大学物理机械振动ppt

1、第二篇第二篇 机械振动和机械波机械振动和机械波第四章第四章 机械振动机械振动(6.5.1)一、机械振动一、机械振动物体在平衡位置附近的往复运动物体在平衡位置附近的往复运动mo（a）单摆）单摆 mo（b）扭摆）扭摆 （d）浮体）浮体 二、研究简谐振动的意义二、研究简谐振动的意义（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的。）复杂的振动是由简谐振动合成的。(1)、回复力、回复力(2)、惯性、惯性(1)、周期性、周期性(2)、有一个平衡位置、有一个平衡位置振动振动某物理量在定值上下往复变化某物理量在定值上下往复变化xxmo22

2、dtxdmkxFtAxcos022xmkdtxd2 mk令0222xdtxd弹簧原长时小球所在处弹簧原长时小球所在处(平衡位置平衡位置)为坐标原点为坐标原点.由系统本身性质决定由系统本身性质决定,与外界无关。与外界无关。振动方程振动方程F 要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。是否满足下面三个方程之一为依据。kxF0222xdtxdtAxcos动力学特点动力学特点运动学特点运动学特点 某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量是简谐振动量。是简谐振动量。1）周期）周期 ：完成一次全振

3、动所需时间：完成一次全振动所需时间 T) s ()(cos) cos(TtAtA2 2TT）大大位位移移的的绝绝对对值值（振振子子偏偏离离平平衡衡位位置置的的最最mAHz)2动的次数（动的次数（：单位时间内完成全振：单位时间内完成全振频率频率 , 1 T22T（振幅决定谐振子运动的范围）（振幅决定谐振子运动的范围）。或或频频率率求求出出周周期期）由由动动力力学学方方程程写写出出（振振动动。也也就就证证明明了了振振动动为为简简谐谐如如果果能能化化为为这这种种形形式式，的的形形式式，）将将动动力力学学方方程程变变为为（写写出出动动力力学学方方程程。或或）分分析析受受力力情情况况，由由（Txdtxd

4、JMmaF ,3 02,1222 确定振动系统周期的方法：确定振动系统周期的方法：,2 ,:kmTmk对对于于弹弹簧簧振振子子mk21)s2 ) 3-1（秒秒内内完完成成全全振振动动的的次次数数：角角频频率率22T（频率决定谐振动的频繁程度）（频率决定谐振动的频繁程度） 解解：根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律22 sindtdmlmg很小时，很小时，当当022lgdtd动动是是简简谐谐振振动动单单摆摆的的小小角角摆摆glTlg2 tcos 0微微分分方方程程的的解解为为mlmgtF例例 . 确定单摆固有角频率确定单摆固有角频率 及周期及周期T。te22sindtdmlmgFtoC*例例: :

5、确定确定复摆复摆 的的固有周期固有周期T。mglmglMsin22ddtJmgl,2Jmgl令令)cos(mt)5(mg（ 点为质心）点为质心）CmglJT22转动正向转动正向0dd22JmgltlJmglxxmo1k2k劲劲度度系系数数。求求两两弹弹簧簧串串联联后后的的等等效效，和和讨讨论论：已已知知 21kkPF2222dtxdmxkF212211xxxxkxk222121dtxdmxkkkk022xmkdtxd2121kkkkk2121kkkk，则则若若1212kkkk，则，则若若21kkk两弹簧并联两弹簧并联xkkkx2112 两弹簧串联两弹簧串联,mk,串串串串kk并并并并, kk.

6、,0 : )rad(:称为初相称为初相时的相位时的相位相位，或位相，或相相位，或位相，或相tt即即两两个个相相位位之之差差。相相位位差差,:1212时，当 12121122ttt 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt12ttt 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）相位决定谐振子某相位决定谐振子某一瞬时的运动状态一瞬时的运动状态称称两两个个振振动动同同相相。时时，若若

7、, 3210 ,2 kk称称两两个个振振动动反反相相。时时，若若, 3210 ,12 kk。超超前前于于振振动动，称称振振动动若若1212tt。落落后后于于振振动动，称称振振动动若若1212tt0 xto同相同相txo反相反相xto为其它为其它超前超前落后落后为位移振幅为位移振幅AtAx cos)2cos(sintvtAdtdxvm)cos(cos222tatAdtxdam为为速速度度振振幅幅Avm为加速度振幅为加速度振幅Aam2xa21t2t3t1t2t3t1t2t3tT（a）otxototva（b）（c）图。图。便得便得图，再左移图，再左移便得便得图左移图左移将将taTtvTtx44, 1

