等差数列的前n项和及其性质教案

1、精选优质文档-倾情为你奉上5、等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d(2)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数可得Snn2n.基础自测1判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和()(2)数列n2可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和()(3)若数列an的前n项和为Snn22n1，则数列an一定不是等差数列()解析(1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列n2不是等差数列，故不能用等差数列的前n项

2、和公式求和；(3)正确答案(1)×(2)×(3)2已知等差数列an的首项a11，公差d2，则前n项和S10() A20B40C60D80D由等差数列前n项和公式，S1010×1×10×9×(2)80.3已知等差数列an中，a12，a178，则S17_.解析S17×17×(28)85.答案854已知等差数列an中，a11，S864，则d_. 解析S88×1×8×7×d64，解得d2.答案25(2017·全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等

3、比数列，则an前6项的和为()A24 B3C3 D8解析：选A设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，则d2，所以an前6项的和S66×1×(2)24.6在等差数列an中，an>0，a7a44，Sn为数列an的前n项和，则S19_.解析：设等差数列an的公差为d，由a7a44，得a16d(a13d)4，即a19d8，所以a108，因此S1919×a1019×8152.答案：1527(2018·兰州诊断考试)已知等差数列an的前n项和

4、为Sn，若a12，a8a1028，则S9()A36B72C144 D288解析：选B法一：a8a102a116d28，a12，d，S99×2×72.法二：a8a102a928，a914，S972.8(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是()A20 B36C24 D72解析：选C由a2S34及a3S512，得解得a4S78a124d24.9(2016·北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.解析：a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2

5、.S66a1d6×6306.答案：6题型一与Sn有关的基本量的运算例1已知等差数列an中，(1)a1，d，Sn15，求n和a12；(2)a11，an512，Sn1 022，求公差d；(3)a16，a3a50，求S6.解(1)因为Snn··15，整理得n27n600.解得n12或n5(舍去)所以a12(121)×4.(2)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(3)由a3a52a40，得a40，a4a13d6，d2.故S66a115d6×615×(2)6.规律方法等差数列中基本量计算的两

6、个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用.跟踪训练1等差数列中：(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)an8n2，d5，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.解(1)由ana1(n1)d且a1105，d7，得994105(n1)×7，解得n128，Sn70 336.(2)an8n2

7、，a110，又d5，S2020a1×520×1010×19×51 150.(3)将d，n37，Sn629代入ana1(n1)d，Sn，得解得题型二等差数列前n项和的性质例2在等差数列an中. (1)a42，求S7；(2)S53，S107，求S15；(3)S10100，S10010，求S110.思路探究(1)利用a1a72a4；(2)根据S5，S10S5，S15S10成等差数列求S15；(3)根据所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S20S10，S30S20，S110S100成等差数列求解解(1)S7×7×

8、;(a1a7)×7×2a47a47×214.(2)数列S5，S10S5，S15S10成等差数列，即3,73，S157成等差数列，所以2×(73)3S157，解得S1512.(3)法一：设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1d.由已知得×10，整理得d，代入，得a1.所以S110110a1d110××110110.故此数列的前110项之和为110.法二：数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10×DS10010D22，所以S1

9、10S100S10(111)D10010×(22)120.所以S110120S100110.规律方法巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.若an为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.Sn.(3)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列，公差为d.若共有2n项，则S2nn(anan1)； S偶S奇nd；.若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.跟踪训练3两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解.题型三等差数列前n项和的最值探究问题1(1)等差数

10、列an的前n项和Snn24n，求Sn的最小值；(2)等差数列an的前n项和Snn23n，求Sn的最小值提示(1)Snn24n(n2)24，所以当n2时，Sn的最小值为4.(2)Snn23n，因为nN，所以当n2或n1时，Sn的最小值为S2S12.2(1)在等差数列an中，若a50，a60，则其前多少项的和最大？(2)在等差数列an中，若a50，a60，其前n项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值提示(1)前5项的和S5最大(2)因为a50，a60，故其公差d0，所以前n项和有最小值，其最小值为S5S6.3在等差数列an中，若d0，S100，则其前多少项的和最大？提示S10

11、5;10×(a1a10)5(a1a10)0，故a1a10a5a60，因为d0，所以a50，a60，所以S5最大例3在等差数列an中，a1018，前5项的和S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小值 解(1)由题意得得a19，d3，an3n12.(2)法一：Sn(3n221n)，当n3或4时，前n项的和取得最小值S3S418.法二：设Sn最小，则即解得3n4，又nN，当n3或4时，前n项和的最小值S3S418.母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S1515”改为“S5125”，其余不变，则数列an的前n项和有最大值还是有最小值？并求

12、出这个最大值或最小值解S5×5×(a1a5)×5×2a35a3125，故a325，a10a37d，即d10，故Sn有最大值，ana3(n3)d28n.设Sn最大，则解得27n28，即S27和S28最大，又a127，故S27S28378.母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若Sn0，求n.解法一：因为S3S418为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x，所以当x0或x7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又nN，所以S70，所以n7.法二：因为S3S4，所以a4S4S30，故S7×7×(a1a7)

13、7a40，所以n7.跟踪训练1在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15BS16CS15或S16 DS17解析：选Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n×(2)n230n(n15)2225.当n15时，Sn取得最大值2设等差数列an的前n项和为Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a12>

14、;0，a1a132a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.规律方法等差数列前n项和的最值问题的三种解法(1)利用an：当a10，d0时，前n项和有最大值，可由an0且an10，求得n的值；当a10，d0，前n项和有最小值，可由an0且an10，求得n的值.(2)利用Sn：由Snn(d0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值.(3)利用二次函数的图像的对称性. 达标训练1在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是() A12B24C36D48BS10×10×(a1a10)5(a1a10)120，故a1

15、a1024.2记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2B3C6D7BS2a1a24，S4S2a3a4204，故a3a416.(a3a4)(a1a2)4d12，d3.3若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7()A12B13C14 D15解析：选B设等差数列an的公差为d，由S5，得25，解得a47，所以732d，解得d2，所以a7a43d73×213.4(2017·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析：选C设等差数列an的公差为d，则由得即解得d4.5(201

16、8·陕西质检)已知数列an的前n项和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，则S7等于()A13B49C35 D63解析：选B由Snan2bn(a，bR)可知数列an是等差数列，所以S749.6(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan3，a4a523，则S8()A72 B88C92 D98解析：选C法一：由Sn1Snan3，得an1an3，故数列an是公差为3的等差数列，又a4a5232a17d2a121，a11，S88a1d92.法二：由Sn1Snan3，得an1an3，故数列an是公差为3的等差数列，S892.7若等差数列an的前17项和S1751，则a5a7a9a11a13_.解析：因为S17×1717a951，所以a93.根据等差数列的性质知a5a13a7a11，所以a5a7a9a11a13a93.答案：38在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.解析：因为S100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)×10.答案