立体几何高考压轴选择题

1、精选优质文档-倾情为你奉上1已知棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图如图，若正三棱柱ABCA1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为（）ABCD【分析】根据所给视图，用排除法可得【解答】解：四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线若为D，则长应为，而不是1故选：B【点评】本题考查三视图，主要是考查空间想象能力，为基础题2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）AD1O平面A1BC1BD1O平面MACC异面直线BC1与AC所成的角为60

2、°DMO平面ABCD【分析】在A中，取A1C1中点E，则D1OBE，从而D1O平面A1BC1；在B中，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D1O平面MAC；在C中，由ACA1C1，得BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由A1C1B是正三角形，得异面直线BC1与AC所成的角为60°；在D中，MB平面ABCD，MOMBM，故MO与平面ABCD不垂直【解答】解：在A中，取A1C1中点E，则D1OBE，D1O平面A1BC1，BE平面A1BC1，D1O平面A1BC1，故A正确；在B中，以D为原点，DA，DC，DD1所在直

3、线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则O（1，1，0），D1（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），M（2，2，1），（1，1，2），（0，2，1），（2，2，0），0，0，D1OAM，D1OAC，D1O平面MAC，故B正确；在C中，ACA1C1，BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，又A1C1B是正三角形，异面直线BC1与AC所成的角为60°，故C正确；在D中，MB平面ABCD，MOMBM，故MO与平面ABCD不垂直，故D错误故选：D【点评】本题考查三有形面积和四边形面积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

4、置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题3已知A，B，C三点都在表面积为100的球O的表面上，若AB4，ACB60°则球内的三棱锥OABC的体积的最大值为（）A8B10C12D16【分析】由题意画出图形，由已知求出球O的半径，再由正弦定理求出三角形ABC外接圆的半径，利用勾股定理求O到平面ABC的距离，利用余弦定理及不等式求ACBC的最大值，可得三角形ABC面积的最大值，代入棱锥体积公式求解【解答】解：由球O得表面积为100，得球半径R5，AB4，ACB60°A，B，C三点所在圆的半径r×4，球心O到平面ABC的距离d在ABC中，由，得48AC2+BC2ACB

5、CACBC，则球内的三棱锥OABC的体积的最大值为故选：C【点评】本题考查球心到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1CCF，则当EBC的面积取得最小值时，（）ABCD【分析】取AB的中点G，由题意得CF平面B1D1G，当点E在直线B1G上时，D1ECF，当EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，由此能求出【解答】解：如图所示，取AB的中点G，由题意得CF平面B1D1G，当点E在直线B1G上时，D1ECF，设

6、BCa，则，当EBC的面积取最小值时，线段EB的长度为点B到直线B1G的距离，线段EB长度的最小值为，故选：D【点评】本题考查三有形面积和四边形面积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题5如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为（）A8B8+4C6+4D6【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：4×6+4故选：C【

7、点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键也的难点6“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（）ABC53D【分析】画出几何体的直观图利用柱体的体积，转化求解即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：下部是四棱台，上部是棱柱挖去一个小棱柱的组合体几何体的体积为：4×1.5×41×2×4+×1×（16+9

8、+）故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点P在平面A1B1C1内运动，使得二面角PABC的平面角与二面角PBCA的平面角互余，则点P的轨迹是（）A一段圆弧B椭圆的一部分C抛物线D双曲线的一支【分析】本题对三棱柱ABCA1B1C1没做特殊要求，可以用特值法，假设三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且底面为直角三角形，ABC为直角，计算可得【解答】解：假设三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且底面为直角三角形，ABC为直角，三棱柱高为h以B为坐标原点，AB所在直线建立如图坐标系，PO平行于z轴，交xBy坐

9、标面与点O，平面PODD1垂直于x轴，交AB于D点，交A1B1于D1点，平面POEE1垂直于y轴，交BC与E点，交B1C1于E1，设P点坐标为（x，y，h）则二面角PABC的平面角为PDO，二面角PBCA的平面角为PEO，PDO+PEO90°，tanPDOcotPEO，POxBy坐标面，POOD，POOE，tanPDO，cotPEO，PO2OD×OE，OD×OEh2，由P点与D，E，D1，E1D的位置关系 可知，xOD，yOE，xyh2，xyh2，P点轨迹为双曲线的一支（x0，y0的一支）故选：D【点评】本题考查三角形的外接圆和矩形的外接圆的半径之和的最大值的求法

10、，考查直三棱柱、球、圆的性质、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题8九章算木中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A12B8C24D36【分析】利用视图得长方形的长和宽，由体积公式求得高，再结合长方体外接球直径为其体对角线长即可得解【解答】解：由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，故四棱锥的高为4，外接球的直径为，S球4×936故选：D【点评】此题考查了三视图，棱锥外接球问题，难度不大9在长方体ABCDA1B1C

