23双曲线的简单几何性质

1、2.3.1双曲线的双曲线的简单几何性质简单几何性质高二数学高二数学 选修选修2-1 第第二二章章 圆锥曲线圆锥曲线与方程与方程第第二二课时课时标准方程标准方程范范 围围对对 称称 性性顶顶 点点焦焦 点点渐渐 近近 线线离离 心心 率率12222 byax12222 bxayxa或或x-aya或或y-a(-a,0), (a,0)(0,-a), (0，a)xaby xbay 222)1(baceace (-c,0), (c,0)(0,-c), (0,c)关于关于x轴轴、y轴轴和和原点原点对称对称 .cos1AOBace );3 , 5(, 211 Me经过点经过点）离心率）离心率（、求双曲线的标

2、准方程、求双曲线的标准方程myx 222.避免讨论，设为避免讨论，设为解解1. 12222 ayax设两种等轴双曲线，设两种等轴双曲线，解解只有一种有解。只有一种有解。12222 axay1161622 yx16 m);129(,32)2( ，经过点经过点渐近线的方程是渐近线的方程是xy解解: 可以设方可以设方程程 4922yx再代点再代点.可得可得, 2 281822 yx注：注：“共渐近线共渐近线”的双曲线的应用的双曲线的应用程为程为共渐近线的双曲线系方共渐近线的双曲线系方与与12222 byax，为参数为参数，)0( 2222byax0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a

3、0）,求点求点M的轨迹的轨迹.解：设解：设d是点是点P到直线的距离到直线的距离, 根据题意得根据题意得accaxycx |)(222化简，得化简，得 )()(22222222acayaxac ca, c2 a2,令令(c2-a2)=b2 (b0)双曲线的标准方程双曲线的标准方程)( 12222222bacbyax 得得:222222bayaxb 的两条准线的两条准线是双曲线是双曲线1:22222 byaxcaxl双曲线的第二定义：双曲线的第二定义： 到到定点定点F的距离与到的距离与到定直线定直线l的距离之的距离之比为常数比为常数 的点的轨迹是双的点的轨迹是双曲线曲线, 其中其中, 定点定点F叫

4、做双曲线的焦点叫做双曲线的焦点,定直定直线线l 叫做双曲线的准线叫做双曲线的准线, 常数常数e是双曲线的是双曲线的离心率离心率 .), 1 ( ace1,| eelMMFMP的距离的距离到到双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：12222 byax对于对于 , 相对于左焦点相对于左焦点对应着左准线对应着左准线 ) 0 ,(1cF caxl21: 相对于右焦点相对于右焦点 对应着右准线对应着右准线 ) 0 ,(2cFcaxl22: 位置关系：位置关系： 02 caaxOyFFMl l12222 bxay对于对于 , 相对于下焦点相对于下焦点对应着下准线对应着下准线 ), 0(1cF cayl21:

5、 相对于上焦点相对于上焦点 对应着上准线对应着上准线 ) 0 ,(2cFcayl22: 位置关系：位置关系： 02 caayF1F2双曲线的焦半径双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径的连线段，叫做双曲线的焦半径. 21,FF212222,),0, 0( 1FFbabyax 对于对于是其左右焦点是其左右焦点, 由第二定义：由第二定义： ,11edMF ,201ecaxMF 01xeaMF 同理同理 02xeaMF 焦点在焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式轴上的双曲线的焦半径公式: 0201exaMFexaMF焦点在焦点

6、在y轴上的双曲线的焦半径公式轴上的双曲线的焦半径公式: 0201eyaMFeyaMF(其中其中 分别是双曲线的下分别是双曲线的下, 上焦点上焦点)21,FF焦点弦：焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦. )(221xxeaAB 过右焦点与右支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时： )(221xxeaAB 设两交点设两交点),(),(2211yxByxA当双曲线焦点在当双曲线焦点在过左焦点与左支交于两点时：过左焦点与左支交于两点时： x轴上时轴上时: 当双曲线焦点在当双曲线焦点在y轴上时过下焦点与下支交于轴上时过下焦点与下支交于两点时：两点时：

