第5章 刚体的定轴转动

1、5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述一、什么是刚体？一、什么是刚体？橡皮泥橡皮泥F刚体：刚体：受力时形状和体积都不发生改变的物体受力时形状和体积都不发生改变的物体F不锈钢不锈钢刚体可以看作是由许多质刚体可以看作是由许多质点组成的，每一个质点叫点组成的，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体做刚体的一个质元，刚体这个质点系的这个质点系的特点特点是：是：在外力作用下各质元之在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。间的相对位置保持不变。 mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj刚体的刚体的平动平动刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动 m

2、i mj mi mj mi mj二、刚体的运动二、刚体的运动选取参考点选取参考点O，则：，则：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij对对（1）式求导式求导可用刚体上任意一点的运动来代表整个可用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动。一般用质心。刚体的平动。一般用质心。 irjr mi mjOijr 转动转动刚体运动过程中，如果刚体刚体运动过程中，如果刚体上所有的点都绕同一条直线上所有的点都绕同一条直线作圆周运动，那么这种运动作圆周运动，那么这种运动就称之为转动。这条直线称就称之为转动。这条直线称为转轴。为转轴。OXYZ注意：以注意：以点为中心点为中心的的转动和与以转动和与以轴为中心

3、轴为中心的转动的区别的转动的区别一般运动：一般运动：刚体的任一位移总可以表示为一个刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动。随质心的平动加上绕质心的转动。蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理蔡斯勒斯定理三、刚体的定轴转动三、刚体的定轴转动在刚体转动过程中，如果转轴固定不动，则称这种在刚体转动过程中，如果转轴固定不动，则称这种转动为定轴转动。转动为定轴转动。定轴转动定轴转动1定轴转动定轴转动2特点：特点： 各质元的线速度各质元的线速度v、加速度、加速度a不同。不同。 各质元角速度各质元角速度 和角加速度和角加速度 ；在相同的时间内有相同；在相同的时间内有相同的角位移的角位移 。

4、ddt22dddtdt定轴转动的速度与加速度定轴转动的速度与加速度离转轴的距离为离转轴的距离为r的质元的质元的线速度和刚体的角速度的线速度和刚体的角速度的关系为：的关系为：rv 其加速度与刚体的角加速度其加速度与刚体的角加速度和角速度之间的关系为：和角速度之间的关系为：切向加速度：切向加速度：rat法向加速度：法向加速度：2ran特例：匀加速转动特例：匀加速转动221202200tttOXY一、刚体的平动动能一、刚体的平动动能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC其平动动能应为各质元动其平动动能应为各质元动能之和。能之和。5.5 转动中的功与能转动中的功与能刚体中各质元运动速率

5、相刚体中各质元运动速率相同，可用质心速率代表同，可用质心速率代表M刚体绕定轴以角速度刚体绕定轴以角速度 旋转。旋转。刚体的动能应为刚体的动能应为各质元动能之和，为此各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小将刚体分割成很多很小的质元。的质元。ivimr i当刚体以角速度当刚体以角速度 转动时，设其内部质量转动时，设其内部质量为为mi的质量元的速度为的质量元的速度为vi=ri ，动能为：，动能为：2221122iii imvmr二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能22221122Ki ii iEmrmr 整个刚体绕固定转轴转动的动能为：整个刚体绕固定转轴转动的动能为：定义：刚体对转轴的转动惯量定义

6、：刚体对转轴的转动惯量J2i iJmr 刚体的转动动能公式：刚体的转动动能公式：212KEJ功功A：质点在外力作用下沿力的方向发生质点在外力作用下沿力的方向发生位移，则力对质点必定做功位移，则力对质点必定做功costdAF drFdrF dr三、动能定理三、动能定理回回顾顾质点动能定理：质点动能定理：221122ABBAAmvmv质点系动能定理：质点系动能定理：KBKAAAEE外内1、力矩的功、力矩的功在刚体转动中，作用在刚体上某点的力在刚体转动中，作用在刚体上某点的力对刚体产生一个力矩，如果力矩的作用对刚体产生一个力矩，如果力矩的作用使刚体发生了角位移，那么该力矩也作使刚体发生了角位移，那么

7、该力矩也作了功。了功。MMdFOrds+设一刚体的一个截面与设一刚体的一个截面与其转轴正交于其转轴正交于O点，点， 为此截面内作用在刚体为此截面内作用在刚体上的力。上的力。F在在dt dt 时间内刚体角位时间内刚体角位移为移为d d cossincoscosdAF drFdrFrdsindAFrd dAMdMMdFOrds+F力 做的元功为:.90odrdrr当很小时,可认为( , )sinr FMr FMrF 力对转动刚体作的元功力对转动刚体作的元功等于相应的力矩和角位等于相应的力矩和角位移的乘积。移的乘积。)1(MddA 在一微小过程中在一微小过程中力矩作的功力矩作的功21在力矩作用下，刚