8、4 Tt2T2动动的的振振幅幅和和初初相相。三三、由由初初始始条条件件确确定定振振000vvxxt，时时，设设范围内范围内或或值在值在确定的确定的由由注注20)4(. 1:(4) sincos00AvAx(3) 22020vxA2.振幅不仅与振子的固有性质有关，还与初始条件有关。振幅不仅与振子的固有性质有关，还与初始条件有关。) tan (00 xv)2() 1 (sincos00AvAx则则有有,costAxtAvsin例例. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击。如果给物体一个向

9、下的瞬时冲击力，使它具有力，使它具有 的向下的速度，它就上下振动起的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。11sm:解kmm0vxo0 22xmkdtxd整整理理可可得得动动。由由此此可可知知物物体体作作简简谐谐振振 0 klmgxo轴轴正正方方向向。向向下下为为，点点取取物物体体的的平平衡衡位位置置为为原原22dtxdmlxkmgx时时，当当物物体体运运动动至至某某点点)(101sradlgmk100100smvxt，时时，初初始始条条件件：mvxA1 . 01010220200sin0Av2 mtx210c

10、os1 . 0物物体体的的振振动动方方程程为为：0cos0Ax的长的长矢量矢量振幅振幅AA度度角角速速矢矢量量逆逆时时针针匀匀速速旋旋转转的的角角频频率率 轴轴的的夹夹角角时时刻刻矢矢量量与与相相位位xtt )(轴轴的的夹夹角角时时矢矢量量与与初初相相xt02TT矢矢量量旋旋转转一一圈圈所所需需时时间间周周期期圈圈数数矢矢量量单单位位时时间间内内旋旋转转的的频频率率的的夹夹角角两两矢矢量量相相位位差差21, AAPoxAPAt0Pt1A2A1A2A1A2A12超超前前于于振振动动振振动动同同相相反反相相 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运

11、动. .xA轴轴上上的的投投影影点点的的加加速速度度在在矢矢量量末末端端加加速速度度xPa 轴轴上上的的投投影影点点的的速速度度在在矢矢量量末末端端速速度度xPv 轴轴上上的的投投影影点点在在矢矢量量末末端端位位移移xPx Amv)sin(tAv)cos(2tAa2mAa)cos(tAxtmvv速度振幅速度振幅vm-矢量末端矢量末端P点的速度的大小点的速度的大小.加速度振幅加速度振幅am-矢量末矢量末端端P点的加速度的大小点的加速度的大小.xy0AtPmaa120 x1p1p.,;,0 :2111相相位位矢矢量量描描述述则则正正向向运运动动如如果果质质点点向向相相位位矢矢量量描描述述则则由由负

12、负向向运运动动如如果果质质点点向向处处质质点点位位于于例例poxopxx 位置）位置）（特殊情况下只有一个（特殊情况下只有一个的位置。的位置。确定旋转矢量两个可能确定旋转矢量两个可能由初始位置由初始位置 10 x 从从而而找找出出初初相相。如如：位位置置确确定定其其初初始始位位置置，转转矢矢量量两两个个可可能能的的由由初初始始速速度度方方向向、从从旋旋 2（3）将空间分为四个象限，判断旋转矢量在哪个象限。）将空间分为四个象限，判断旋转矢量在哪个象限。20 , 0, 000vx第第一一象象限限2 , 0, 000vx第二象限第二象限2 , 0, 000vx第第三三象象限限02 , 0, 000v

13、x第四象限第四象限0v0 x0v0 x0 x0v0v0 xx2A3A4A01A轴轴正正向向运运动动。处处并并向向）在在（轴轴负负向向运运动动；处处并并向向）在在（轴轴正正向向运运动动；）通通过过平平衡衡位位置置并并向向（）在在负负的的最最大大位位移移处处；（况况如如下下：始始时时振振动动物物体体的的运运动动情情讨讨论论：判判断断初初相相位位，开开XAXAX242321(4) 由位移由位移时间曲线时间曲线(x-t图图)判断初始条件再确定初相判断初始条件再确定初相.曲线下降，质点向曲线下降，质点向x轴负向运动轴负向运动曲线上升，质点向曲线上升，质点向x轴正向运动轴正向运动1xtV0 xmo0dtd

