第5章弯曲变形

1、材料力学材料力学2022-3-72姜姜 诗诗 三三 孝孝 感感 天天诸诸 葛葛 双双 忠忠 动动 地地2022-3-73虞舜孝心感动天曾参跪问痛心源仲由衣锦思负米闵损芦衣无怨言涌泉跃鲤姜庞氏卖身董永遇天仙2022-3-745.1 梁的弯曲变形梁的弯曲变形一、梁的弯曲变形参数一、梁的弯曲变形参数1. 挠度和转角挠度和转角tanvdxdvxv=f(x)vyxF第第5章章 弯曲变形弯曲变形2022-3-752. 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程EIM12/3211vv 1vv EIMv 左手坐标系，应取负号左手坐标系，应取负号或或MvEI MvEI 近似之近似之所在！所在！xyo2022-3-7

2、6二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的v刚度校核刚度校核v为施工提供依据为施工提供依据v为超静定计算打下基础为超静定计算打下基础 变形协调条件变形协调条件2022-3-77一、微分方程积分一、微分方程积分1. 近似微分方程近似微分方程)(xMvEI CxxMEId)(DCxxxxMEIv dd)(5.2 积分法求梁的变形积分法求梁的变形2. 微分方程的解微分方程的解xyo2022-3-78二、确定积分常数二、确定积分常数1. 积分常数个数积分常数个数2. 积分常数确定积分常数确定A0AAv0AvAB0BAvvBAC右左CC右左CCvv2022-3-79三、求解步骤三、求解步骤1. 内力

3、函数内力函数2. 积分求挠曲函数积分求挠曲函数3. 变形结果变形结果2022-3-710v 例题例题5.1v 解：解：)(xMvEI lBqFAFBAxxy反力反力qlFFBA21弯矩弯矩221)(qxxFxMA22121qxqlx挠曲线微分方程挠曲线微分方程22121qxqlx 2022-3-711：0, 0vxD0：0, vlxDClqlql4424112100D3241qlC CqxqlxvEI326141DCxqxqlxEIv43241121lBqFAFBAxxy22121qxqlxvEI 积分积分边界条件确定积分常数边界条件确定积分常数解得解得2022-3-7122/ lxcvv0

4、xAlxB（顺）（顺）（逆）（逆）lBqFAFBAxxy挠函数和挠函数和转角函数转角函数3322416141qlqxqlxEIxqlqxqlxEIv343241241121EIql43845EIql3241EIql32412022-3-713v例题例题5.2v解解MlBAMxM)(CMxvEIMxMvEI )(DCxMxEIv221:0, 0vxC0:0, 0vxD0EIMlvvlxB221|EIMlvlxB|抛物线？圆曲线？抛物线？圆曲线？22xEIMv xyx2022-3-714v例题例题5.3v解：解： lBFRARBAxyCabx支座反力支座反力:0)(FMA0 FalRB:0)(FM

5、B0lRFbAlFbRAlFaRB根据外力情况，分根据外力情况，分两段写弯矩函数两段写弯矩函数:AC段段xRxMA)(xlFbCB段段)()(axFxlFbxMx2022-3-715xlFbvEI AC段段122CxlFbEI1136DxCxlFbEIv分段积分分段积分)(xMvEI lBFRARBAxyCabxx2022-3-716)(axFxlFbvEI 222)(212CaxFxlFbEI2233)(616DxCaxFxlFbEIv边界条件边界条件:0, 0vx01D:0, vlx0)(6162232DlCalFlFblBFRARBAxyCabxCB段段2022-3-717C处光滑、连续

6、条件处光滑、连续条件:,rlax221222CalFbCalFb:,rlvvax22311366DaCalFbDaCalFb解得解得：)(62221bllFbCC021 DD)(6bllFablBFRARBAxyCabx2022-3-718EICA1)0(22)(2121)(CalFlFbEIlB)(6alEIlFab)(3)(baEIlFabac)(6blEIlFab2022-3-7191221CxlFbEIv0)(312222blxEIlFab322blxlBFRARBAxyCabx2022-3-7203/ )(max22blxvv:577. 0, 0lxb0maxv2/, 2/lxlba