8、体的在力矩作用下，刚体的角位置由角位置由则力矩的功为：则力矩的功为：)2(21MddAA力矩的功力矩的功反映反映力矩对空间的积累作用力矩对空间的积累作用，力矩越大，在，力矩越大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？间的积累作用的规律是什么呢？OM1XM21X122、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理2122211122MdJJ刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理质点系动能定理质点系动能定理KBKAAAEE外外内内也适用于刚体。也适用于刚体。由于刚体内质点的间距不变，一切内力作的功都为零。由于刚体内质点的间

9、距不变，一切内力作的功都为零。而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作的功，故有：的功，故有：22211122AJJ外外合力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作的功等合力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作的功等于它的转动动能的增量。于它的转动动能的增量。iipgymEgMymMii四、刚体的重力势四、刚体的重力势能能iim gy任取一质元其势能为任取一质元其势能为( (以以O为参考点）为参考点）CMgyOXY miMCCviyCy结论：结论：刚体的重力势能决定于刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度，刚体质心距势能零点的高度，与刚体的方位无关。即

10、刚体的与刚体的方位无关。即刚体的重力势能只要把刚体的质量全重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）处理即可（无论平动或转动）221122kCEmvJ对既有平动又有转动的刚体的对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又如何呢？动能、机械能又如何呢？221122CCEmghmvJ机机械械CvCm、JCCh势能零点势能零点只有保守内力作功时，刚体系统的机械能也应该守恒只有保守内力作功时，刚体系统的机械能也应该守恒例：一条缆索绕过一定滑轮拉例：一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机。滑轮半径动一升降机。滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以

11、加速如果升降机从静止开始以加速度度a=0.4m/s2匀加速上升，求：匀加速上升，求： 滑轮的角加速度；滑轮的角加速度； 开始上升后，开始上升后，t=5s末滑轮的末滑轮的角速度；角速度； 在这在这5s内滑轮转过的圈数；内滑轮转过的圈数； 开始上升后，开始上升后，t =1s末滑轮边末滑轮边缘上一点的加速度。缘上一点的加速度。(设缆索与设缆索与滑轮之间不打滑滑轮之间不打滑)anataar解：解： 轮缘上一点的切向加速度与升轮缘上一点的切向加速度与升降机加速度相等降机加速度相等滑轮角加速度为：滑轮角加速度为：20.8/ttaarrad sr 滑轮匀加速转动，起始速度为滑轮匀加速转动，起始速度为零。故零

12、。故5 5s s末滑轮的角速度为：末滑轮的角速度为：04/trad s 滑轮转过的角度为：滑轮转过的角度为：21102trad相应的圈数为：相应的圈数为：10/2p p=1.6圈圈nataaranaatar 设轮缘上一点在设轮缘上一点在t=1s时的加速度为时的加速度为a 。22tnaaa 0.4/tam s220.32/narm s000.8/0,0.8/,1trad srad sts可得：可得：222220.40.320.51/tnaaam sarctan38.7(onttaaaaa的的方方向向为为: :为为 与与 之之间间的的夹夹角角) )例例1、一个转动惯量为、一个转动惯量为J=2.5k

13、gm2，直径为，直径为60cm的飞轮，正以的飞轮，正以130rad/s的角的角速度旋转。现用闸瓦将其制速度旋转。现用闸瓦将其制动，如果闸瓦对飞轮的正压动，如果闸瓦对飞轮的正压力为力为500N，闸瓦与飞轮之，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为间的摩擦系数为0.50，求：，求：fdN 飞轮飞轮闸瓦闸瓦 飞轮转过飞轮转过10圈时，摩擦力矩作的功；圈时，摩擦力矩作的功； 此时飞轮的角速度是多少？此时飞轮的角速度是多少？解：解：摩擦力矩作的功摩擦力矩作的功闸瓦对飞轮的摩擦力为：闸瓦对飞轮的摩擦力为：Mrf方向如图方向如图摩擦力对转轴的力矩为：摩擦力对转轴的力矩为：250fNN752dMrffN m 根据根据 的

