常见连续时间信号的频谱

1、12022-3-7这些都应当是这些都应当是已知的基本公式已知的基本公式2022-3-72，0)(e)(tutftttfFtde )()j (j为为221)j (F为为)arctan()(tttdeej0j10)j(e)j(t2022-3-73，0)(e)(tutft221)j (F)arctan()(及其及其与与t01)(tf0/1)j (F0)(2/2/2022-3-74为为tttttfFtdcose2dcos)(2)j (00222)j (F0)(222220)cossin(e2ttt为为2022-3-75d d(t)及其及其ttttftFttde )(de )()(jjdd10t)(td

2、) 1 (01)j (F2022-3-76 不满足不满足，可采用极限的，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。方法求出其傅里叶变换。e1 lim 1 |0 tFF2lim220)(2d0002lim2202)arctan(2d2222022-3-77对照对照、时频曲线可看出时频曲线可看出: 0t10)2()j (F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。及其及其2022-3-780 10 00 1)sgn(tttte )sgn(lim)sgn(0ttFtFtttFtttttdeedee

3、) 1(e )sgn(j0j00)j(0)j(jjtttteej1j1j22022-3-790 10 00 1)sgn(tttt)j (F02/2/)(0的的和和2022-3-710及其及其0t)(tu1)j (F0)(2/2/)(0)()(21)()(21)(tututututu)sgn(2121tdj1)()(tuF2022-3-711)(e0jtt)(2de1jdtt由)(2dee 0)j(j00dtFtt得)(2dee 0)j(j00dtFtt同理同理:)2(00)j (F2022-3-712)()( )ee (21cos00jj000ddFttttt0cos100)()(0)j (F

4、及其及其2022-3-713)()(j)ee (j21sin00jj000ddFttttt0sin100) () (0)j (F0)(2/2/及其及其2022-3-714两边同取傅里叶变换两边同取傅里叶变换 tnnnTCtf0je)(e)j ()(0jtnnnTCFFtfF)(2)(0dnCtfFnnT)2(0Te 0jtnnnFC2022-3-715 因为因为为周期信号，先将其展开为指数形式为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数：傅里叶级数：ntnnTTnTtt0je1)()(dd)(12)(0ddnTtFnT)(00dnnnTnTtt)()(dd2022-3-716)(12)(0ddn

5、TtFnT)(00dnnnTnTtt)()(dd000)(tFTd)(00TT)(tTd) 1 (t 及其及其2022-3-717)(XR)(XG4.34.3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等变换的性质等2022-3-718 2022-3-719 线性性质线性性质 位移性质位移性质 微分性质微分性质1212( )( )( )( )f tf tf tf tFFF00 () ( )j tf ttef tFF( )( )() ( )nnftjf tFF 2022-3-720，；若)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF)

6、j ()j ()()(2121bFaFtbftafF则其中其中a和和b均为常数。均为常数。2022-3-721)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实函数时，有为实函数时，有|F(j )| = |F( j )| ， ( ( ) ) ( ( ) ) )j (*)(*FtfF)(je)j ()j (FF)j (j)j (IRFF)j()j(),j()j (IIRRFFFFF(j ) )为复数，可以表示为为复数，可以表示为2022-3-722)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实偶函数时，有为实偶函数时，有F(j ) = F*(j ) ， F(j )是是

7、 的的实偶实偶函数函数 )j (*)(*FtfF当当f(t)为实奇函数时，有为实奇函数时，有F(j ) = F*(j ) ， F(j )是是 的的虚奇虚奇函数函数 2022-3-723)j ()(FtfF若0j0e)j ()(tFFttf则式中式中t0为任意实数为任意实数tttfttfFtde )()(j00令令x = t t0，则，则dx = dt，代入上式可得，代入上式可得xxfttfFxtde )()()(j000je)j (tF2022-3-724试求图示延时矩形脉冲信号试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频的频谱函数谱函数F1(j )。0A2t2)(tf0At)(1tfT 无延时且宽

8、度为无延时且宽度为 的的f(t) 如图，如图，)2(Sa)j ( AFTFFj1e )j ()j ()()(1TtftfTAje )2(Sa因为因为故，由故，由可得可得其对应的频谱函数为其对应的频谱函数为2022-3-725)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则tatfatfFtde )()(j)j (1de )(1)(jaFaxxfaatfFxa令令 x = at，则，则 dx = adt ，代入上式可得，代入上式可得2022-3-72600tAt0t0)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则2022-3-727后语音信号的变化后语音信号的变化 f (t) f (1

