大学物理-2 质点动力学

1、 牛顿在牛顿在16871687年发表了具有里程碑意义的年发表了具有里程碑意义的自然哲学的数学自然哲学的数学原理原理。牛顿的主要功绩是把被考察物体的周围环境对该物体。牛顿的主要功绩是把被考察物体的周围环境对该物体的作用归结为力，而该物体则在力的作用下按一定的规律运动的作用归结为力，而该物体则在力的作用下按一定的规律运动。即。即环环 境境物物 体体力力力的定律力的定律运动运动运动定律运动定律 由此可见，动力学的根本任务就是回答在周围其他物体由此可见，动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的作用下，被考察的物体如何运动。的作用下，被考察的物体如何运动。 在牛顿以后，拉格朗日和哈密顿等人以能量和作用量

2、为基在牛顿以后，拉格朗日和哈密顿等人以能量和作用量为基础，从另一途径建立了解决动力学问题的方法，这就是分析力础，从另一途径建立了解决动力学问题的方法，这就是分析力学。分析力学和牛顿力学是等效的。学。分析力学和牛顿力学是等效的。笫二章 牛顿运动定律 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括 第一定律定性提出了第一定律定性提出了“力力”和和“惯性惯性”两个重要概念两个重要概念 力是使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用力是使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用 惯性是每个物体按其一定的量而存在的一种抵抗能力惯性是每个物体按其一定的量而存在的一种抵抗能

3、力 第一定律定义了一类重要的参考系惯性系第一定律定义了一类重要的参考系惯性系 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用迫使它改变这种运动状态为止外力作用迫使它改变这种运动状态为止. . 爱因斯坦：爱因斯坦：伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端. .牛顿第一定律牛顿第一定律1 1 牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿第二定律牛顿第二定律amdtvdmF 运动的改变与所加的外力成正比，并发

4、生在所加外力的运动的改变与所加的外力成正比，并发生在所加外力的那个直线方向。（动量的变化率与外力成正比）那个直线方向。（动量的变化率与外力成正比）tdvmdF)(即即: : 力的量度：任选一物体力的量度：任选一物体, ,规定规定其加速度与受力成正比。其加速度与受力成正比。F标记弹簧长度制成测力计。标记弹簧长度制成测力计。实验实验表明对任意物体，其加速度与受力成正表明对任意物体，其加速度与受力成正: :Fa如果如果 m = const , 惯性的量度惯性的量度 - - 惯性质量惯性质量1aF12aF2令令 m1=1 质量单位，质量单位，m2 的质量便可确定的质量便可确定:实验表明，这样定义的质量

5、具有可加性实验表明，这样定义的质量具有可加性. .212aam 2121mmaa为简单与合理起见，可选择为简单与合理起见，可选择 . .于是就有：于是就有：am1)( 物体产生加速度的大小不仅与外力物体产生加速度的大小不仅与外力F 有关有关, ,同时与自同时与自身的某种属性有关身的某种属性有关. . 用一个标量函数用一个标量函数 m 表示该属性表示该属性, , 则有则有 . .由于由于 和和 的比值与的比值与 F 无关，这就要求加速无关，这就要求加速度的形式必须是：度的形式必须是：),(mFfa )()(mFa1a2a)()(2121mmaa 用惯性大小定义的质量称为惯性质量用惯性大小定义的质

6、量称为惯性质量, ,单位称千克（单位称千克（kgkg）. .千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体。千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体。牛顿第三定律牛顿第三定律 两个物体之间的作用和反作用力两个物体之间的作用和反作用力, ,沿同一直线沿同一直线, ,大小相等大小相等, ,方方向相反向相反, ,分别作用在两个物体上。分别作用在两个物体上。mFa质量为质量为1 1千克的物体千克的物体, ,产生产生 1 1m/s2 的加速度的加速度, ,所受的力为所受的力为1 1牛顿。牛顿。amF 同时发生同时发生 性质相同性质相同 分别作用分别作用 效果不同效果不同是关于力的性质的定律

7、而非动力学本身的定律。是关于力的性质的定律而非动力学本身的定律。amkF2112FF 在目前的宇宙中在目前的宇宙中, ,存在着四种基本的相互作用存在着四种基本的相互作用. .所有的运动所有的运动现象归根到底都是受这四种基本作用的支配现象归根到底都是受这四种基本作用的支配, ,各式各样的力只各式各样的力只不过是这四种基本作用在不同情况下的不同表现不过是这四种基本作用在不同情况下的不同表现. . 2 2 力的分类与常见的力力的分类与常见的力相对强度相对强度表征核子表征核子 衰变的力衰变的力质子和中子结质子和中子结合形成原子核合形成原子核电子和原子核电子和原子核结合形成原子结合形成原子恒星结合在一恒

