弹性力学li2011-13

1、弹性力学弹性力学薄板是一种常见的工程构件形式。薄板是一种常见的工程构件形式。在机械、航空和土建工程中应用广泛。在机械、航空和土建工程中应用广泛。13 13 薄板小挠度弯曲问题薄板小挠度弯曲问题板作为工程构件在工程结构设计中有广泛板作为工程构件在工程结构设计中有广泛的应用。的应用。板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面13.1 有关概念和附加假定第13章 薄板小挠度弯曲问题13.1 有关概念和附加假定（1）基本概念平板： 板面：侧面：厚度：中面：薄板：纵向荷载、横向荷载弹性曲面：挠度：薄板的小挠度弯曲：挠度小于

2、厚度的1/51/10 本章所研究的对象坐标系的建立坐标系的建立xyzt/2t/2中面（1/801/100）t/b（1/51/8）薄板几何特征：几何特征： （1/801/100）t/bt，所以， 在数值上最大，是主要应力； 较小，是次要应力； 更小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要计算 ， 一般无需计算。xyyx,zyzx,zyxQ,QxyyxMMM,)1 ()21(2),4(6),4(612,12,122223223333tztzqzttQzttQztMztMztMzyyzxxzxyyxxyyyxx第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件（4）内力与荷载的关系 平衡微分方程

3、从薄板中取一从薄板中取一微分体微分体，根据其平衡，根据其平衡条件建立，为了清楚，只画中面。条件建立，为了清楚，只画中面。其中，其中，荷载及剪力用力矢表示荷载及剪力用力矢表示；弯弯矩及扭矩，按照右手螺旋法则用矩矩及扭矩，按照右手螺旋法则用矩矢表示矢表示。根据空间问题的平衡条件：第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件（4）内力与荷载的关系 平衡微分方程 根据平衡条件推出的，说明横向根据平衡条件推出的，说明横向剪力剪力 是维持板的平衡所必需的，是维持板的平衡所必需的，不能忽略，这也说明剪应力不能忽略，

4、这也说明剪应力 和和 对于维持板的平衡是必不可少的。对于维持板的平衡是必不可少的。yxQ,Qyzxz(a)(b)(c)将(b)、(c)代入(a)，得：（13-16） 用弯矩、扭矩及荷载表示的平衡微分方程第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件（5）挠度与荷载的关系将（将（13-12）的前三式代入（）的前三式代入（13-16）中，整理得：）中，整理得：即： 弹性曲面微分方程，也是以挠度w表示的平衡方程（即基本微分方程的力学意义）qywyxwxwD24422244qwD4 表示薄板在横向荷载q作用下的静力平衡条件是一个二维四阶的线性偏微分方程，它共有8个待定积分常数，所以，一般有8个边界条件

5、来确定。由于上下面的表面条件已被满足，所以，8个边界条件由板的侧面边界给出。)(2222ywxwDMx)(2222xwywDMyyxwDMMyxxy2)1 (第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件（6）边界条件几何边界条件几何边界条件：在边界上给定边界挠度和边界切线方向的转角。：在边界上给定边界挠度和边界切线方向的转角。如固定边边界。如固定边边界。混合边界条件混合边界条件：在边界上同时给出广义力和广义位移。如简支：在边界上同时给出广义力和广义位移。如简支边边界。边边界。面力边界条件面力边界条件：在边界上给定横向剪力和弯矩。如自由边边界。：在边界上给定横向剪力和弯矩。如自由边边界。第13

6、章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件（6）边界条件以矩形薄板为例，讨论各种边界处的边界条件。以矩形薄板为例，讨论各种边界处的边界条件。OA固定边，固定边， OC简支边，简支边， AB、BC自由边自由边 固定边固定边OA (x=0) 边界上的挠度和转角应为零，边界上的挠度和转角应为零，所以边界条件有：所以边界条件有：0)( , 0)( , 0)(000 xxxywxww（不独立）若该固定边由于支座沉陷而发生挠度及转角，则上式右边将不等若该固定边由于支座沉陷而发生挠度及转角，则上式右边将不等于零而分别等于已知的挠度及转角：于零而分别等于已知的挠度及转角：)()(),()(00yxwywwxx第