9、.5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段语音信号一段语音信号(“对了对了”) 。抽样频率。抽样频率 = 22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2022-3-728)(tf220At)(f220A)j ()(FtfF若)(2)j (ftFF则A2424F(j)At2424F(jt)/22022-3-729若若 则则 )j ()(FtfF)( j e)(0j0FtfFtttftfFtttdee )(e)(jjj00式中式中 0为任意实数为任意实数由由定义有定义有ttftde

10、)()j(0)( j 0 F2022-3-730cos)(0ttfF e )(21e )(2100jjtttfFtfF sin)(0ttfF)( j 21)( j 2100FF)( j 2j)( j 2j00FF同理同理 e )(j21e )(j2100jjtttfFtfF2022-3-731试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相乘后信号的相乘后信号的。 )2(Sa)j ( AFcos)(0ttfF)( j 21)( j 2100FF应用应用可得可得 已知宽度为已知宽度为 的矩形脉冲信号对应的的矩形脉冲信号对应的为为2(Sa2(Sa2)0)0A2022-3

11、-732试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相乘后信号的相乘后信号的。 0)j (FA000)cos()(0ttfFA/20A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(2022-3-733若信号不存在直流分量即若信号不存在直流分量即F F(0)=0(0)=0)j ()(FtfF若)()0()j (j1d)(dFFfFt则)j (j1d)(FfFt则2022-3-734试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)110t110y(t)=p(t0.5)ttyttptftt)d(d)5 . 0()(利用时域利用时域)()0()

12、j (j1)j (dYYF5 . 0 je )5 . 0(Sa)j ()5 . 0(YtpF)(e )5 . 0(Saj15 . 0 jd由于由于2022-3-735试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)1210tf1(t)110tf2(t)110f(t)表示为表示为f1(t)+ f2(t)即即ttptftd)5 . 0(1)()(3e )5 . 0(Saj1)j (5 . 0 jdF2022-3-736若若则则)j ()(FtfF)j ()j (d)(dFttfF)j ()j (d)(dFttfnFnn2022-3-737试利用试利用求矩形脉冲信号的求矩形

13、脉冲信号的频谱频谱函数函数。 )2()2()( ddtAtAtf2j2jee)( AAtfF)j ()j ()( FtfF)2(Sa)2sin(2)j (AAF由上式利用由上式利用，得，得)2sin(j2 A因此有因此有)2sin(j2 A0(A)2/t2/)( tf(A)(tf220At2022-3-738试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)1210t110f (t)5 . 0()( tptfj0.5Sa(0.5 )eF 5 . 0 je )5 . 0(Saj1)j (F利用利用)(3e )5 . 0(Saj15 . 0 jd信号的信号的2022-3-7

14、39)j ()(FtfF若记 f (t)=f1(t)j ()(11FtfF则 dj)j ()()()()j (1FffF2022-3-740试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)1210t110f (t)()5 . 0()( 1tftptf5 . 0 j1e )5 . 0(Saj1)j (FF利用利用d5 . 0 je )5 . 0(Saj1)(3dj)j ()()()()j (1FffF与例与例4结果结果一致！一致！2022-3-741若若)j ()(FtfFnnnFnFtftd)j (dj)(ttfFtde )()j (jttfttfFttde)()j(

15、dedd)(d)j (djjttf tFtde)(d)j (djj将上式两边同乘以将上式两边同乘以j得得d)j (dj)(FtftF则2022-3-742试求试求的的。dj1)()(tuFj1)(ddj)(dttuF 已知已知为为:故利用故利用可得可得:21)(d2022-3-743)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF若)j ()j ()()(2121FFtftfF则ttfftftfFtde d)()()()(j2121d de )()(j21ttfft)j ()j (21FFde )j ()(j21Ff2022-3-744求如图所示信号的求如图所示信号的。)(*)()(22tptptf)(Sa4)j (2F)(2Sa)(2tp)j ()j ()()(2121FFtftfF由f(t)t22202022-3-745计算其计算其。)2( ,dee)()(522ttyttdee)()(522ttty)(e*)2(