8、星结合在一起形成银河系起形成银河系作用举例作用举例长程力长程力长程力长程力适用范围适用范围弱弱 力力强强 力力电电 磁磁 力力万有引力万有引力1510161021051039101重力（万有引力）重力（万有引力） 弹性力（电磁力）弹性力（电磁力） 摩擦力（电磁力）摩擦力（电磁力）轨道定律轨道定律: 每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭圆轨道上运动每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭圆轨道上运动.面积定律面积定律: 由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积.周期定律周期定律: 椭圆轨道半长轴椭圆轨道半长轴 a 的立方与周期的立方与周期 T 的平方之

9、比为常量的平方之比为常量. 1. 万有引力万有引力设行星作匀速圆周运动设行星作匀速圆周运动, ,由开普勒定律和牛顿运动定律论证万有引力定律由开普勒定律和牛顿运动定律论证万有引力定律. .由开普勒第三定律由开普勒第三定律 302RCT0214CC 仅与施力者（太阳）性质有关仅与施力者（太阳）性质有关. 213024 RCRRC）（RRa2行星行星向心加速向心加速22T对对月球月球绕地心运动绕地心运动, , 有有22RCa，C2 仅与施力者仅与施力者（地球地球）性质有关性质有关. 2RCF 设设 a 是由相互作用力引起并是由相互作用力引起并与该力成正比，则有与该力成正比，则有 由于力是相互作用的由

10、于力是相互作用的, ,所以所以 C 应与两物体性质有关应与两物体性质有关. .用用m1和和m2 2分别分别表示各物体产生引力作用的性质表示各物体产生引力作用的性质, , 称为引力质量称为引力质量. .221 rmmF 221 rmmGF 引入比例常数引入比例常数G 所以有所以有引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量 引力质量和惯性质量的物理意义并不相同，二者有何关联？引力质量和惯性质量的物理意义并不相同，二者有何关联？ 由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有: : 上式表明，任何物体的上式表明，任何物体的惯性质量与引力质量惯性质量与引力质量 成正比。成正比。选适当选适当 G 值可使值可使 惯引mm即惯

11、性质量与引力质量等价即惯性质量与引力质量等价. gmRmGm惯引地2gRGmmm2地引惯引力质量为引力质量为 的物体受地球的引力为的物体受地球的引力为 2RmGmF引地引引m更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验 。关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？牛顿单摆实验牛顿单摆实验 310惯引惯惯mmmmmddRRmdSdmsin4220ldmGmdF cossin4cos20lddmGmdFFdrllRrrllrR2coscos2222222.dd0mFdlrRrRldlddrRldlrRRrlsin

12、sin22cos2222ddllRrRrmGmddlllRrRrmGmdrllRrrRldlmGmFd2222022222022201882420222202022220)1 (8)1 (8rmGmdllRrdRrmGmddllRrRrmGmFRrRrR40m若在球壳的内部若在球壳的内部0)1 (82222020rRrRdllRrdRrmGmF例：例：.mMlL 若考虑地球的自转，重力是若考虑地球的自转，重力是地球对其表面物体的万有引力与地球对其表面物体的万有引力与惯性离心力惯性离心力的合力，也称为表观的合力，也称为表观重力。重力。2.2.重力重力 若不计地球的自转，重力是若不计地球的自转，重

13、力是地球对其表面物体的万有引力。地球对其表面物体的万有引力。.2mMmgGR2GMgR. 物体的加速度与其质量无关。物体的加速度与其质量无关。3.3.弹性力弹性力弹性力包括弹簧力、正压力、绳的张力等。弹性力包括弹簧力、正压力、绳的张力等。kxf胡克定律胡克定律)(rbraF分子力的经验公式分子力的经验公式弹性力均起源于分子间的相互作用。弹性力均起源于分子间的相互作用。 当物体发生形变时当物体发生形变时, , 都有恢复原状的趋势。在恢复原状的都有恢复原状的趋势。在恢复原状的过程中施力于使之发生形变的物体，称之为弹性力。过程中施力于使之发生形变的物体，称之为弹性力。NNNN斥力斥力引力引力Fro4

14、.4.摩擦力摩擦力（分子力是产生摩擦的根本原因分子力是产生摩擦的根本原因）例：例：判断摩擦力的方向判断摩擦力的方向 滑动摩擦力：滑动摩擦力：Nf方向：与相对运动的方向相反方向：与相对运动的方向相反 静摩擦力：静摩擦力：max0ff 方向：与相对滑动趋势的方向相反方向：与相对滑动趋势的方向相反NfmaxF 当两物体的接触面有相对滑动或相对滑动的趋势，当两物体的接触面有相对滑动或相对滑动的趋势，产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为摩擦产生一种阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为摩擦力。前者称为滑动摩擦力，后者称为静摩擦力。力。前者称为滑动摩擦力，后者称为静摩擦力。 任何物理量都必须有单位，