11、1D1中，ADDD11，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为（）AB1CD【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解【解答】解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，设BRAC，直线D1P与平面EFG不存在公共点，D1P平面EFGHQR，易知平面ACD1平面EFGHQR，PAC，且当P与R重合时，BPBR最短，此时PBB1的面积最小，由等积法：BR×ACBE×BF，BP，又BB1平面ABCD，BB1BP，PBB1为

12、直角三角形，PBB1的面积为：，故选：C【点评】此题考查了线面平行，面面平行，有探索性质，设计较好，难度适中10设A，B，C，D是球面上四点，已知，球的表面积为32，则四面体ABCD的体积的最大值为（）ABCD【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的内接四面体高的最大值，则答案可求【解答】解：根据题意知，ABC是一个直角三角形，其面积为6，其所在球的小圆的圆心在斜边BC的中点上，设小圆的圆心为G，球的表面积为32，球的半径为r，则4R232，R，若四面体ABCD的体积的最大值，底面积SABC不变，则高最大，就是D到底面ABC距离最大值时，hR+四面体ABCD的体积

13、的最大值为故选：A【点评】本题考查球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，是中档题11如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1边长为2，N为CC1的中点，M为线段上的动点（不含端点），若过点A，M，N的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段BM长度的取值范围是（）A（0，1B1，2）C（0，D，2）【分析】当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，从而当0BM1时，截面为四边形，当BM1时，截面为五边形，或六边形，由此能求出线段BM的取值范围【解答】解：解：正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B，C两点），点N

14、为线段CC1的中点，平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为四边形，依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当0BM1时，截面为四边形，当BM1时，截面为五边形，或六边形，故线段BM的取值范围为（0，1 故选：A【点评】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12已知长方体ABCDA1B1C1D1内接于半球O，且底面ABCD落在半球的底面上，底面A1B1C1D1的四个顶点落在半球的球面上，若半球的半径为3，ABBC，则该长方体体积的最大值为（）A12B6C48D

15、72【分析】设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径ra，利用勾股定理h2+r29，得出a2182h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值【解答】解：设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为2ra，所以，ra由勾股定理得h2+r232，即h2+a29，得a2182h2，其中0h3，所以，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为Va2h（182h2）h2h3+18h，其中0h3，构造函数f（h）2h3+18h，其中0h3，则f（h）6h2+18，令f（h）0，得h当0h时，f（h）0；当h

16、3时，f（h）0所以，函数Vf（h）在h处取得极大值，亦即最大值，则Vmaxf（）12因此，该正四棱柱的体积的最大值为12故选：A【点评】本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题13已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（）A2BCD【分析】根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长【解答】解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何

17、体，如图所示；则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为2故选：D【点评】本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°B无论点F在BC1上怎么移动，都有A1FB1DC当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且2D当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°【分析】先分析A，B，C都正确，故用

18、排除法可得选D【解答】解：对于选项A，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为，最小角大于30°，故A正确；对于选项B，在正方形中，DB1面A1BC1，又A1F面A1BC1，所以A1FB1D，故B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，根据三角形A1DE三角形FB1E，可得2，故选C也正确；故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、

19、数形结合思想，是中档题15我国古代名著张丘建算经中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈10尺）（）A1946立方尺B3892立方尺C7784立方尺D11676立方尺【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积【解答】解：如图所示，正四棱锥PABCD的下底边长为二丈，即AB20尺，高三丈，即PO30尺；截去一段后，得正四棱台ABCDABCD，且上底边长为AB6尺，所以，解得

20、OO21，所以该正四棱台的体积是V×21×（202+20×6+62）3892（立方尺）故选：B【点评】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，是基础题16如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1MCP，则BCM面积的最小值为（）A8B4CD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BCM面积取最小值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则P（4，0，2），C（0，4，0），D1（

21、0，0，4），B（4，4，0），设M（4，a，b），则（4，a，b4），（4，4，2），D1MCP，164a+2b80，解得2ab4，M（4，a，42a），|BM|，a2，即M（4，2，0）时，BCM面积取最小值S4故选：B【点评】本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题17九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除ABCA1B1

22、C1中，AA1BB1CC1，AA1a，BB1b，CC1c，两条平行线AA1与BB1间的距离为h，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h，则该羡除的体积为V（a+b+c）已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A3BCD2【分析】根据三视图求出羡除的体积V（a+b+c）中所需数据，代入得答案【解答】解：由三视图还原原几何体知，羡除ABCA1B1C1中，ABEF，底面ABCD是矩形，ABCD2，EF1，平面ADE平面ABCD，AB，CD间的距离hAD2，如图，取AD中点G，连接EG，则EG平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为h1，该羡除的体积为V（a+b+c）故选：B【