7、)(221yyeaAB 过上焦点与上支交于两点时：过上焦点与上支交于两点时： )(221yyeaAB 通径：通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.应用焦点弦公式得应用焦点弦公式得 abd22 与与 12222 byax离心率相同的双曲线方程为离心率相同的双曲线方程为 ) 0( 1)()(2222 kkbykax) 0(2222 byax2. 共轭双曲线：共轭双曲线： 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线. 与与 12222 byax12

8、222 byax共轭共轭注意的区别：三量注意的区别：三量a, b, c中中a, b不同不同(互换互换)c相同相同(1)性质：共用一对渐近线性质：共用一对渐近线, 双曲线和它的共轭双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上双曲线的焦点在同一圆上;(2)确定双曲线的共轭双曲线的方法确定双曲线的共轭双曲线的方法: 将将1变为变为1; (3)共用同一对渐近线共用同一对渐近线y=kx的双曲线的方程具的双曲线的方程具有什么样的特征：有什么样的特征： 可设为可设为 当当 时焦点在时焦点在x轴轴, 当当 时焦点在时焦点在y轴上轴上 ),0(1222 kyx0 0 例例2.已知双曲线已知双曲线 的离心率的离心率 左

9、、右焦点分别为左、右焦点分别为F1, F2，左准线为，左准线为l, 能否在能否在双曲线的左支上找一点双曲线的左支上找一点P，使得，使得|PF1|是是P到到l的的距离距离d与与|PF2|的等比中项的等比中项?12222 byax, 21 e解：设在左支上存在解：设在左支上存在P点，使点，使|PF1|2=|PF2|d， 由双曲线的第二定义知由双曲线的第二定义知 ,|121ePFPFdPF 即即 |PF2|=e|PF1| 再由双曲线的第一定义再由双曲线的第一定义, 得得|PF2|PF1|=2a 由，解得由，解得 ,121 eaPF,122 eaePF,121 eaPF,122 eaePF|PF1|+

10、|PF2|F1F2|， ,21212ceaeea 即即 e22e10， 解得解得 , 2121 ee1 , 211 e与已知与已知 矛盾矛盾, 21 e在双曲线的左支上找不到点在双曲线的左支上找不到点P，使得，使得 |PF1|是是P到到l的距离的距离d与与|PF2|的等比中项的等比中项. 例例3.已知双曲线已知双曲线2x2y2=2与点与点P(1, 2), 过过P点作点作直线直线l与双曲线交于与双曲线交于A、B两点两点, 若若P为为AB中点中点.（1）求直线）求直线AB的方程；的方程；（2）若）若Q(1, 1), 证明不存在以证明不存在以Q为中点的弦为中点的弦.解解: (1) 设过设过P(1,2

11、)点的直线点的直线AB方程为方程为 y2=k(x1)，代入双曲线方程得，代入双曲线方程得 (2k2)x2+2k(k2)x(k44k+6)=0. 设设A(x1, y1), B(x2, y2), 则有则有x1+x2=, 22) 2(22 kkk解得解得k=1. 又又k=1时，时，=160， 从而直线从而直线AB方程为方程为 xy+1=0. （2）证明：按同样方法求得）证明：按同样方法求得k=2， 而当而当k=2时，时，0， 所以这样的直线不存在所以这样的直线不存在. 22-1169xy1005|4,4PFexax 例例4. 已知点已知点F1、F2分别为双曲线分别为双曲线 的的左、右焦点，点左、右焦

