概率论与数理统计第3讲

1、111.4 条件概率与乘法法则条件概率与乘法法则22一一. 条件概率条件概率33条件概率是概率论中的重要概念，条件概率条件概率的基本定义是，在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，称为事件B在给定A下的条件概率，简称为B对对A的条的条件概率件概率，记作P(B|A)。相应地，把P(B)称为无条件概率无条件概率。44例例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A表示)80人，女生20人；免修英语的(用事件B表示)40人中有32名男生8名女生。从这100名学生中任抽一名进行观察。其中抽到男生的概率为抽到免修英语的学生的概率为80( )0.8100P A=40( )0.4100P B 32()

2、0.32100P AB 55例例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A表示)80人，女生20人；免修英语的(用事件B表示)40人中有32名男生8名女生。从这100名学生中任抽一名进行观察。而在事件A已经发生条件下事件B发生的概率为80( )100P A =40( )100P B 32()100P AB 32(|)0.480P B A 66例例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A表示)80人，女生20人；免修英语的(用事件B表示)40人中有32名男生8名女生。从这100名学生中任抽一名进行观察。可以看出80( )100P A =40( )100P B 32()100P AB 3

3、2(|)0.480P B A ()(|)( )P ABP B AP A77定义定义 1.2 设P(A)0，则B对A的条件概率条件概率为()(|)(1.10)( )P ABP B AP A88但是不要以为通常的概率论问题都是根据式(1.10)计算条件概率的，其实不然。在解决许多问题时，条件概率是通过对试验进行控制而更改了样本空间而得到的，就是说，修改随机试验使得那个条件事件A上升为必然事件或者新的样本空间，然后再通过试验、思考或者计算得到P(B|A)。()(|)(1.10)( )P ABP B AP A99就拿例 1.8来说，如果想要得到抽到男生条件下抽到的是免修英语的学生的条件概率P(B|A)

4、, 则是将试验重新设计为抽到男生成为必然事件，也就是先将80名男生取出来，而将20名女生剔除，然后在这80名男生中任抽一个，计算其免修英语的概率。1010在实际应用中如果想要获得B对A的条件概率，如果是试图通过频率的办法测量，也是控制试验使得事件A成为必然事件，然后再统计事件B发生的频率。也可以还是做一般的试验，但是将事件A没有发生的那些试验剔除，再将AB都发生的次数除以事件A发生的次数。1111控制试验使得事件A必然发生，这样的试验称之为条件试验条件试验。条件试验的思考是解决概率论许多问题的重要手段。1212对于条件概率，有控制论和信息论这两种情况。控制论的观点，就是通过条件试验将某个事件上

5、升为必然事件，然后计算各个其它事件在此事件条件下的条件概率。1313而信息论的观点涉及到信息传递这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告.试验场所信息中心1414例例 1.9考虑例 1.2的试验，在边长为1的正方形中等可能地任掷一点，令点落在正方形左半边为事件A，在正方形的右上角到左下角划一直线，将点落在此直线下方的事件称为事件B，如图 1 2所示。AB图1-21515从图中不难看出，B对A的条件概率为1(|)0.254P B A AB图1-21616而我们不应当只是根据定义来看待这个条件概率，更应当思考条件试验，就是说，在这

6、里我们要将试验改成，在事件A也就是正方形的左半边的矩形中任掷一点，这就是一个条件试验。在此条件试验中，这一点落在区域B中的概率。AB图1-21717二二. 乘法法则乘法法则1818正因为有条件试验这种思考和试验的设计，就导致了下面的一个经验之谈：在计算概率时，两个事件A和B的积事件的概率P(AB)的计算通常不容易，而B对A的条件概率P(B|A)的计算通常容易一些。1919因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算P(AB)，即有如下的乘法法则：定理定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设P(A)0，则下式成立：P(AB)=P(A)P(B|A)(1.11)()(|)(1.10)(

7、)P ABP B AP A2020P(AB)=P(A)P(B|A)(1.11)这样的乘法法则可以推广到三个甚至更多个事件上去。例如对于事件A，B，C，就有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)这是因为上式右边头两项的乘积就是P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结果。2121例例 1.10袋内有3个红球5个白球，从中任抽两个，求抽得的都是白球的概率。解解 假设A=第一次抽到白球，B=第二次抽到白球，则题意是要求P(AB), 根据式(1.11)可得54()( ) (|)0.357187P ABP A P B A2222在上式的思考过程中，在计算P(A)也就是第一次抽得白球的事件，

