概率论与数理统计-21随机变量及其分布

1、 为了进一步深入研究随机现象, 在这一章里我们将引入随机变量的概念. 由于随机变量概念的引入，我们可利用微积分知识，更全面更深刻地揭示随机现象的内在规律。在第一章里，我们讨论了随机事件及其概率，其中随机事件都是用定性的语言描述的，与数学最基本的研究对象数及变量尚未建立直接联系。 在许多带有随机因素的实际问题中，我们往往只关心某些数据，如电子元件的寿命、车站的候车人数等等. 此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应关系会带来许多便利，比如每一个学生可以用一个学号与之对应，城市的每一间房屋可以用一个门牌号与之对应，工厂生产的同一种型号产品（如计算机可以用一个代码与之对应）. 同样，建立数和基本事件

2、的对应关系将有助于我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步的研究.2.1 离散型离散型随机变量及其分布随机变量及其分布 1. 随机变量随机变量2. 离散型随机变量离散型随机变量3. 两点分布两点分布4. 二项分布二项分布5. 泊松分布泊松分布6. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.随机变量随机变量 在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有另一个量与每个结果相关联。如赌博时投掷硬币，人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来。 这样，就自然建立了一个对应关系。 有些试验结果本身与数值有关：有些

3、试验结果本身与数值有关：（1）掷一颗骰子面上出现的点数；（4）七月份济南的最高温度；（2）每天到北京下火车的人数；（3）昆虫的产卵数；盒中有3个黑球和2个白球，从中随机抽取3个，考虑取得的白球数。 抽取的白球数有三个可能结果：0，1或2，对于不同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一个变量，用表示“抽取的白球数”，该变量的不同取值表达不同的随机事件，如 （=0） 表示“抽取的3个球中无白球”； （=1） 表示“抽取的3个球中有1个白球”； （2）表示“抽取的3个球中至多有2个白球”。 在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说，把试验结果数值化.

4、 例例: 抛掷一枚硬币，观察其出现正面与反面的情况，则其有二个可能结果：出现正面H或出现反面T，其样本空间为=H,T.这样我们就将试验结果与实数对应起来了.HTXX10)(若我们在样本空间上定义一个函数:通常，我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.引入随机变量后，就可以用随机变量X描述事件定义定义:设随机试验E的样本空间 ，如果对每一个样本点 ，都有唯一实数 与之对应，则称 为样本空间 上的随机变量.)(XX )(XX 例例在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，那么灯泡的寿命 (小时)是一个随机变量，显然的一切可能取的值是非负实数值，即0, +) 而(=1200)，(5000)，(1500)

5、等都是随机事件。由此可知，随机试验的结果可以用变量来表示，但这种“变量”与微积分中的“变量”是有区别的. 它有两个特点：取值的随机性，也就是说取哪一个值，在抽样前无法确定；取值的统计规律性，也就是取这些值的概率是确定的。 随机变量的随机变量的两个主要问题：两个主要问题： 研究随机变量可能取哪些值； 研究随机变量取这些值的概率各是多少。如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为：X=2 X=4 X=6 “出现的点数小于”可表示为：X 4或X3 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.随随机机变变量量离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型随机变量随机变量有有限或可列无穷

6、多个所有取值，可以逐个一一列举如“电视机的寿命”、实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.2. 离散型随机变量离散型随机变量), 2 , 1(,kxk, 2 , 1,)(kpxXPkkkx 把X可能取的值及相应的概率列成表，如表2.1.1所示，称表为X的概率分布表，或称为分布列Xx1x2xkPp1p2pk随机变量的分布律是指随机变量所有可能的取值与取这些值的概率之间的一种对应关系。这种对应关系可用解析式（2.1.1）和分布列表示，还可用图示法表示（图2.1.1） 对于离散型随机变量，概率分布中的pk必须满足下列两个性质两个性质：1) 2 (,

7、 2 , 1, 0) 1 (1kkkpkp反过来，满足上式的数pk也一定可作为离散型随机变量的概率分布。例例2.1.1 设有10件产品，其中正品6件，次品4件，从中任取3件产品，用X表示从中取出的次品数，求其分布律.解：解：X表示3件产品中的次品数，则X可能取的值是0,1,2,3，“X=k” (k=0,1,2,3) 表示事件“有k件次品”. 则301) 3(103) 2(21) 1(61) 0(3100634310162431026143103604CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP其分布列为X0123P1/61/23/101/30随机变量X的分布律可表示为. 3 , 2 , 1 , 0