14、方向，转轴的方向，转轴( (设为设为Z 轴轴) )的正向为垂直纸的正向为垂直纸面向外，而摩擦力矩的方向为面向外，而摩擦力矩的方向为Z 轴负向。轴负向。fdN 飞轮飞轮闸瓦闸瓦转过转过10圈后摩擦力矩作的功为：圈后摩擦力矩作的功为：2120075471AMddJp 转过转过10圈后飞轮的角速度圈后飞轮的角速度根据动能定理：根据动能定理：22211122AJJ2222114712525 13022128.5/rads例例2、一个质量为、一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮的定滑轮(J=1/2MR2)上面绕上面绕有细绳，绳有细绳，绳 一端固定在滑轮一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为边上，另一端挂

15、一质量为m的的物体而下垂。忽略轴处摩擦，物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体求物体m由静止下落由静止下落h高度时高度时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。mg解：解：以滑轮、物体和地球作为研究的系统。以滑轮、物体和地球作为研究的系统。系统外力系统外力(滑轮轴对滑轮的支持力滑轮轴对滑轮的支持力)不作功不作功,只有只有保守内力保守内力(重力重力)作功作功,机械能守恒机械能守恒.mg2211022Jmvmgh滑轮转动动能滑轮转动动能 物体动能物体动能物体势能物体势能Oy如图建立坐标，以物体初始位置为势能零如图建立坐标，以物体初始位置为势能零点。根据机械能守恒：点。根据机械能守恒：21,2

16、vJMRR将将代代入入可可解解得得: :42mghvRmMR物体的速度：物体的速度：滑轮角速度：滑轮角速度：42mghvmM5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算一、转动惯量的计算一、转动惯量的计算刚体对固定转轴的转动惯量的定义为：刚体对固定转轴的转动惯量的定义为：21nzi iiJJmr233222211RmRmRmJz1m2m3m1R2R3R对离散物体：对离散物体：对质量连续分布的刚体则应无限分割对质量连续分布的刚体则应无限分割212limni iniMJmrr dm注注意意dm为质元质量为质元质量，r为质元到转轴之间的垂直距离。为质元到转轴之间的垂直距离。MimRdldmdsdmdVdm质

17、量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。距离平方的乘积之总和。面分布面分布2MJr dm注意注意只有对于几何形状规则、质量连续且只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量刚体的转动惯量例例1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转的均

18、匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:2Jr dm注意：注意：J是可加的，所是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。度）结果相同。ROdm222mRdmRdmR Rdl例例2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm 2Jr dmZOR2340122RJr dmlr drR lpp可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以

19、，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。22 12JmR lRmplrdr p p 2例例3、求质量为、求质量为m,长为长为L的均匀细棒对下面三的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：种转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心O并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h的一点的一点A并与棒垂直并与棒垂直hO质质BA已知：已知：L、m求：求：JO、JB、JA解：以棒中心为原点建立坐标解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分割、将棒分割成许多质元成许多质元dm。dxdmLm/XdxxdmhO质质BALdxdm

20、Lm/2222LoLJR dmxdx求求JO3211212LmL求求JB220LBJR dmxdx32133LmLXdxxdmhO质质BAL/222/2h LAh LJR dmxdx求求JA22112mLmh注意：注意：2020( )2BALJJmJJmh平行轴定理平行轴定理：刚体对任一轴刚体对任一轴A的转动惯量的转动惯量JA和通过质心和通过质心并与并与A轴平行的转动惯量轴平行的转动惯量Jc有如下关系：有如下关系：2mdJJCAm为刚体的质量为刚体的质量d为轴为轴A与轴与轴C之间的垂直距离之间的垂直距离 CMAd二、平行轴定理二、平行轴定理图示刚体对经过棒端且图示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的

21、转动惯与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？(棒长为棒长为L、球半径为球半径为R）2113LLJm L225ooJm R2220000()LJJmdJm L R22212()35LooJm Lm RmLRLmOm棒的转动惯量：棒的转动惯量：球的转动惯量：球的转动惯量：根据平行轴定理根据平行轴定理图示刚体的转动惯量为：图示刚体的转动惯量为：讨论：影响刚体转动惯量的因素讨论：影响刚体转动惯量的因素1）刚体的质量：）刚体的质量：形状、大小相同的均匀刚体，形状、大小相同的均匀刚体，总质量越大，转动惯量越大。总质量越大，转动惯量越大。2MJr dm2）刚体的质量分布：）刚体的质量分布：总质量相同的

22、刚体，质总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动量分布离轴越远，转动惯量越大。惯量越大。例：圆环例：圆环 J=mR2, 圆盘圆盘 J=1/2mR22MJr dm3）刚体转轴的位置）刚体转轴的位置:同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量也就不同。就不同，因而转动惯量也就不同。ABL/2L/2CX2211,123CAJmL JmL2mdJJCA例：平行轴定理例：平行轴定理一些常见的均匀刚体的转动惯量一些常见的均匀刚体的转动惯量刚体形刚体形状状转轴位置转轴位置转动惯量转动惯量细杆细杆沿环直径沿环直径通过环心垂直于环面通过环心垂直于环面213JmL2J

