大学统计学第7章参数估计

1、第第 7 章章 参数估计参数估计第 7 章 参数估计7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计7.4 样本容量的确定样本容量的确定7.1 参数估计的一般问题7.1.1 估计量与估计值估计量与估计值7.1.2 点估计与区间估计点估计与区间估计7.1.3 评价估计量的标准评价估计量的标准l估计量估计量：用于估计总体参数的统计量的名：用于估计总体参数的统计量的名称称如样本均值，样本比例、样本方差等如样本均值，样本比例、样本方差等例如例如: 样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量

2、的一个估计量l参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示l估计值估计值：估计参数时计算出来的统计量的：估计参数时计算出来的统计量的具体值具体值如果样本均值如果样本均值 x =80，则，则80就是就是 的估计值的估计值估计量与估计值估计量与估计值 (estimator & estimated value)参数估计的方法参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计点估计点估计 (point estimate)l用样本的估计量的某个取值直接作为总体参用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值数的估计值l无法给出估计值接近总体参数程度的信息无法给出估计值

3、接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值的样本得到的估计值很可能不同于总体真值1222nXXsPX评价估计量的标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性无偏性无偏性 (unbiasedness) 无偏性无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数估计的总体参数有效性有效性 (efficiency)12一致性一致性 (consistency)一致性：一致性：随着样本容量的增大，

4、估计量的随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数区间估计区间估计 (interval estimate)l在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到该区间由样本统计量加减估计误差而得到l根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在比如，某班级平均分数在6080之间，置信水平是之间，置信水平是95% 区间估计的基本要素区间估计的基本

5、要素包括：样本点估计值、抽样极限误差、估计的可靠包括：样本点估计值、抽样极限误差、估计的可靠程度程度样本点估计值样本点估计值抽样极限误差：也称边际误差，可允许的误差抽样极限误差：也称边际误差，可允许的误差范围。范围。抽样估计的可靠程度（置信度、置信水平）抽样估计的可靠程度（置信度、置信水平）区间估计区间估计(interval estimate)参数区间估计的含义：估计总体参数的区间范围，并给出区参数区间估计的含义：估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。间估计成立的概率值。其中：其中： 1-(01)称为称为置信度置信度；是区间估计的是区间估计的显著性水平显著性水平，其取值大小由实际

6、问题确定，经常取，其取值大小由实际问题确定，经常取1%、5%和和10%。12()1p注间对上式的理解：注间对上式的理解：例如抽取了例如抽取了1000组样本，根据每一组样本均构造了一个置信区间，组样本，根据每一组样本均构造了一个置信区间，这样，由这样，由1000组样本构造的总体参数的组样本构造的总体参数的1000个置信区间中，有个置信区间中，有95%的的区间包含了总体参数的真值，而区间包含了总体参数的真值，而5%的置信区间则没有包含。这里，的置信区间则没有包含。这里，95%这个值被称为置信水平（或置信度）。这个值被称为置信水平（或置信度）。一般地，将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体

7、参数真一般地，将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。值的次数所占的比例称为置信水平。区间估计的图示xxzx2区间估计的图示xxzx025.0 x置信区间与置信水平置信区间与置信水平 x比例为比例为1-的样本均值的样本均值 会落在总体均值会落在总体均值两侧两侧 的范围的范围内。内。也就是也就是, 比例为比例为1-的样本均值构造的置信区的样本均值构造的置信区 间间 ，会包含总体均值，会包含总体均值 。 x/2xz/2/2,xxxzxz/2xxz/2xz/2xzx常用置信水平的 值置信水平/290%0.10.051.6595%0.050.0251.96

8、99%0.010.0052.58/2z/2z影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素 中，中， 是点估计值，是点估计值， 是边际误差是边际误差1. 总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度l样本容量样本容量2.置信水平置信水平 (1 - )，影响，影响 z 的大小的大小/2xxzx/2xzx/2xxz/2xz/2xz7.2 一个总体参数的区间估计7.2.1 总体均值的区间估计总体均值的区间估计7.2.2 总体比例的区间估计总体比例的区间估计7.2.3 总体方差的区间估计总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计

9、量均值均值比例比例方差方差2xp2s总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (正态总体、正态总体、 已知，或非正态总体、大已知，或非正态总体、大样本样本)总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 已已知知总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 未知，大样本未知，大样本如果不是正态分布，可由正态分布来近似如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为)1 ,0( Nnxz)(

10、22未知或nszxnzx总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (正态总体、正态总体、 未知、小样本未知、小样本)总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (小样本小样本)1. 假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布, ,但方差但方差( ) 未知未知小样本小样本 (n 30)2.使用使用 t 分布统计量分布统计量 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为)1(ntnsxt2sxtn小 结总体正态总体正态？n30？2 2已已知知？否是是否否是根据中心极限定理得根据中心极限定理得到的近似结果。到的近似结果。 未知时用未知时用s来估计。来估计。nZx 2 nstx

11、2 nZx 2 增大增大n？数学？数学变换变换?总体比例的区间估计总体比例的区间估计总体比例的区间估计总体比例的区间估计1.假定条件假定条件总体服从二项分布总体服从二项分布可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z) 1 , 0()1 (Nnpznppzp)-1 (2总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体方差的区间估计(图示)总体方差的区间估计总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布3. 总体方差总体方差 2 的点估计量为的点估计量为s2,且且. 总体

12、方差在总体方差在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为11222nsn111122122222nsnnsn总体均值的区间估计(例题分析)【 例例 】一家食品生产企业以生产一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为量的分布服