8、)(310364kCCCkXPkk一般，在总共N件产品中，其中有M件次品，现从中任取n件（不放回地取），则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其概率分布为lkCCCkXPnNknMNkM, 2 , 1 , 0)(其中通常称这个概率分布为超几何分布超几何分布),min(nMl 例例2.1.2 从次品率为p的一批药品中，有放回地一个一个抽取，直到抽到次品为止. 设X为所抽取的药品次数，求X的概率分布.解解则，次抽取次品第设, 2 , 1iiAiqpAPpAPii1)(,)(于是, 2 , 1,)()()()()()(1121121kpqAPAPAPAPAAAAPkXPkkkkk因为Ai之间

9、相互独立上式是几何级数的一般项，因此称上式为几何分布几何分布显然111)(11111qpqppqkXPkkkkk已知离散型随机变量的分布列为求 （1） (-16)； （2） (=1)解解 （1）注意到在-110，p0.1时，就可用公式近似计算二项分布的概率（前）例（前）例2.1.4 设每次射击命中目标的概率为0.1，现独立地射击400次，求（1）最可能命中目标的次数及相应的概率；（2）至少3次命中目标的概率.解解 因为401. 0400 np4544!4!4)5()4()4() 1 (ekekXPXPXPkkkk查附表3（泊松分布表）得195367. 0371163. 0566530. 0)4

10、(XP761897. 0!4)3()2(43ekXPkk,2, 1,2iaiXPi求常数a.2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分布列： 0.1,0.2,0.3,0.4.课堂练习课堂练习1.3.设随机变量X的概率分布为X 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 a求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X0是常数，则称X服从参数为的泊松分布)(PX记作 泊松分布是概率论中最重要的离散型随机变量的分布之一，许多稀疏现象，如电话交换机的电话转接次数、放射性物质每分钟分裂的原子数、在一寄生动物的宿主上寄生物的数目等都服从泊松分布。所以泊松分布又称为稀疏现象律 泊松分布是法国数学家泊

11、松（Poisson）研究二项分布在一定条件下的极限分布时而发现的。可验证泊松分布满足分布律的两条性质：1)() 2 (, 2 , 1 , 0, 0)() 1 (0kkXPkkXP泊松分布图的上升、下降情况与二项分布相仿。由kkXPkXP) 1()(可看出，若不是整数，泊松分布的最可能值为；若是整数，泊松分布的最可能值为或-1.例例2.1.6 某电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从=5的泊松分布，试求一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。一分钟内呼叫次数不超过6次的概率为XP(5)，于是解解 设每分钟电话交换台接到的呼叫次数为X，则5!5)(ekkXPk7622. 02378. 01!51)()6(5

12、760ekkXPXPkkk查泊松分布表解解（1）保险公司在该项业务中的收入为 1202500300000元 设在这一年中死亡人数为x，则保险公司要支付赔偿金20000 x元 ，只要20000 x 300000 即x 15人，保险公司在办理该项业务上就亏本。例例2.1.7 保险问题：人群出现意外事故的概率为0.002，现有2500人参加这种保险，规定参加该项保险的人每年交保险金120元，若在一年内被保人出现意外，保险公司赔偿20000元。试问（1）保险公司在办理该项业务上亏本的概率是多少？（2）该项业务获利不少于10万元的概率有多大？设出现事故人数为X，则)002. 0 ,2500( BX因为n

13、较大，p较小，且5np故5525001625001625002500109 . 6!5998. 0002. 0)16()15(ekCXPXPkkkkkk（2）该项业务获利不少于10万元，即3000020000 x100000，x10人，故9863. 00137. 01)11(1)10(1)10(XPXPXP由此可看出，保险公司在办理该项业务亏本的风险很小，赢利10万元以上的可能性接近99称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数F(x)是x的一个普通的函数！定义域为？（,）；值域为？,)()(x X P xF6. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数xxx F(x)是一个不减函数，且 F(x+0)=F(x), 即 F(x)是右连续的。注注：若将分布函数定义为：F(x) = P X x 性质将改为左连续1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx0（ab对于离散型随机变量X), 2 , 1()(kpxX PkkxxkxxkkkpxXPx X P xF)()()(由分布函数的定义及概率加法公式得（前）例（前）例2.1.1 设有10件产品，其中正品6件，次品4件，从中任取3件产品，用X表示从中取出的次品数，求其分布律. 求X的分布函数并作出图形.X0123