8、这时是从8个球中抽出5个白球中的1个，因此是一个基本事件数为8的古典概型问题是简单的，然后在A已经发生的条件下，第二次抽的时候袋内只剩7个球且只有4个白球，因此也是一个基本事件数为7的古典概型的试验，因此条件概率也是好计算的。54()( ) (|)0.357187P ABP A P B A2323而这道题当然也可以完全用古典概型的办法来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起就是 分母上正好是8个元素取两个的排列数，是有次序地抽两个球的基本事件总数，而分子上则是5个白球取两个的排列数，这是在一个56个基本事件的试验中进行计算，当然思考就复杂一些。5 48 72424用组合的办法算也行，就是

9、也能够得到正确结果。但总的来讲，用乘法法则进行思考是最简洁的。这也说明了当一个问题求的虽然不是条件概率，也可以考虑利用条件概率然后由乘法法则获得答案。25285 41 28 71 2CC2525三三. 0概率事件作条件概率事件作条件2626在对条件概率的定义 1.2中，因为条件事件A的概率是要放在分母上的，所以要求P(A)0。但是实际应用中经常遇到象几何概型那样的试验模型，就是存在着0概率的可能事件，因此是可以设计以0概率事件作为条件，把这样的事件上升为必然事件的条件试验的。这时可以根据条件试验的模型直接计算条件概率，而不使用式(1.10)。2727例例 1.11接着例 1.9进行研究，事件A

10、与B的定义也都不变，定义事件C为点落在内接圆上，如图 1 3所示。AB图1-3C2828因此事件C只是一条曲线，曲线在平面上的面积为0，所以P(C)=0。但是现在考虑条件试验，强行地让C成为必然事件，而且任何事件发生的概率都和它在C中占有的曲线长度成正比。AB图1-3C2929从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接圆的一半，所以AB图1-3C1(|)(|)2P A CP B C3030四四. 全概率定理与贝叶斯定理全概率定理与贝叶斯定理3131在某些试验环境中，某个事件B的概率有可能难计算，这时如果能够将B划分成为n个互不相容事件的和事件，则计算这些事件的概率并相加就得到P(B)。3232而

11、经常就是利用一个划分A1,A2,An来将B切割成n个互不相容的事件，即 B=BW=B(A1+A2+An)=BA1+BA2+BAn上式右端的各个事件BAi (i=1,2,n)就是两两互不相容的事件, 因此就有P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn)3333上式可以由图 1 4表示，图中是给出了n=4的情况，其中B的总面积是它与A1,A2,A3,A4这四个区域的重合部分的面积之和。A1A2A3A4WB图1-43434P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn)但是由经验之谈，计算两个事件的积事件的概率P(BAi)是不容易算的，因此就利用乘法法则，P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai

12、) (i=1,2,n)。这样我们就得到如下定理。3535定理定理 1.8 (全概率定理) 如果A1,A2,An构成一个划分，且都有正概率，则对任何一个事件B，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)(1.12)上式也称为全概率公式全概率公式。3636全概率定理解决的一些问题中，通常试验可视为分两步做，第一步决定划分的各个事件A1,A2,An的产生，第二步决定事件B的产生。3737例例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的这种螺钉的

13、总次品率。3838例例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的这种螺钉的总次品率。解解 试验为从全厂生产出的螺钉中任抽一个，抽出的螺钉为次品的事件为B，并假设抽出的螺钉为甲、乙、丙车间生产的事件为A1,A2,A3，这三个事件构成划分，且由题意可知P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2。3939例例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的这种螺

14、钉的总次品率。P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2题目给出的各个车间的次品率为条件概率，就是将条件试验设定为A1,A2,A3依次上升为必然事件的条件下进行试验，得到的三个条件概率依次为P(B|A1)=0.04, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.05, 4040例例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%、35%、20%。如果各车间的次品率依次为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的这种螺钉的总次品率。P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2P(B|A1)=0.04, P(B|A2)=0.0

15、2, P(B|A3)=0.05, 则根据全概率公式可得：P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.0354141不同的问题选取的划分不同，而最常见的划分，是某事件A和它的逆A 构成的划分，用这样的划分来计算任意事件B的全概率公式为( )( ) (|)( ) (|)(1.13)P BP A P B AP A P B A4242例例 1.13有两个口袋，甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有1个白球2个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。4343例例 1.13有两个

16、口袋，甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有1个白球2个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。解解 试验分两步做，将试验的第1步产生的各事件构成划分，因此设A为从甲袋中取出的是白球，则A 为从甲袋中取出的是黑球，设B为最后取到白球的事件。因为甲袋中有2个白球1个黑球，所以21( ), ( )33P AP A4444而当A发生条件下，在乙袋中添加了一个白球，乙袋中就有2个白球2个黑球，因此再取出白球的概率就是在A 发生条件下，乙袋中添加了一个黑球，乙袋中就有1个白球3个黑球，因此再取出白球的概率就是21(|)42P B A 1(|)4P B A 4545则由式(1.