12、点，点P为双曲线右支上任意一点为双曲线右支上任意一点, 试试推断对任意给定的点推断对任意给定的点P, 在在x轴上是否存在两个不轴上是否存在两个不同的点同的点M，使，使|PM|2=|PF1|PF2|成立？成立？解：解：设点设点P(x0, y0) (x04), M(m, 0), 则则2005|-4,4PFex ax2200-1.169xy且且222222200000025|(-)(-)9(-1)-2-9.1616xPMxmyxmxmxm即即m2-2mx0+7=0 (*)因为因为=4x02-28416-28=360，所以方程所以方程(*)恒有两个不等实根恒有两个不等实根.故对任意一个确定的点故对任意

13、一个确定的点P, 在在x轴上总存在两个不轴上总存在两个不同的点同的点M，使，使|PM|2=|PF1|PF2|成立成立.222222200000025|(-)(-)9(-1)-2-9.1616xPMxmyxmxmxm212| | | ,PFPFPM由由2220002525-16-2-9,1616xxmxm得得 解：解：巧设方程巧设方程, 运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为

14、双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4, (3)求与椭圆求与椭圆181622 yx有共同有共同焦点焦点, 渐近线方渐近线方03 yx的双曲线方程的双曲线方程.程为程为 解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上, 且坐标为且坐标为），（，022)022(21FF 22, cx且且轴轴上上双双曲曲线线的的焦焦点点在在双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 ，而而22233bacab 822 ba 解出解出2622 ba，12622 yx解解2. c2=8, 由于共焦点由于共焦点, 设双曲线为设双曲线为),0( 182222 mmymx3382 mm, 62 m解

15、得解得所求方程为所求方程为12622 yx (3)求与椭圆求与椭圆181622 yx有共同有共同焦点焦点, 渐近线方渐近线方03 yx的双曲线方程的双曲线方程.程为程为2. 已知已知F1、F2分别是双曲线分别是双曲线 的左、右焦点，的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点为双曲线左支上任意一点.若若 的最小值为的最小值为8a, 则双曲线的离心率的则双曲线的离心率的取值范围为取值范围为( )A. (1, 3 B. (0, 3 C. (1, 2 D. (1,+)解：解：由双曲线的定义知，由双曲线的定义知， 此时此时|PF1|=2a，|PF2|=4a.2222-1xyab221|PFPF 222112

16、111(2 )(2 2|)|8|PFaaPFPFaPFPFPF ，如图如图, |PF1|+|PF2|F1F2| 成立成立, 即即2a+4a2c，即即6a2c，则，则e= .又双曲线的离心率又双曲线的离心率e1，综合得双曲线离心率的取值综合得双曲线离心率的取值范围为范围为(1, 3, 故选故选A.ca点评：点评：求离心率的取值范围求离心率的取值范围, 一是先把条件转化一是先把条件转化为关于为关于a、c的式子的式子,然后化为然后化为 的式子的式子; 二是结合一些隐含性质二是结合一些隐含性质, 如本题中的三角形两如本题中的三角形两边之和大于第三边边之和大于第三边, 双曲线的离心率的范围等双曲线的离心

17、率的范围等.ca 3. 已知已知F是双曲线是双曲线 的左焦点的左焦点, A(1, 4),P是双曲线右支上的动点，则是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值的最小值为为_.解：解：注意到点注意到点A在双曲线的两支之间在双曲线的两支之间, 且双曲线且双曲线右焦点为右焦点为F(4, 0),于是由双曲线性质于是由双曲线性质 |PF|-|PF|=2a=4, 而而|PA|+|PF|AF|=5, 两式相加得两式相加得|PF|+|PA|9, 当且仅当当且仅当A、P、F三点共线时等号成立三点共线时等号成立.22-1412xy94. 设离心率为设离心率为e的双曲线的双曲线C: 的右焦点为的右焦点为F, 直线直线l过点过点F且斜率为且斜率为k, 则直线则直线l与与双曲线双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是的左、右两支都相交的充要条件是( ) A. k2-e21 B. k2-e21 D. e2-k21, 5. 如果双曲线如果双曲线 上一点上一点P到它的右到它的右焦点的