15、但并不需要对所有的物理量都任何物理量都必须有单位，但并不需要对所有的物理量都去规定单位。因为去规定单位。因为物物理量之间通过定义或物理规律产生了联系理量之间通过定义或物理规律产生了联系,我们只要规定少数几个物理量的单位，其他物理量的单位即可我们只要规定少数几个物理量的单位，其他物理量的单位即可由它们导出。这些被选定并规定单位的物理量叫由它们导出。这些被选定并规定单位的物理量叫基本量基本量，基本，基本量的单位叫量的单位叫基本单位基本单位，其余的物理量就叫，其余的物理量就叫导出量导出量，它们的单位，它们的单位就叫就叫导出单位导出单位。由于选定的基本量及其单位不同，就形成了不。由于选定的基本量及其单

16、位不同，就形成了不同的单位制。在国际单位制中（同的单位制。在国际单位制中（SI），基本量是），基本量是长度长度、时间时间、质量质量、电流、发光强度、温度和物质的量。、电流、发光强度、温度和物质的量。 1 1m：光在真空中光在真空中(1/29792458)(1/29792458)s时间间隔内所经路径的长度时间间隔内所经路径的长度. .1 1 s：铯铯-133-133原子基态的两个超精细能级间跃迁相对应的辐射原子基态的两个超精细能级间跃迁相对应的辐射 的的 9 9 912912 631631 770770个周期的持续时间个周期的持续时间. .3 3 力学单位制与量纲力学单位制与量纲1 1kg：千克

17、原器的质量千克原器的质量. .( ( 用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中) ) 基本物理量选定以后基本物理量选定以后, 导出量的单位就可由基本量的单位导出量的单位就可由基本量的单位按一定的规则生成按一定的规则生成. 在国际单位制中，用在国际单位制中，用 L 、 M 、 T 分别表示分别表示长度长度、质量质量、时间时间. 对任何力学量对任何力学量 A，就其单位量度而言，总可就其单位量度而言，总可以写成以写成 L、M、T 的一定幂次的组合的一定幂次的组合:rqpTMLAAdim 只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则

18、只有量纲相同的物理量才能相加，相减和相等，这一法则叫量纲法则。量纲法则是量纲分析的基础。量纲分析是一种有叫量纲法则。量纲法则是量纲分析的基础。量纲分析是一种有用的方法，它的主要用处有：用的方法，它的主要用处有： 在基本量相同的单位制之间进行单位换算在基本量相同的单位制之间进行单位换算验证公式验证公式为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式为推导某些复杂公式提供线索或直接推导公式上式称为力学量上式称为力学量 A 的量纲表达式，的量纲表达式， 为量纲指数。为量纲指数。p、q、r速度的量纲速度的量纲 1TLtsv力的量纲力的量纲 2TMLamF例：例： 单位换算单位换算 用量纲法则探求规律用量纲法则

19、探求规律lCgTLTLLTT22)(lgcT 2/12/1012设设2 MLTF牛顿秒米千克5223101/10101达因=1克1厘米/秒2 检验公式检验公式例：例：单摆周期公式单摆周期公式asv2 221TLsaLTv【基本问题】【基本问题】 己知受力己知受力, ,求运动。求运动。 己知运动己知运动, ,求受力。求受力。 选择参照系，确定研究对象。选择参照系，确定研究对象。 隔离物体，受力分析，画受力图。隔离物体，受力分析，画受力图。 选择坐标系，列分量方程式（包括约束方程）。选择坐标系，列分量方程式（包括约束方程）。 求解方程，讨论结果。求解方程，讨论结果。 【解题步骤】【解题步骤】质点动

20、力学问题举例质点动力学问题举例例：例：把质量为把质量为m1和和m2的两物体叠放在光滑的平面上的两物体叠放在光滑的平面上， m1和和m2 之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为 ，欲用力把，欲用力把m2从从m1下面抽出，该作用力下面抽出，该作用力的最小值是多大？的最小值是多大？解：解：以平面为参照，建立坐标系以平面为参照，建立坐标系.受力分析，画受力图受力分析，画受力图m1选选m1和和m2为研究对象为研究对象列方程：列方程：22amfF11amf 0212gmNN011gmN相对滑动相对滑动121,aaNf联立解得联立解得gmmF)(21m2m1m2FxylFL例：例：质量为质量为M的木板静止在桌面上