17、13)可算得21( ), ( )33P AP A21(|)42P B A 1(|)4P B A ( )( ) (|)( ) (|)21115323412P BP A P B AP A P B A4646下面介绍贝叶斯定理。贝叶斯定理的试验模型和全概率定理的完全一样，也是有一个划分A1,A2,An，及一个作为最终结果的事件B，但是要求的概率不一样，是关心的在B已经发生条件下，某个事件Ai的概率，即希望求出P(Ai|B) (i=1,2,n), 共n个条件概率，根据条件概率的定义我们有()(|)(1,2, ) (1.14)( )iiP ABP A BinP B4747而分母P(B)可由全概率公式求得

18、，分子是两个事件的积事件的概率通常不容易求，因此要用乘法法则即P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai) (i=1,2,n)将上式和式(1.12)代入到式(1.14)，我们就能得到如下定理。()(|)(1,2, ) (1.14)( )iiP ABP A BinP B4848定理定理 1.9 (贝叶斯定理) 若A1,A2,An构成划分，并且它们都有正概率，则对于任何一个概率不为0的事件B，有(1.15)上式也称为贝叶斯公式贝叶斯公式。注意到其中的分母是n个数相加，而分子则依次是分母的n个相加的数中的一个。1() (|)(|)(1,2, )() (|)mmmniiiP AP B AP ABmnP A

19、P B A4949最常见的划分就是某个事件A与它的逆事件A ，在这种情况下贝叶斯公式写成(1.16)( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)P A P B AP A BP A P B AP A P B AP A P B AP A BP A P B AP A P B A5050例例 1.14 在例 1.12中，从此工厂生产出的螺钉中任取一个，发现是次品，求它分别是甲、乙、丙厂生产的概率。5151例例 1.14 在例 1.12中，从此工厂生产出的螺钉中任取一个，发现是次品，求它分别是甲、乙、丙厂生产的概率。解解 事件B已经发生，我们要求三个条

20、件概率P(A1|B), P(A2|B)和P(A3|B), 因为在例例 1.12中我们已经求得P(B)=0.035, 因此111() (|)0.45 0.04(|)0.514( )0.035P A P B AP A BP B222() (|)0.35 0.02(|)0.2( )0.035P A P B AP ABP B5252333() (|)0.2 0.05(|)0.286( )0.035P A P B AP ABP B5353贝叶斯公式在信息论中有重要的作用，是因为在实际问题中人们只能够直接观察到事件B是否发生，因此事件B属于信息，而事件A1,A2,An却无法直接观察到，因此要计算在B这个信

21、息出现条件下，划分中各个事件的条件概率。例如，假设有n种疾病可能导致发烧，现在能够观察到的是病人发烧了，则要反过来判定哪种疾病的可能性大。5454因此经常称式(1.15)中的P(Am|B)，(m=1,2,n)为后验概率后验概率，而相对于获得B事件已经发生这个消息之前的各个概率P(A1),P(A2),P(An)称之为先验概率先验概率。5555作业：第37页开始第12,13,14,15,16题5656例例 已知甲、乙两箱中都装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解解 设 A0=从甲箱中取得0件次

22、品A1=从甲箱中取得1件次品A2=从甲箱中取得2件次品 A3=从甲箱中取得3件次品A0,A1,A2,A3构成划分，设B=从乙箱中任取一件产品是次品5757例例 已知甲、乙两箱中都装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解解 简化的写法：设Ai=从甲箱中取得i件次品(i=0,1,2,3),A0,A1,A2,A3构成划分，设B=从乙箱中任取一件产品是次品求PB要知道八个有关概率为P(A0),P(A1),P(A2),P(A3)P(B|A0),P(B|A1),P(B|A2),P(B|A3)5858例例 已知甲、乙两箱中都装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率。(2003年考研题)解解 简化的写法：设Ai=从甲箱中取得i件次品(i=0,1,2,3),A0,A1,A2,A3构成划分，设B=从乙箱中任取一件产品是次品求PB要知道八个有关概率为P(A0),P(A1),P(A2),P(A3)P(B|A0),