而可以通过引进Lagrange乘子（而不是函数）, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （）与新变分问题

18、对应的Euler方程为 , （）以及 注意，现在有个微分方程(恒等式)和个数值等式, 去决定个未知函数和个未知数。例2.7 悬索问题。 已知空间两点A, B以及一条长为的绳索, 假定绳索的长度不可改变, 而弯曲刚度是可以忽略不计。现把绳索的两端悬挂在AB两点, 求平衡时候绳索的形状。取和最速降线问题一样的坐标系（图1.2）, 记绳索的方程为 那么边界条件为 绳索的长度满足 根据最小势能定理, 在平衡状态下绳索的势能最小 其中是绳索单位长度的质量。也就是说 为了求得上述的条件极值问题, 我们引入新的泛函 由新泛函的极值条件得到 例2.8 等周问题为一积分约束下的变分问题. 例2.9 在约束条件

19、下使泛函 取极值的函数满足Euler方程 当时，Euler方程为 这是个特征值问题。 约束条件表示的是一个归一化条件。在后面我们会详细讨论该问题。2.4 变分问题中的边界条件图2.1可动边界下面我们讨论泛函 极值问题中的边界条件。如果该泛函自变函数的边界位置为，那么相应的边界条件可以分为：(1) 固定边界: 边界位置固定，边界上函数值固定，；(2) 自由边界: 边界位置固定，边界上函数值自由，固定，自由；(3) 可动边界: 边界位置不定，边界上函数值不定，不定，也不定；(4) 约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，。自由边界条件可视为特殊的约束边界条件：。也可以考虑混合组合，譬如一端是固

20、定的、另一端是自由的，等等。为简单起见，假设在处是固定边界，是自由、可动或约束边界，而泛函为这里表示泛函自变量为自变函数y和边界的位置。计算 (2.4.1)由可得 () () (1) 是自由边界此时，()式变成 ()(2) 是可动边界:注意到 (见图2.1) 代入()，则边界条件变为 ()这样可得处的边界条件 () (3) 是约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，, 此时 考虑到(), 可得(约束)边界条件 ()加上约束边界函数 ()即得处的完整的边界条件。象自由边界条件()、可动边界条件(2.4.6) 和约束边界条件中(2.4.7) 可以通过泛函取驻值()得到，我们称为自然边界条件。反

21、之，固定边界条件和约束边界条件中(2.4.8) 是泛函定义域中规定了的，我们称为固定边界条件。控制方程(2.4.2) 和自然边界条件合称为Euler方程。例2.10 其一阶变分为根据得到Euler方程 及自然边界条件 例2.11 左端在处固定, 右端在上移动。在右端要求满足 所以在右端有 例2.12 ；左端，而右端在上移动 （a）控制方程为所以极值曲线为 (b)由于 在右端边界上满足条件考虑到 所以有 (c)由(a) 、(b) 和(c) 可解答即a为满足上述三次方程的一个实根，从而可以得到。也可以通过引进Lagrange乘子把固定边界问题转换成自由边界问题，如 新泛函为 2.5 Hamilto

22、n原理以相空间作为描述对象，一个力学系统的动能可以表示为其中，为广义坐标，为广义速度。势能可以表示为定义Lagrange函数为 （）定义Hamilton泛函为 （）Hamilton原理：给定初始时刻以及终止时刻的状态（位置），在所有可能的运动中，真实的运动应该使得Hamilton泛函取极小值，也就是说 （） （）例2.13 弹簧的自由振动问题 Hamilton泛函的变分为 由极值条件得到运动方程为例2.14 单摆。为均匀摆杆的（线）密度，是小球的质量，是摆杆长。图2.2单摆和双摆左图中单摆 至于右图中的双摆问题，留作读者自行解决。例2.15：Euler-Bernouillie梁弯曲的振动问题。

23、其中为梁的长度，为梁单位长度的质量，为梁的挠度, 为梁的弯曲刚度。动能中已略去梁单元转动的动能。Hamilton泛函的变分为由泛函极值问题得到梁的振动方程而边界条件可从得到，譬如梁弯曲的自然边界条件为习题1. 在条件下，求下列泛函的极值 2. 求长度为曲线，使得它与线段所围的面积最大。3. 已给定侧面面积，试求体积最大的旋转体。4. 在条件下，求下列泛函的变分 5. 由Hamilton原理推导弦振动方程。第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一