7、EIFlv3max481lBFRARBAxyCabx322)(39blEIlFb简支梁的最大挠度总是在跨中附近取得，工程上为简支梁的最大挠度总是在跨中附近取得，工程上为方便计算，通常就将跨中挠度作为最大挠度验算。方便计算，通常就将跨中挠度作为最大挠度验算。2022-3-721v例题例题5.4v解解ABlCPl/2PRA21（）PRB23（）PxxMvEI21)( AB段（段（0 x l）1241CPxvEI113121DxCPxEIv2022-3-722)(2321)(lxPPxxMvEI BC段（段（l x 3l/2）222)(4341ClxPPxvEI2233)(41121DxClxPPx

8、EIv:0, 0vx10D:0,vlx1131210DlCPl2231210DlCPl光滑条件光滑条件:,右左vvlx22124141CPlCPlABlCPl/2P/23P/22022-3-723ABlCPl/2221121PlCC021 DD2/3lxCv222234323411CllPlPEIEIPl22472/3lxCvv0232341231211233lCllPlPEIEIPl3812022-3-7245.3 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形一、叠加的条件一、叠加的条件1. 外力与变形成正比外力与变形成正比2. 外力引起的变形相互独立（互无关系）外力引起的变形相互独立（互无关系）二、叠

9、加法求变形二、叠加法求变形1. 一组载荷分解成若干单独载荷一组载荷分解成若干单独载荷2. 计算各独立载荷引起的位移（计算各独立载荷引起的位移（查表查表）3. 位移叠加位移叠加 = 最后结果最后结果2022-3-725v例题例题5.5v解：解：mql/2ABCl/2ql/2ABCl/2EIqlvCq43845EIqlBq32412022-3-726l/2ABCl/2m22262/lllEImlvCmmql/2ABCl/2EIml2161EImlBm31（3）叠加得结果）叠加得结果CmCqCvvvEImlEIql241613845CmCqCEImlEIql312413（向下移动）（向下移动）（逆时

10、针转）（逆时针转）2022-3-727v例题例题5.6v解：解：CABF2EIEIl/2l/2BEICF（1）AB刚化，刚化，BC变形变形EIlFC21)2/(21EIFl281EIlFvC31)2/(31EIFl32412022-3-728（2）BC刚化，刚化，AB变形变形EIlFB2)2/(2122B处处EIlFl2)2/)(2/(EIFl2163EIlFvB2)2/(3132EIlFl2)2/)(2/(212EIFl3965BC不变形，不变形，C处仍然有位移处仍然有位移EIFlBC222163ABF2EIEIl/2l/2Me=Fl/2C2222lvvBBC216396523lEIFlEI

11、FlEIFl34872022-3-729（3）叠加结果）叠加结果ABF2EIEIl/2l/2C21CCCEIFl281EIFl2163EIFl216521CCCvvvEIFl3241EIFl3487EIFl31632022-3-7305.4 梁的刚度条件梁的刚度条件一、挠度与转角之一般结论一、挠度与转角之一般结论v与刚度与刚度EI成反比成反比v与荷载与荷载F、q、Me 成正比成正比v挠度与跨度的挠度与跨度的n次方成正比，转角与跨度次方成正比，转角与跨度的的n-1次方成正比次方成正比 2022-3-731二、提高梁刚度的途径二、提高梁刚度的途径v减小跨度减小跨度v调整加荷方式调整加荷方式v合理选

12、择截面形状合理选择截面形状v合理选材合理选材2022-3-732 三、刚度条件三、刚度条件v 刚度条件刚度条件钢结构吊车梁钢结构吊车梁混凝土结构吊车梁混凝土结构吊车梁maxvv仍然可以仍然可以求解三类求解三类问题问题v容许挠度容许挠度混凝土结构房屋梁混凝土结构房屋梁2022-3-733v例题例题5.7v解解ABlqF2022-3-734ABlqF225.81kN.mFqlV2121max282198 . 1211 .22kNFlqlM41812max9284198 . 18122022-3-735zWMmaxmax8 .921087510225.8136N/mm2 = 160 N/mm2):(maxmaxxxSIdV2 . 730710101 .223N/mm2荷载引起的挠度时，可不荷载引起的挠度时，可