21、，左端与桌面对齐，桌面长的木板静止在桌面上，左端与桌面对齐，桌面长 L。木板上有一质量为木板上有一质量为m的花瓶，与桌面左端距离为的花瓶，与桌面左端距离为l 。 若用力若用力 将木板将木板从花瓶下抽出而不使花瓶落地，则从花瓶下抽出而不使花瓶落地，则F至少为多大？摩擦系数均为至少为多大？摩擦系数均为 。解：解：以桌面为参照，设花瓶在木板上运动时间为以桌面为参照，设花瓶在木板上运动时间为 t t。花瓶在木板上运动时：花瓶在木板上运动时：花瓶花瓶木板木板gamamg112)(MagMmmgF花瓶在桌面上运动时：花瓶在桌面上运动时：花瓶花瓶木板木板gaammg112aMMgF因花瓶的速度具有先加后减的

22、对称性，因花瓶的速度具有先加后减的对称性，要求花瓶移动到离桌面右端一半距离时脱离木板要求花瓶移动到离桌面右端一半距离时脱离木板此时木板相对桌面的位移：此时木板相对桌面的位移：把把 和和 代入上两式，整理可得：代入上两式，整理可得：1a2a)(2mgFlLlM212121)(talL2121)()(21212221lLlLlta212121分析：花瓶必须在木板离开桌面之前离开木板分析：花瓶必须在木板离开桌面之前离开木板质点运动时质点运动时, 往往受到预先给定的限制往往受到预先给定的限制, 称之为约束。称之为约束。 被约束物体与约束物体之间存在相互作用力，我们把作用被约束物体与约束物体之间存在相互

23、作用力，我们把作用在被约束物体上的力称为在被约束物体上的力称为约束力约束力。约束力的大小和方向一般都。约束力的大小和方向一般都是未知的，它既与约束条件有关，又与物体的运动情况有关，是未知的，它既与约束条件有关，又与物体的运动情况有关，必须通过求解运动微分方程才能确定。与约束力不同，我们把必须通过求解运动微分方程才能确定。与约束力不同，我们把那些大小和方向完全确定而与约束无关的力称为那些大小和方向完全确定而与约束无关的力称为主动力主动力。 约束运动的特点约束运动的特点： 独立坐标的个数减少了独立坐标的个数减少了 由于运由于运动微分方程中出现了未知的约束力，使方程式中未知量的个动微分方程中出现了未

24、知的约束力，使方程式中未知量的个数增加了。结果由牛顿定律所能得到的代数方程的数目会少数增加了。结果由牛顿定律所能得到的代数方程的数目会少于未知量的个数。因此，必须引人约束方程才能构成完备的于未知量的个数。因此，必须引人约束方程才能构成完备的方程组，这一点对求解约束运动非常重要。方程组，这一点对求解约束运动非常重要。 物体作约束运动时，受到的约束一般可以表现为各坐标之物体作约束运动时，受到的约束一般可以表现为各坐标之间某种确定的函数关系，称为约束方程。间某种确定的函数关系，称为约束方程。1T2T332322221111amTgmamTgmamTgmm1m2m3212TT xxl11xxxl232

25、2211322llxxx02132aaa 323213232114)(4)(mmmmmmmmmmagmmmmmmmmT3232132114)(8gmmmmmmmmT3232132124)(4例：例：解：解：解：解：例：例：直角劈的质量为直角劈的质量为M，劈角为劈角为 ，滑块的质量为，滑块的质量为m, ,设所有的设所有的接触面都光滑接触面都光滑, ,求它们的加速度、相对加速度和相互作用力求它们的加速度、相对加速度和相互作用力. .cot)(0yhxxgMNR0sincossinMaNmamgNmaNyxcot0yxaaagmMma20sincossingmMmMN2sincosgmMMax2si

26、ncossingmMMmay22sinsin)(gmNxy0 xh0aaajaiaajiajaiaaaayxyx)()0()(0002222sincossin)(cossinsincossin)(mMMmgmMMmajgmMMmigmMmgmMM2222sinsin)(sincossinsincossinjgmMMmigmMMm222sinsin)(sincossin)(方向沿斜面向下。方向沿斜面向下。ymamgNcos2sincossin)(mMFgmMa滑块对斜面静止，0tan)(agmMF滑块沿斜面向下，0tan)(agmMF滑块沿斜面向上，0tan)(agmMF例：例：质量为质量为 m

27、 的滑块的滑块, ,放在质量为放在质量为 M 的斜的斜面上面上. .受水平外力受水平外力F的作用的作用, ,斜面沿水平面斜面沿水平面作直线运动作直线运动. .不计所有摩擦不计所有摩擦, , 计算滑块计算滑块相对斜面的加速度相对斜面的加速度. . 写出滑块相对斜写出滑块相对斜面静止、向下滑动、向上滑动的条件。面静止、向下滑动、向上滑动的条件。 FmgNMgNT:M0sinMaNF解：解：以平面为参照以平面为参照:mxmaNsincos0aaaxsinaay0aaa0aaaxy例例: :质量为质量为m的物块置于倾角为的物块置于倾角为 的固定斜面上的固定斜面上, , 物块与斜面间物块与斜面间静摩擦系