14、xv0dtdxv0 ,1010vAx由由图图可可知知01oxo当坐标轴为当坐标轴为x2,x3. 时时:2x3x4x5x221xtoox0 , 02020vx0 ,3030vAx0 , 04040vx0 ,5050vAxoxoxox323402 5或或【例例6-36-3】如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . 1mN72. 0kg20mm/ xo0.05（1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停下后处停下后再释放，求简谐运动方程；再释放，求简谐运动方程； m05. 0 x解解 1s0

15、 . 6mkm05. 0022020 xxAv0 ,m05. 000vx0 , 1cos0AxoxA由旋转矢量图也知由旋转矢量图也知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 oxA2AA ,2Ax 3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0tAxcos ,21cosAxt353或或t解解 m205. 022020vxAoxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在

16、如果物体在 0 0 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .由旋转矢量图也知由旋转矢量图也知4m/ xo0.051sm30. 022cos0Ax4 0sin0Av v (m/s) t (s) O vm mv21 例例 一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相图所示若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为应为 AA /6 (B) 5 /6 (C) -5 /6(D) - /6 (E)2 /3解解：从从图图可可知知0,2 000avvtm时

17、，时，ox0tmvma6 ,21sin0mvv67 65或或Csin0mvv 例例 如图所示为质点作简谐振动的如图所示为质点作简谐振动的x-t图线，则谐振动的图线，则谐振动的表达式为表达式为 。sTmA2 ,02. 0; 0, 0 000vxt时时，,2T解解：从从图图可可知知ox0t2m )2cos(020tx.TTTTAtAA125 D. 121 C. 161 B. ;61 . ). (,2,:为为所所需需最最短短时时间间处处运运动动到到由由平平衡衡位位置置开开始始向向右右为为作作简简谐谐振振动动的的小小球球振振幅幅例例C,62tTt2Aox3 ,2112cosAAAxt 解解 T t12

18、1 0 , 000vxtAmmvEK2222sin2121 tAmkxEP2222cos2121 振振动动势势能能2222121 kAAmEEEPK总总能能量量tAm2cos1412222cos14122tAm22cos14122tAm弹簧振子振动动能：弹簧振子振动动能：mk简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21kEpExEBCAApExO简简谐谐运运动动势势能能曲曲线线恒量恒量 212122Ekxmv0dtdxkxdtdvmv0 22xmkdtxd ，

19、其值域为，其值域为周期为周期为间周期性变化，间周期性变化，振动动能和势能均随时振动动能和势能均随时2 1T 。势势能能最最大大时时，动动能能为为零零；动动能能最最大大时时，势势能能为为零零动动能能和和势势能能反反相相变变化化。 2 化化。振振动动总总能能量量不不随随时时间间变变3。22221210AmkA202241)(cos211)4(kAdttkATEETpk 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的

20、动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 xiAtAx1111cosiAtAx2222cos1x2xxA1A2AOXiAiAAxxx )( 2121两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动12A1A

21、2AOx1212212221cos2AAAAAAAA2211sinsinsinAAA2211coscoscos22112211coscossinsintanAAAA或或tAxxxcos21111costAx222costAx2同同相相，当当2102 ) 112kk2121 或或AAA 反反相相，当当 21012 )212kk)( ,)( ,21221 1,21AAAAAAA)cos(212212221AAAAA 讨论讨论3)3)一般情况一般情况2121AAAAA相互加强相互加强相互削弱相互削弱1A2AAO1A2AAO例例：有两个同方向的简谐振动，它们的方程为：有两个同方向的简谐振动，它们的方程

22、为 式中式中x以以m计，计，t以以s计计。（1）求它们合成振动的振幅和初相位。）求它们合成振动的振幅和初相位。5310cos05. 01tx5110cos06. 02tx解解m0892. 0)cos(212212221AAAAA m 060 m 05021.AA53152216850. 2arctancoscossinsinarctan22112211AAAA)0sinsin(sin2211AAA 当当 时，合振幅为最大。时，合振幅为最大。取取 ，则，则k2130k53135623当当 时，合振幅为最小。时，合振幅为最小。取取 ，则，则) 12(23k0k m 12. 013AAA m 01. 023AAA5310cos05. 01tx5110cos06.