7、13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件简支边简支边OC (y=0) 挠度为零，弯矩为零挠度为零，弯矩为零0)( , 0)(00yyyMw（13-18）若该简支边由于支座沉陷而发生挠度，并且还受有分布的力矩荷若该简支边由于支座沉陷而发生挠度，并且还受有分布的力矩荷载，则：载，则：DxMxwywxMMxwwyyyy)()()()(),()(02222000)( , 0)(02222012-13yyxwyww）式（0)( , 0)(02200)(022yyxwywwy第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件自由边自由边AB (y=b) 弯矩、扭矩、横向剪力为零弯矩、扭矩、横向剪力为零0)

8、( , 0)( , 0)(byybyyxbyyQMM基尔霍夫指出：基尔霍夫指出：薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力和原来的横向剪力合并。剪力和原来的横向剪力合并。基尔霍夫指出：基尔霍夫指出：薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力和原来的横向剪力合并。剪力和原来的横向剪力合并。 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 ，方向相反，相距dx的垂直力代替 dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A， RB(Myx)B最终

9、角点B出现未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力RB(Mxy)B，RC(Mxy)C 第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件自由边自由边AB (y=b) 弯矩、扭矩、横向剪力为零弯矩、扭矩、横向剪力为零0)( , 0)( , 0)(byybyyxbyyQMM齐尔西霍夫指出：齐尔西霍夫指出：薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力和原来的横向剪力合并，所以上面后两式可合并，经推导，向剪力和原来的横向剪力合并，所以上面后两式可合并，经推导，可得出：可得出：0)2( , 0)(23332222b

10、ybyyxwywxwyw0)()( , 0)(byyxybyybyyxMQVM用w可写成：（13-19）若在若在AB边上有分布的力矩荷载边上有分布的力矩荷载M(x)和分布的横向荷载和分布的横向荷载V(x)，则：，则：)()(),()(xVVxMMbyybyyDxVyxwywDxMxwywbyby)()2( ,)()(23332222利用式（13-12），得：第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件自由边自由边BC (x=a) 弯矩、扭矩、横向剪力为零弯矩、扭矩、横向剪力为零0)()( , 0)(axxyxaxxaxxyMQVM0)2( , 0)(23332222axaxyxwxwywxw

11、即：若作用分布的力矩荷载若作用分布的力矩荷载M(y)和分布的横向荷载和分布的横向荷载V(y) ，则：，则：)()(),()(yVVyMMaxxaxxDyVyxwxwDyMywxwaxax)()2(,)()(23332222第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件 两边相交的点两边相交的点可写为：由于在由于在BC边和边和AB边上扭矩的等效交换，在边上扭矩的等效交换，在B点没有抵消的集中反力点没有抵消的集中反力RBC(Mxy)B,及及RAB(Myx)B可得交角可得交角B点处总的集中反力：点处总的集中反力：BByxwDR)(1 (22（13-22）角点的集中反力均可用该式来求注意：集中剪力或集

12、中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号；负号；RA、RC以沿以沿z轴的正向时为正，而轴的正向时为正，而RO、RB以沿以沿z轴的负轴的负向时为正向时为正。BxyBxyByxBCBABMMMRRR)(2)()(第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件特殊：特殊：a. B点是自由边点是自由边AB和和BC的交点，且没有的交点，且没有支撑，即支撑，即B为一悬空点。则：为一悬空点。则：0)()(,22byaxByxwyxw0BRb. B点是自由边点是自由边AB和和BC的交点，有集中荷载的交点，有集中荷载P作用且沿作用且沿z轴正向，轴正向，则：则：PR

13、B)1 (2)()()(1 (2,222DPyxwyxwPyxwDbyaxBB第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件特殊：特殊：c. B点是自由边点是自由边AB和和BC的交点，且在的交点，且在B点有支柱支撑，则：点有支柱支撑，则：byaxBbyaxBwwww,)()(0)()(或或 支柱上端沉陷支柱上端沉陷求出求出w(x,y)后，即可根据（后，即可根据（13-22）求得支柱反力）求得支柱反力RB。第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件设矩形薄板的两边支撑在与板边刚性连接的梁上，若将梁看成设矩形薄板的两边支撑在与板边刚性连接的梁上，若将梁看成是板的弹性支座，板边即属于一种弹性支撑