28、数为静摩擦系数为 . .现用一水平外力现用一水平外力F 推物块，欲使物推物块，欲使物块不滑动，块不滑动，F 的大小应满足什么条件？的大小应满足什么条件？tan，解：解：如图，根据平衡条件如图，根据平衡条件0FfNgm 取图上所示坐标，考察即将取图上所示坐标，考察即将下滑时平衡方程的分量式为下滑时平衡方程的分量式为)1 (0sincosmgfF)3(Nf联立解得联立解得mgFsincoscossin1NFxy fmFyx)2(0cossinmgFN 当作用力小于当作用力小于F1 时物块将下滑时物块将下滑. .但但 F 也不能太大，否则物也不能太大，否则物块还可上滑块还可上滑. .当物块即将上滑时

29、，平衡方程为当物块即将上滑时，平衡方程为) 4(0sincosNmgF解解、两式得两式得mgFFsincoscossin2即当即当 F F2 时物块上滑时物块上滑. . 物块不滑动的条件为物块不滑动的条件为mgFmgsincoscossinsincoscossin) 5 (0sincosFgmNNFxy f解：解：以地面为参考并选用自然坐标系。以地面为参考并选用自然坐标系。dtdvmfRvmN2分析受力分析受力, ,列方程：列方程：例例: : 质量为质量为m质点质点, ,沿半径为沿半径为R的圆环的内壁运动的圆环的内壁运动, ,整个圆环水整个圆环水平地固定在光滑的桌面上平地固定在光滑的桌面上.

30、.已知质点与环壁间的摩擦系数已知质点与环壁间的摩擦系数 和和质点开始运动的速率质点开始运动的速率 , ,试求质点在任一时刻的速率和位置试求质点在任一时刻的速率和位置. . 0vomfvNRNfdtdvvR2分离变量进行积分并注意初值条件分离变量进行积分并注意初值条件: :tvvvdvdtR020tvRRvv00RtvRs01lnotRtvRRtvRdtvvdtstt)ln(00000例：例：高空有一质量为高空有一质量为 m 的水滴的水滴，由静止开始下落。设浮力为由静止开始下落。设浮力为 F ， 阻力阻力 f = k v，k 为常数。求水滴下落速度与时间的函数关系。为常数。求水滴下落速度与时间的

31、函数关系。解：解：以水滴为对象以水滴为对象, 在地面建立坐标系在地面建立坐标系, 受力分析如图所示受力分析如图所示力学方程：力学方程：t dvdmkvFmgtFmgmg-F-kvlnkmvmvottv0t dkvFmgvdm0tmkeFmgkvFmgtmkekFmgv1恒量kFmgvttvvtvt,dd, 00mgfFoy例：例：质量为质量为m的小球最初位于的小球最初位于A点，然后沿半径为点，然后沿半径为R的光滑圆弧的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。ngmNA解：解：dtdvmmgcosRvmmgN2sinRddvvd

32、sdtdvdsdtdvdRgvdvcos00cosdRgvdvvsin212Rgv sin2Rgv RRgmmgNsin2sinsin3mg221)cos1 (mvmgRRmvNmg2cos32cos3mgNMgNcos2 大环不能上升大环不能上升 大环可能上升大环可能上升 可能开始上升可能开始上升032cosN032cosN032cosNcos323mgNN以大环为对象以大环为对象.N例：例：已知已知 求大环上升的条件求大环上升的条件MmR以小环为对象以小环为对象解：解：mgNmgNmMmM23131311224164cos6121431131cos若取 Mm20231mMMm230cos4

33、cos62mMMmMm23,32cos23与上升条件矛盾，故取时，但例：例：水桶与水一起匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。水桶与水一起匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。ygdmNd解：解：水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面Ox建立坐标系，在水面上取一小质量元建立坐标系，在水面上取一小质量元 dm曲线斜率与重力的关系曲线斜率与重力的关系gdmdmxdxdy2tan重力向心力xdxgdy2Cxgy222代入液面最低点的值（代入液面最低点的值（0，h）得液面方程）得液面方程hxgz222.例例: : 绞盘上绳中的张力绞盘上绳中的张力02cos2cos)(