23、mR薄圆盘薄圆盘(圆柱体圆柱体)通过中点垂直于杆通过中点垂直于杆通过一端垂直于杆通过一端垂直于杆2112JmL212JmR薄圆环薄圆环(筒筒)沿盘直径沿盘直径通过盘心垂直于盘面通过盘心垂直于盘面212JmR214JmR一些常见的均匀刚体的转动惯量一些常见的均匀刚体的转动惯量刚体形刚体形状状转轴位置转轴位置转动惯量转动惯量沿切线沿切线通过球心通过球心225JmR薄球壳薄球壳圆柱体圆柱体通过中心垂直于几何轴通过中心垂直于几何轴221142JmRmL275JmR球体球体沿直径沿直径223JmR212JmR沿几何轴沿几何轴5.2 转动定律转动定律这一物理过程的规律由牛顿第二定律来表示。这一物理过程的规

24、律由牛顿第二定律来表示。Fma在质点运动中，力是引起质点运动状态变化的原在质点运动中，力是引起质点运动状态变化的原因，力的作用使质点获得了加速度。因，力的作用使质点获得了加速度。在刚体转动中，力矩是引起刚体转动状态变化在刚体转动中，力矩是引起刚体转动状态变化的原因，力矩的作用使刚体获得了角加速度。的原因，力矩的作用使刚体获得了角加速度。这一物理过程的规律由刚体转动定理来描述。这一物理过程的规律由刚体转动定理来描述。问问题题刚体转动定理的表达式是什么样的？与牛刚体转动定理的表达式是什么样的？与牛顿第二定律有无相似之处？顿第二定律有无相似之处？OZ刚体转动的动能定理：刚体转动的动能定理：21222

25、11122MdJJ取其微分形式：取其微分形式：212MddJJd 要得到角速度与角加速度，等式两端同除以要得到角速度与角加速度，等式两端同除以dt。ddMJdtdt,dddtdtMJ刚体所受的刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体等于刚体对此转轴的转动惯量对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。获得的角加速度的乘积。 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律比比较较 数学形式上相似，数学形式上相似，M与与F相对应，相对应，J与与m相对应，相对应， 与与a相对应。相对应。刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律：MJ牛顿第

26、二定律：牛顿第二定律：Fma 由牛顿第二定律可知：由牛顿第二定律可知：相同相同F 作用下，作用下，m较大的质较大的质点，点，a小，其运动状态不易改变，惯性大；小，其运动状态不易改变，惯性大；m较小较小的质点的质点，a大，其运动状态易改变，惯性小。大，其运动状态易改变，惯性小。由刚体的定轴转动定律可得出类似结论：由刚体的定轴转动定律可得出类似结论：相同相同M作用下，作用下，J 较大的刚体，获得的较大的刚体，获得的 小，其转动状态小，其转动状态易改变，转动惯性大；易改变，转动惯性大；J 较小的刚体，获得的较小的刚体，获得的 大，大，转动状态易改变，转动惯性小。转动状态易改变，转动惯性小。J表示刚体

27、在转动过程中表现出来的惯性。表示刚体在转动过程中表现出来的惯性。一个外径和质量相同的实心圆柱与一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若空心圆筒，若 受力和力矩一样，受力和力矩一样，谁转动得快些呢？谁转动得快些呢？ZZMJMMJ J 相对较大，相对较大， 相相对较小，转动较慢对较小，转动较慢?质量分布影响演示实验质量分布影响演示实验注注意意如何求力对轴的力矩？如何求力对轴的力矩？如图可将力分解为如图可将力分解为两个力，只求那个两个力，只求那个垂直于轴的力的力垂直于轴的力的力矩就可以了。矩就可以了。ZFF F ZMr力对轴的力矩实际上力对轴的力矩实际上是力矩沿轴的分量。是力矩沿轴的分量。例、一质

28、量例、一质量m1为的物体绕在一半径为为的物体绕在一半径为r质质量为量为m2的圆盘上的圆盘上,开绐时静止开绐时静止,求重物的加求重物的加速度、绳中的张力和速度、绳中的张力和t 时刻重物下降多高时刻重物下降多高? (绳的质量与轴上的摩擦力不计绳的质量与轴上的摩擦力不计).rm2m1rm2m1m1grm2gTT N已知已知: : m1 、m2、r求：求：a、T、h解：解：如图建立坐标。如图建立坐标。a+ +ar受力分析：受力分析：如图所示如图所示列方程求解：列方程求解：T r =J T=T 221mrJ 对物体用牛顿第二定律对物体用牛顿第二定律对圆盘，由刚体定对圆盘，由刚体定轴转动定律：轴转动定律：