24、Descarte坐标系做参照系，变形前物体的构形为B，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B，取另一个Descartes坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如下图，变形前任一点在物质坐标系中的坐标为，变形后P变化到Q点在空间坐标系中的坐标为。图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ表示了质点P的位移，记为。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量的分量可以用下式来表示 ()其中变形后质点的坐标 与变形前的坐标存在着确定的关系。我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即 ()也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列

25、式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标 ()如果把位移看作是变形前坐标、即物质坐标的函数 ()称之为Lagrange 描述。如果把位移看作是变形后坐标、即空间坐标的函数 ()称之为Euler 描述。我们取变形前点及相邻，它们之间的长度平方为 ()它们变形后相应的点及相邻，其长度平方为 ()根据变形前后的坐标关系有从而有 ()或者 ()如果定义 ()及 ()则有 () ()上述表达式中，有重复下标的，已省略了相应的求和记号，称为Einstein约定。我们称为Lagrange-Green 应变张量(用Lagrange坐标系来描述)，把称作为Euler-Al

26、mansi 应变张量(用Euler坐标系来描述)。如果我们在Lagrange坐标系中,沿着某一个特定的坐标方向取一个微分单元, 其变形前长度为而变形后的长度为因此，该微段变形前后的相对伸长量为 ()可见与线元的相对伸长有关。当时，。如果在Lagrange坐标系中沿坐标轴方向取两个相互垂直的微元，分别为和，它们的长度分别为 那么在变形后它们长度和分别为 () ()变形后两个微段对应向量的内积为 ()其中为变形后两个微段之间的夹角。所以 ()如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为，也就是说 ()那么 ()当时，可以表示为 ()所以说，是与剪切变形有关的量。如果用空间坐标系来描述变形，也就是

27、说，位移矢量的分量用变形后的坐标来描述那么 ()在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有 ()我们称之为Cauchy微小应变。在工程上描述的应变为，把他们写成矩阵的形式为 ()也就是 ()其中式中代表梯度算子代表方向的单位向量。 应力分析图3.2物体受力如图所示, 通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surface traction)；另一种是分布在物体体积内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(body force)。 图3.3内力和应力当一个物体处于平衡状态时， 假如我们设想从中

28、分离出一部分B，其表面用S表示。S上任意一点，其邻域面上作用的合力为，应力正应力剪应力截面上应力与截面法向有关。当取定坐标系统后, 可以用每个坐标面上的沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。根据剪应力互等定律, 其中独立的分量有6个, 我们记为应力张量(满足坐标变换规律), ()应力的符号规则: 外法线方向与坐标轴方向一致的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为正, 沿坐标轴负方向的应力为负；反之, 外法线方向与坐标轴方向相反的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为负, 沿坐标轴负方向的应力为正。 截面上应力在某一个外方向的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力沿三个坐标轴上的应力分量为也就是说图3.4应力

29、张量与截面上应力写成矩阵形式为 ()也就是说 ()式中就是将中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量，即 () 平衡方程应力分量在物体内部的平衡方程为 ()写成分量的形式为其中分别是体积力在轴上的分量。如果把平衡方程表示成矩阵的形式为也就是 ()式中 应变能、余应变能及应力与应变关系物体发生弹性变形时，外力所做的功等于物体中所储存的应变能。而这种应变能与物体的变形过程无关，只同物体的最终变形状态有关，也就是说只与最终的应变有关。我们在物体中隔离出一个微元。该微元上的应变分量为，作用微元表面上的应力分量为。记物体的应变能密度为(也就是单位体积的应变能)，那么储存在该微元上的应变能为。根据前面的说明，

30、应变能密度应该是应变分量的函数。如果此时微元的应变有一个微小变化，相应的应变能密度也有了一个微小的变化，根据能量守衡，有从中我们可以得到，写成矩阵的形式为 ()用积分形式表示为通过下式定义的是余应变能密度 ()也就是说 ()写成矩阵的形式有 ()用积分形式表示为利用应力与应变之间的关系，可以把上式右边表示成应力的形式，也就是说把表示成应力分量的函数。对上式取变分，有 ()因此有 ()图3.5应变能和余应变能密度上面这些关系对于线弹性变形和非线性弹性变形都是适用的。对于非线性的弹性变形，和不仅在数学形式上不一样，而且在数值也不相等。对于线弹性变形，应力和应变之间关系是线性的，应变能密度和应变余能