34、dfdTddTT化简化简dNTddNdT ,于是于是dTTddNdTddTT2sin2sin)(切向：切向：法向：法向：取取= 0.25 ， 1圈圈5倍，倍，5圈圈2500倍倍 . dRdN)(TdTT dNfd12cos,22sinddd又又eTTAB)(0dTdTBATTABTTln取一段线元作分析取一段线元作分析ATBTrdLMmd)(rT)(rdrTnamdrdrTrT)()(水平面内法向运动方程：水平面内法向运动方程：解：解：在绳上取微元在绳上取微元 dmormdrd)()(2rLrdMrTd0TLr利用边界条件确定积分上下限：利用边界条件确定积分上下限：Lr0rTrdrLMrTd2

35、)()(LrLMrT2)()(222例：例：质量均匀的绳在水平面内转动，已知：质量均匀的绳在水平面内转动，已知：,LM求：张力求：张力)(rT绳内部相邻两部分相互作用力绳内部相邻两部分相互作用力ox22tdxdmkx 022xmktdxd0222xt dxd02xtddv02xdxvdv0)(222xvd)(2222xAv22xAdtdxdtxAdx22CtAxarcsin)sin(CtAx例：例：弹簧振子的运动弹簧振子的运动22222Axv.orMNoNoMor平面极坐标系中的圆锥曲线方程平面极坐标系中的圆锥曲线方程coscosrerrrNMrMNMOeooocos1 errocos1 er

36、roxycossincoserrrryrxoexyxro2222222)1 (ooryxerxe22222222oryxerxeyx22222)1 (ooryxerxeCyBxAxe221ooryrxe212112CBxAxye221抛物线抛物线双曲线双曲线椭圆椭圆reeetddrdtddtdredtdrdtrdar222222edtdrdtdrmdtdrdtrdmrGMm2222210； 先消去时间，得到轨道方程满足的微分方程；再通过先消去时间，得到轨道方程满足的微分方程；再通过求解微分方程，得到轨道方程求解微分方程，得到轨道方程 .)(rr r),(rP行星运动的轨道方程方程行星运动的轨道

37、方程方程edtdrdtdredtdrdtrdr22221edtdrdtdrmdtdrdtrdmrGMm2222210 - 由由 hdtdr2- 令令21uhdtdru- dduhhudduudtdudddtdddrdtdr2211- 222222222duduhhududhdtddduhdddtdrdtddtrd把 代入3222222uhduduhGMu令令2hGMuu022udud)cos(BAu0222hGMudud00022)cos(11)cos()cos(1rBArrBAhGMBAhGMuur)cos(100BArrr322221mMGELe轨道为双曲线时 E, 1,0轨道为抛物线时

38、E, 1,0轨道为一椭圆时 E, 1,0可以证明，轨道的偏心率取决于行星的能量可以证明，轨道的偏心率取决于行星的能量选择基线的位置，使选择基线的位置，使 B= 0cos10err 物理学中的抽象和定义：伟大的科学理论及其形式常常物理学中的抽象和定义：伟大的科学理论及其形式常常起始于卓越的抽象与精当的定义，它们源于科学家对未知的起始于卓越的抽象与精当的定义，它们源于科学家对未知的复杂事物包括实验现象，一番深邃的缜密的反复的思考和分复杂事物包括实验现象，一番深邃的缜密的反复的思考和分析。牛顿力学逻辑严谨的理论体系，是物理学理论首创的典析。牛顿力学逻辑严谨的理论体系，是物理学理论首创的典范，三百多年

39、来对物理学和自然科学乃至人类文明，一直有范，三百多年来对物理学和自然科学乃至人类文明，一直有着深刻的影响。着深刻的影响。恩格斯总结了牛顿的科学业绩：牛顿由于发现了万有引力定恩格斯总结了牛顿的科学业绩：牛顿由于发现了万有引力定律而创立了科学的天文学，由于进行了光的分解而创立了科律而创立了科学的天文学，由于进行了光的分解而创立了科学的光学，由于建立了二项式定律和无穷小理论而创立了科学的光学，由于建立了二项式定律和无穷小理论而创立了科学的数学，由于认识了力的本性而创立了科学的力学。学的数学，由于认识了力的本性而创立了科学的力学。亚历山大亚历山大 波普的对句：波普的对句：自然和自然的法则躲藏在黑夜之中

40、；自然和自然的法则躲藏在黑夜之中；上帝说，让牛顿去吧！于是一切都变得明亮。上帝说，让牛顿去吧！于是一切都变得明亮。例：例：由地面沿铅直方向发射质量为由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求宇宙飞船能的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（脱离地球引力所需的最小初速度。（ 地球半径地球半径 R = 6378000m ）解：解：设地球表面的重力等于引力设地球表面的重力等于引力mgRGMm22gRGM 宇宙飞船受的引力：宇宙飞船受的引力：222ymgRymMGF运动方程：运动方程：mg v y 22ymgRdtdvmdydvvdydtdvdydtdv22ydygRvdvyRvvyd