13、从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.336.105x总体均值的区间估计(例题分析)28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x总体均值的区间估计(例题分析)【例例】一家保险公司

14、收集到由一家保险公司收集到由36投保个人组成的随投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁单位：周岁)数据如数据如下表。试建立投保人年龄下表。试建立投保人年龄90%的置信区间的置信区间 36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845325 .39x77. 7s总体均值的区间估计(例题分析)63.41,37.3713.25 .393677.7645.15 .392nszx5 .39x77. 7s总体均值的区间估计(例题分

15、析)16只只灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014701490 x77.24s总体均值的区间估计(例题分析)2 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s总体比例的置信区间：例子解：显然有解：显然有因此可以用正态分布进行估计。因此可以用正态分布进行估计。 /2=1.6450215. 0217. 0995)217. 01(217. 0645. 1217. 0)1(2 nppZp 结论：我们有90的把握认为

16、悉尼青少年中每天都抽烟的青少年比例在19.55%23.85%之间。19861986年对悉尼年对悉尼995995名青少年的名青少年的随机调查发现随机调查发现，有，有216216人每天人每天都抽烟。试估都抽烟。试估计悉尼青少年计悉尼青少年中每天都抽烟中每天都抽烟的青少年比例的青少年比例的的90%90%的置信区的置信区间。间。5)1(, 5 pnpnp(1-p)总体方差的区间估计(例题分析) 25袋食品的重量袋食品的重量 单位：单位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95

17、.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体方差的区间估计(例题分析)4011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n39.18083.564011.1221.931253641.3921.9312522一个总体参数的区间估计(小结)均值均值比例比例方差方差大样本大样本小样本小样本大样本大样本 2 2分布分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布7.3 两个总体参数的区间估计7.3.1 两个总体均值之差

18、的区间估计两个总体均值之差的区间估计7.3.2 两个总体比例之差的区间估计两个总体比例之差的区间估计7.3.3 两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计(独立大样本独立大样本)两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(大样本大样本)1. 假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布，总体都服从正态分布， 1 ， 2已知已知若不是正态分布若不是正态分布, 可以用正态分布来近似可以用正态分布来近似(n1 30和和n2 30)两个样本是独立的随机样本两个样本是独立的随机样本l使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z) 1 , 0()()(

19、2221212121Nnnxxz两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计 (大样本大样本)1. 1， 2已知时，已知时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1- 2 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxx两个总体均值之差的区间估计(独立小样本，总体方差未知)两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本: 12 22 )1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：两个总体方差未知但相等： 1= 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)l总体方

20、差的合并估计量总体方差的合并估计量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp2. 估计估计量量 x1 1- - x2 2的抽样标准差的抽样标准差21221211nnsnsnsppp两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本: 1222 )l两个样本均值之差的标准化两个样本均值之差的标准化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 1 12 2 2 22 2 )1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：两个总体方差未知

21、且不相等： 1 2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)l使用统计量使用统计量)()()(2221212121vtnsnsxxt两个总体均值之差的估计(小样本: 1222 )两个总体均值之差两个总体均值之差 1- 2在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为222121221)(nsnsvtxx22211222222112212(/)(/)(/)11snsnsnsnnn两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计(匹配样本匹配样本)两个总体均值之差的估计(例题分析)两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.02

22、7.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(匹配小样本匹配小样本)l假定条件假定条件两个匹配的小样本两个匹配的小样本(n1 30和和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体各观察值的配对差服从正态分布 l两个总体均值之差两个总体均值之差 d= 1- 2在在1- 置信水置信水平下的置信区间为平下的置信区间为nsntdd) 1(2两个总体比例之差区间的估计1. 假定条件假定条件两个两个总体服从二项分布总体服从

23、二项分布可以用正态分布来近似可以用正态分布来近似两个样本是独立的两个样本是独立的2. 两个总体比例之差两个总体比例之差 1- 2在在1- 置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为两个总体比例之差的区间估计222111221)1 ()1 (nppnppzpp两个总体比例之差的估计(例题分析)在某个电视节目的收在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查视率调查中，农村随机调查了了400人，有人，有32%的人收看的人收看了该节目；城市随机调查了了该节目；城市随机调查了500人，有人，有45%的人收看了的人收看了该节目。试以该节目。试以95%的置信水的置信水平估计城市与农村收视率差平估计城市与农村

24、收视率差别的置信区间别的置信区间 两个总体比例之差的估计 (例题分析)%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%45两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计(图示图示)两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计1.比较两个总体的方差比比较两个总体的方差比l用两个样本的方差比来判断用两个样本的方差比来判断如果如果S12/ S22接近于接近于1,说明两个总体方差很接近说明两个总体方差很接近如果如果S12/ S22远离远离1,说明两个总体方差之间存在差异说明两个总体方

25、差之间存在差异2.总体方差比在总体方差比在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为212221222122221FssFss两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计(例题分析例题分析)【例例】为了研究男女学生在生活费支出为了研究男女学生在生活费支出(单位：单位：元元)上的差异，在某大学各随机抽取上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生名男学生和和25名女学生，得到下面的结果名女学生，得到下面的结果男学生：男学生： 女学生：女学生：试以试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间差比的置信区间 5201x26021s4802x28022s两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计 (例题分析例题分析)505.028026098.128026022217.4 样本容量的确定样本容量的确定如何确定必要样本量？如何确定必要样本量？必要样本量受以下几个因素的影响：必要样本量受以下几个因素的影响：1、总体标准差。、总体标准