14、边。是板的弹性支座，板边即属于一种弹性支撑边。若梁的弯曲刚度很大，扭转刚度很小，则作为若梁的弯曲刚度很大，扭转刚度很小，则作为简支边简支边；若梁的弯曲刚度和扭转刚度都很大，则板边可作为若梁的弯曲刚度和扭转刚度都很大，则板边可作为固定边固定边；若两者都很小，则作为若两者都很小，则作为自由边自由边。若梁的扭转刚度很小，但弯曲刚度既不很大也不很小，则此时，若梁的扭转刚度很小，但弯曲刚度既不很大也不很小，则此时，板边的挠度就等于梁的挠度，板边绕板边的挠度就等于梁的挠度，板边绕y轴的转角就是梁横截面的轴的转角就是梁横截面的扭转角，则扭转角，则边界条件为：边界条件为：弯矩为零，板边的分布剪力等于梁所受的分

15、布荷载。弯矩为零，板边的分布剪力等于梁所受的分布荷载。弹性支撑边弹性支撑边第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件如图：如图：弹性支撑边弹性支撑边yxABCOabpVMxxxx00)( , 0)(p为梁所受的分布荷载，以向下为正。为梁所受的分布荷载，以向下为正。由材力结论：由材力结论：pywEIx044)(有：有：0)2(00442333044xxxywDEIyxwxwywEIV同理：同理：0)2( :442333axywDEIyxwxwax第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件例例1 矩形板的支撑与承受的荷载如图所示，试写出用挠度表示矩形板的支撑与承受的荷载如图所示，试写出用挠

16、度表示的边界条件。的边界条件。 例题例题a. 固定边固定边OAc. 自由边自由边BC0)( , 0)(00 xxxww000)( , 0)(MMwyyyb. 简支边简支边OC002222)(MxwywDy0)( , 0)(axxaxxVM0)2( , 0)(23332222axaxyxwxwywxw即：即：第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件 例题例题d. 自由边自由边AB023332222)2(, 0)(qyxwywDxwywbyby即：即：0)( , 0)(qVMbyybyye. 角点支撑角点支撑0)(,byaxw第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件例例2 四边简支矩形

17、薄板如图，角点四边简支矩形薄板如图，角点B由于支撑构件的沉陷而发生由于支撑构件的沉陷而发生挠度挠度 ，不计弯曲形变，写出边界条件。，不计弯曲形变，写出边界条件。 例题例题 AB0)( ,)(byybyMxawBCyxABCOab0)( ,)(axxaxMybwOA0)( , 0)(00 xxxMwOC 0)( , 0)(00yyyMw角点角点Bbyaxw,)(第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件 例题例题设设xyabw则有：则有：yxABCOab, 0, 0, 0, 0)1 (, 0, 0yxyxyxxyyxVVQQabDMMMM代入以上边界条件的表达式，可知，边界条件也均可满足。代

18、入以上边界条件的表达式，可知，边界条件也均可满足。并且满足：并且满足：所以所以)0(04qwxyabw为正确解答。为正确解答。第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件 例题例题yxABCOab注意注意 虽然分布反力为零，但集中反力存虽然分布反力为零，但集中反力存在。在。由（由（13-22）式：）式：abDyxwDRBB)1 (2)(1 (22并且：并且：abDRRRCAO)1 (2其中：其中：RORB与与 方向相同；方向相同；RARC与与 方向相反。方向相反。第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件 例题例题第13章 薄板小挠度弯曲问题13.3 边界条件13.6 简支边矩形薄板的纳

19、维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题13.6 纳维叶解法 适用于四边简支的矩形薄板设四边简支的矩形薄板，受横向分布荷载q(x,y)作用，求其挠度及内力。解：其挠度方程为：qwD4即：即：(a)Dqywyxwxw4422244213.6 简支边矩形薄板的纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题其边界条件为：13.6 纳维叶解法13.6 简支边矩形薄板的纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题 适用于四边简支的矩形薄板(b)13.6 纳维叶解法Dyxqywyxwxw),(24422244(a)13.6 简支边矩形薄板的纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题将（b）代入（a）中：(c)将q也展成与左边同样的重三角级数，即：因为q(x,y)为已知，所以可求出Cmn。13.6 纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题（1）薄板受均布荷载q0或或则：继而用（13-12）求得内力。(d)13.6 纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题（2）13.6 纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题（2）13.6 纳维叶解法第13章 薄板小挠度弯曲问题（2）13.6 纳维叶解法注：注：第13章 薄板小挠度弯曲问题13.6 纳维叶解法纳维叶解法纳维叶解法缺点：缺点：适用范围窄，只适用于四边简支的矩形薄板，而且适用范围窄，只适用于四边简支的矩