41、ygRvdv220yRgRvv1122202飞船脱离地球引力时：飞船脱离地球引力时：0,vy102 .112skmgRv令令0v例：例：一动滑轮与一定滑轮如图连接一动滑轮与一定滑轮如图连接, m1、m2、m3为已知为已知 , 略去各种摩略去各种摩擦及滑轮和绳的质量擦及滑轮和绳的质量, 绳长不变。求绳长不变。求 m3 的加速度和绳中的张力。的加速度和绳中的张力。 解：解：020123aaaaa02312aaa2142143333322221111TTTTTTTamTgmamTgmamTgm21213)()(lxxxxlxx)6() 5()4() 3()2() 1 ()7(月球在轨道受万有引力应约

42、为月球在轨道受万有引力应约为 gmRmmG月地月地2设月球在地球表面，受万有引力设月球在地球表面，受万有引力 22601地月地RmmG232nm/s107 .2601ga万有引力定律最初在地球万有引力定律最初在地球 月球系统得到检验月球系统得到检验. 地月轨道Rr60月球在轨道上因受地球引力得到的加速度为月球在轨道上因受地球引力得到的加速度为 23222nm/s107 . 24TRRva而由牛顿定律直接计算出月球绕地球圆周运动的向心加速度而由牛顿定律直接计算出月球绕地球圆周运动的向心加速度 两种方法结果一致两种方法结果一致 . 1m2m3m例：例：如图，求各物体加速度的关系如图，求各物体加速度

43、的关系0 xx1x2x3x02312aaa 21213lxxxxlxx设动滑轮的中心坐标为设动滑轮的中心坐标为x，加速度为，加速度为 由约束条件（由约束条件（绳长不变绳长不变）：）：a020123aaaaa例例:质量为质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动的斜面可在光滑的水平面上滑动,斜面斜面倾角为倾角为,质量为质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦的运动员与斜面之间亦无摩擦,求求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。解：解：以地为参考以地为参考, 设斜面对地的加速度为设斜面对地的加速度为a2, 方向向右方向向右, 人对斜面的人对斜面的加速度度为加速

44、度度为a, 方向沿斜面向下方向沿斜面向下, 由相对运动公式由相对运动公式, 人对地的加速度人对地的加速度2 aaa隔离人与斜面，受力及运动情况如图示，隔离人与斜面，受力及运动情况如图示，取坐标取坐标o-xy，对人应用牛顿第二定律：，对人应用牛顿第二定律：) 1 (sincos21111amamNgmy)4(cos) 3(sin122221NgmNamNgmmmmagmmmmN21221212211sinsin)(,sincos取坐标取坐标o-xy,对斜面应用牛顿第二定律：对斜面应用牛顿第二定律：由由：m1.m2)2()cos(sin2111aamamgmxxyN1am1ga2xN1yN2m2g

45、强相互作用力：强相互作用力：核子之间存在强相互作用，是短程核子之间存在强相互作用，是短程力，核子间的距离太大时，强力很快下降消失。力，核子间的距离太大时，强力很快下降消失。 电磁力：电磁力：两个带电粒子或物体之间的相互作用，满两个带电粒子或物体之间的相互作用，满足库仑定律。该相互作用使原子、分子聚集成实物，足库仑定律。该相互作用使原子、分子聚集成实物，在力学中常见的拉力、压力、扭力等弹力以及摩擦在力学中常见的拉力、压力、扭力等弹力以及摩擦力，归根结底是电磁力。力，归根结底是电磁力。弱相互作用力：弱相互作用力：在基本粒子之间还存在另一种短程在基本粒子之间还存在另一种短程相互作用，它的作用距离比强

46、力更短，仅在粒子间相互作用，它的作用距离比强力更短，仅在粒子间的某些反应（如的某些反应（如衰变）中起重要作用。衰变）中起重要作用。万有引力：万有引力：存在于任何有质量的物体之间的相互吸存在于任何有质量的物体之间的相互吸引力，是最微弱的，但它是长程力，在宇宙的形成引力，是最微弱的，但它是长程力，在宇宙的形成和天体的系统中起着决定性的作用。和天体的系统中起着决定性的作用。力的分类力的分类笫三定律是关于力的性质的定律，而不是动力学本身的定律。笫三定律是关于力的性质的定律，而不是动力学本身的定律。 物理学中的抽象和定义：伟大的科学理论及其形式物理学中的抽象和定义：伟大的科学理论及其形式常常起始于卓越的