23、点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题18已知四棱锥MABCD，MA平面ABCD，ABBC，BCD+BAD180°，MA2，BC2，ABM30°若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A20B22C40D44【分析】先由题中条件得知四边形ABCD四点共圆，利用锐角三角函数计算出AB，再由勾股定理得出四边形ABCD的外接圆直径AC，再利用公式可得出球的直径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：由于BCD+BAD180°，则四边形ABCD四点共圆，由于MA平面ABCD，AB平面ABCD，所以，MAAB

24、，在RtABM中，ABM30°，MA2，所以，ABBC，所以，四边形ABCD的外接圆直径为，因此，四面体MACD的外接球直径为，所以，该球的表面积为4R2×（2R）240故选：C【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于确定底面四点共圆，并利用合适的方法求出外接圆的半径，考查计算能力，属于中等题19已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若m，mn，则n；若m，n，则mn；若m，n是异面直线，m，m，n，n，则；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中为真命题的是（）ABCD【分析】在中，n与的位置关系不确定；在中，由线面垂直、线面平行

25、的位置关系得mn；在中，由面面平行的判定定理得；在中，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面的逆否命题是真命题【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，m，mn，则n与的位置关系不确定，故错误；在中，若m，n，则由线面垂直、线面平行的位置关系得mn，故正确；在中，若m，n是异面直线，m，m，n，n，则由面面平行的判定定理得，故正确；在中，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面的逆否命题为：若m，n垂直于同一平面，则m，n平行，是真命题，故正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题2

26、0九章算术是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中商功有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子（）两A40B42C44D45【分析】推导出2R60，解得R10（尺），求出这堆大豆的体积V350（立方尺），由此能求出结果【解答】解：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，圆周率约为3，2R60，解得R10（尺），这堆大

27、豆的体积V350（立方尺），350÷2.5140（斛），主人欲卖掉该堆菽，则主人可得银子：42（两）故选：B【点评】本题考查圆锥的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21如图，已知正方体ABCDEFGR的上底面中心为H，点O为AH上的动点，P为FG的三等分点（靠近点F），Q为BF的中点，分别记二面角POQR、QORP、ROPQ的平面角为、，则（）ABCD【分析】以E为原点，EF为x轴，ER为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDEFGR的棱长为3，设AOAC，利用向量法能比较三个二面角、的大小

28、【解答】解：以E为原点，EF为x轴，ER为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDEFGR的棱长为3，设AOAC，则P（3，1，0），O（1，1，3），Q（，0，0），R（0，0，3），（，1，3），（1，1，0），（2，0，3），设平面OQP的法向量（x，y，z），则，取z2，得（3，2），设平面OQR的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），cos0.9835；设平面OPR的法向量（x，y，z），则，取x3，得（3，3，2），cos0.9798；cos0.9949，故选：A【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

29、求解能力，考查数形结合思想，是中档题22如图，正方体AC1的棱长为a，作平面（与底面不平行）与棱A1A，B1B，C1C，D1D分别交于E，F，G，H，记EA，FB，GC，HD分别为h1，h2，h3，h4，若h1+h22h3，h3+h43h3，则多面体EFGHABCD的体积为（）Aa2h1Ba2h2Ca2h3Da2h4【分析】由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得四边形EFGH是平行四边形，连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点O1，连结OO1，则h1+h2h3+h42OO1，由两个多面体EFGHABCD可以拼成都市个长方体，能求了多面体EFGHABCD的体积【解答】解：由正方体的对面

30、平行及面面平行的性质定理得：EFGH，EHFH，四边形EFGH是平行四边形，连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点O1，连结OO1，则h1+h2h3+h42OO1，h1+h22h3，h3+h43h3，两个多面体EFGHABCD可以拼成都市个长方体，多面体EFGHABCD的体积为：V故选：C【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题23我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的

31、堑堵ABCA1B1C1，ACBC，A1A2，当堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积为时，则阳马BA1ACC1体积的最大值为（）A2B4CD【分析】由已知求出三棱柱外接球的半径，得到A1B，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值【解答】解：堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积为，其外接球的半径R，即，又A1A2，AB2则AC2+BC24即阳马BA1ACC1体积的最大值为故选：D【点评】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题24我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势

32、既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）ABCD【分析】根据圆锥侧面积展开图是半径为2的半圆，计算出圆锥的体积，由此能求出三棱锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2r，解得r1，圆锥的高h，圆锥的体积也即三棱锥的体积为：故选：D【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查圆锥侧面展开图与底面圆的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查中国古代数学文化，是中档题25如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SCD底面ABCD，SCD为等腰直