31、密度数值上相等 ()如果应力和应变之间的关系表示为那么和可以表示成 () ()由于能量的正定性, 和都必须是对称正定的六阶矩阵, 而且它们之间互为逆矩阵，也就是说这里是六阶单位矩阵。 3. 1.6边界条件在弹性力学的定解问题中，除了必要的微分方程外，还需要给定合适的条件。这种边界条件是多种多样的，我们这里只讨论两种典型的情况，即给定位移的位移边界和给定面力的应力边界。记为物体的总边界，我们可以把总边界分成两部分。其中上有位移边界条件 ()上有应力边界条件 ()其中分别是边界上给定的位移向量和上给定的单位面积上外力向量。图3.6边界条件 几何可能位移和静力可能应力几何可能位移: 在位移边界上满足

32、位移边界条件，且在整个区域内满足连续条件(可以得到相应的应变)的位移称为几何可能位移，一般用来表示。静力可能应力: 在应力边界上满足应力边界条件，且在整个区域内满足应力平衡条件的一组应力称为静力可能应力，一般用来表示。 弹性力学精确解弹性力学的精确解应满足下列微分方程和边界条件(1) 几何关系，内(2) 平衡方程，内(3) 本构关系或者，内(4) 边界条件， 上，上3.2 一个重要的恒等式对于三维空间上任意一个连通区域，始终成立下面的恒等关系 ()其中是区域的边界，是边界上的外法线方向，和是两组任意独立的函数，式中写成分量的形式为证明:其中是三个常数矩阵。那么也就是说那么根据高斯公式也就是说几

33、点说明:(1) 虚功原理如果取、即虚位移，为静力可能应力，为虚位移对应的虚应变, 上式就是虚功原理 ()其中为虚位移所对应的虚应变。(2) 功的互等定理如果有两组载荷作用在线弹性体上。取第一组载荷作用下的位移精确解为，对应的应变为，应力为；取第二组载荷作用下的位移精确解为，对应的应变为，应力为，那么根据上述恒等式有由于所以有 ()这就是功的互等定理。(3) 能量守恒 若取为位移精确解，为应力精确解，那么是真实应变, 是真实体力, 是真实的表面力。下列恒等式表示能量守恒 ()即外力在位移上所做的功等于应力在应变上所做的功。3.3 最小势能原理对于线弹性体，那么我们可以定义下面总势能表达式 ()其

34、中为弹性应变能，而为外力势能。是单位体积的弹性应变能（也就是应变能密度），其他各个表达式的含义见前面。最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能最小。证明: 假设是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件，(1) 几何关系，内(2) 平衡方程，内(3) 本构关系或者，内(4) 边界条件， 上， 上再令是几何可能位移和对应的可能应变，他们应该满足几何方程和位移的边界条件，(1) 几何关系，内(2) 边界条件，上记精确解和几何可能位移之差为 那么对应于几何可能位移的总势能表达式为 ()由于 那么， ()因为 从而有 ()那么如果在恒等式()中取，取为真实应力,那

35、么由于 ，在内，在上，在上所以 ()即因为是对称正定矩阵，因此 ()也就是说, 弹性力学的精确解使得总势能泛函为最小值。对于非线性弹性体来说，最小势能原理也成立 ()可得，在内，在上此外 （）这里由热力学第一定律可得 （）从而，即最小势能原理成立。 现在讨论何时。由（）和（3.3.9）可知，其充分必要条件为，在内 （）这意味着在整个内是零应变状态，而这个状态是当且仅当物体的位移函数为刚体位移才能出现。由于我们考虑的是静力学问题，所以，所有刚体位移已消除，从而 （）这意味着最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能取严格最小。例3.1: 如图所示, 变截面杆的长度为

36、, 横截面面积为, 材料的杨氏模量为；沿轴向作用有分布载荷, 其中一边固定,一边受轴向集中力作用。用最小势能原理推导其方程和边界条件。图3.7变截面杆如图所示的坐标系, 假设轴向的位移为, 的固定边界条件为那么轴向的应变为对应的总应变能为总的势能为根据最小势能原理由变分引理得到这就是用位移表示的杆的控制方程和自由边界条件(边界上力的平衡条件) 。3.4 最小余能原理对于线弹性体，我们可以定义余能为 ()其中是单位体积的弹性应变余能，其他各个表达式的含义见前面。最小余能原理 在所有静力许可应力中，弹性力学的精确解使上述的余能最小。证明: 假设是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件，再令是静力许可应力，他们满足平衡方程和力边界条件。记精确解和静力许可应力之差为 ()那么对应静力许可应力的余能为 ()其中由于其中应力增量满足 ()()这里已用到。根据前面的恒等式和， ()因为是对称正定矩阵，因此 ()反过来讲, 使得总余能取到最小值的静力许可应力就是弹性力学