47、抽象与精当的定义，它们源于科学家常常起始于卓越的抽象与精当的定义，它们源于科学家对未知的复杂事物包括实验现象，一番深邃的缜密的反对未知的复杂事物包括实验现象，一番深邃的缜密的反复的思考和分析。牛顿力学逻辑严谨的理论体系，是物复的思考和分析。牛顿力学逻辑严谨的理论体系，是物理学理论首创的典范，三百多年来对物理学和自然科学理学理论首创的典范，三百多年来对物理学和自然科学乃至人类文明，一直有着深刻的影响。乃至人类文明，一直有着深刻的影响。 若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体不能视作质点，需将物体分成许多小部分，使每一部分都不能视作质点，需将物

48、体分成许多小部分，使每一部分都能视作质点，利用上式求出物体能视作质点，利用上式求出物体 1各小部分与物体各小部分与物体 2 各小部各小部分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和力的矢量和.1m 3m 2m 1m3m2m用用“分割分割”方法计算两物体间的万有引力方法计算两物体间的万有引力. 122rm mFGer 1110)00067. 067428. 6(G该定律由牛顿提出，其中该定律由牛顿提出，其中G称为引力常数。称为引力常数。111111年后英国的卡文迪许利用自创的年后英国的卡文迪许利用自创的悬丝挂悬丝挂实验测定实验测定

49、G值。值。 20062006年公布的标准值：年公布的标准值：牛顿米牛顿米/ /千克千克1.1.万有引力万有引力1m2mr 这使牛顿想到：两种力可能有着相同的起源，这一事实，这使牛顿想到：两种力可能有着相同的起源，这一事实，距今已有几百年了，这在今天已经成为老生常谈了，以至于我距今已有几百年了，这在今天已经成为老生常谈了，以至于我们很难想象出当时牛顿的魄力与胆识。为了把行星绕太阳或月们很难想象出当时牛顿的魄力与胆识。为了把行星绕太阳或月亮绕地球的运动，想象为一个亮绕地球的运动，想象为一个“降落降落”的过程，就像石头从手的过程，就像石头从手中扔出去后的降落一样，遵从着相同的规律和在相同的力的作中扔

50、出去后的降落一样，遵从着相同的规律和在相同的力的作用下，这需要多么惊人的想象力啊！（用下，这需要多么惊人的想象力啊！（玻玻 恩恩） 重力随物体所处高度和纬度而微小变化重力随物体所处高度和纬度而微小变化 埃菲尔铁塔落体实验埃菲尔铁塔落体实验 二、约束：对运动物体的一定限制。二、约束：对运动物体的一定限制。约束力：约束物对被约束物体所施的作用力。约束力：约束物对被约束物体所施的作用力。主动力：大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力。主动力：大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力。 主动力与约束条件无关，它的变化规律是已知的主动力与约束条件无关，它的变化规律是已知的，如重力、，如重力、粘滞阻力等

51、。粘滞阻力等。而约束力一般都是未知的，是一种被动力而约束力一般都是未知的，是一种被动力，必要，必要时可由物体的运动去求得，如摩擦力等。时可由物体的运动去求得，如摩擦力等。2.3 2.3 解题举例解题举例表示一个物理量由基本量的幂次组合的式子表示一个物理量由基本量的幂次组合的式子.基本量选定后基本量选定后,导出量的量纲可由基本量的量纲的组导出量的量纲可由基本量的量纲的组合而得合而得. 在国际单位制中在国际单位制中,表示力学量表示力学量A的量纲式为的量纲式为rqpATMLdim 如：如： -1LT dim v2LTdim a2LMTdim F000TMLdim L为长度的量纲，为长度的量纲，M为质

52、量的量纲，为质量的量纲， T为时间的量纲为时间的量纲.p、q、r 为量纲指数为量纲指数 1. 量纲量纲速度的量纲速度的量纲 加速度的量纲加速度的量纲 力的量纲力的量纲 圆心角的量纲圆心角的量纲 【基本量和导出量】【基本量和导出量】长度长度L(m) L(m) 时间时间T(s) T(s) 质量质量M(kg)M(kg)电流电流I(A) I(A) 物质的量物质的量(mol) (mol) 热力学温度热力学温度C(k) C(k) 发光强度发光强度(cd)(cd)国际单位制国际单位制(SI)(SI)七个基本量及基本单位：七个基本量及基本单位：二、单位制二、单位制绝对单位制：先规定质量的单位，从而导出力的单位的单位制。绝对单位制：先规定质量的单位，从而导出力的单位的单位制。2.2 2.2 力学量的单位和量纲力学量的单位和量纲 被选作独立规定单位的物理量称为被选作独立规定单位的物理量称为基本量基本量，它们的单，它们的单位叫位叫基本单位基本单位；其他量叫；其他量叫导出量导出量，其单位叫，其单位叫导出单位导出单位。三、量纲三、量纲应用：应用： 在基本量相同的单位制之间进行单位换算在基本量相同的单位制之间进行单位换算. .