29、2212rTm r根据滑轮与物体间的运动学关系，有：根据滑轮与物体间的运动学关系，有：yZ11 - mgTma3个未知量个未知量a, ,T，3个方个方程，联立求解可得：程，联立求解可得：ar2212rTm r11 - m gTm a112112121222222m gammm gmmrm m gTmm221ath m1gt22m1+m2=a等于常数且初速为零等于常数且初速为零!t 时刻重物下降高度为：时刻重物下降高度为：例例2、一静止刚体受到一不变力矩、一静止刚体受到一不变力矩M0（N.m)的作用的作用, ,同时引起一阻力矩同时引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比与刚体转动的角速度

30、成正比, ,即即|M1|=k (k为常数为常数) )。又已知刚体对转轴。又已知刚体对转轴的转动惯量为的转动惯量为J J, ,试求刚体角速度的变化试求刚体角速度的变化规律。规律。M+M0M1J求：求： （t t）= =？解：解：1 1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2 2）分析受力矩）分析受力矩3 3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4 4）列方程：）列方程：01MMJM+M0M1J已知：已知：M0M1= k J |t=0=0求出求出 即可求出即可求出 0MkJ1Mk 0MkddtJ0ddtMkJ000tddtMkJ01(1)ktJMek分离变量分离变量两端积分两端积分5.4 刚体的角

31、动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒刚体是一种特殊的质点系，它绕定轴转动，当然应该刚体是一种特殊的质点系，它绕定轴转动，当然应该具有角动量。具有角动量。回回顾顾角动量：角动量：( ,);sinsinr FLrP LrPrmv做匀速圆周运动的质点对其圆心的角动量大小为：做匀速圆周运动的质点对其圆心的角动量大小为：Lmrv角动量定理：角动量定理：dLMdt角动量守恒定律：角动量守恒定律：0,ML则则常常矢矢量量力矩：力矩：( ,);sinr FMrF MrFrF一、刚体的角动量及其沿定轴的分量一、刚体的角动量及其沿定轴的分量刚体可看作质点系刚体可看作质点系, , 角动量等于各质元角动量矢量和角

32、动量等于各质元角动量矢量和以角速度以角速度 绕绕OZ轴旋转的均匀细轴旋转的均匀细棒棒, , 将棒分割成许多质元。将棒分割成许多质元。nimmmm21,OZ mi ii iiLmrv iriL任一任一mi 对对O点的角动量为：点的角动量为：iv irii iiLmrv i iiLmrv L故棒的总角动量故棒的总角动量 的大小为：的大小为：由由O到质元到质元mi的距离的距离iv miiriL mj jLjvOZLjriR 方向如图，可见角动量不一方向如图，可见角动量不一定与定与Z轴方向相同。轴方向相同。i iiLmrv L棒的总角动量棒的总角动量 的大小为：的大小为：我们感兴趣的是研究定轴转动我们

33、感兴趣的是研究定轴转动,即即要研究角动量在要研究角动量在Z轴的分量轴的分量2()ziziiLLm Rcoscosizii iiLLmrv 2iZiiLmR iZii iLmRv 质元质元mi到转轴的到转轴的距离距离cosiirRiivR2i imrJZLJ作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴的转动作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴的转动惯量与角速度的乘积。惯量与角速度的乘积。izLiv二、刚体对定轴的角动量定理二、刚体对定轴的角动量定理根据刚体定轴转动定律：根据刚体定轴转动定律：MJddtd JddLMJdtdtdt刚体所受的刚体所受的对转轴的合外力矩对转轴的合外力矩

34、等于刚体等于刚体对转轴角对转轴角动量动量的变化率。的变化率。注注意意dLMdt比比MJ更具遍性。更具遍性。例如，当物体的转动惯量不是常量时，例如，当物体的转动惯量不是常量时，MJ不再适用，而不再适用，而dLMdt仍有效。仍有效。三、刚体对定轴的角动量守恒三、刚体对定轴的角动量守恒在定轴转动中，如果刚体所受外力对转轴的合力矩在定轴转动中，如果刚体所受外力对转轴的合力矩为零时，刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。为零时，刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。即：即：00dLMLJdt时时, ,恒恒量量刚体对定转轴的角动量守恒定律刚体对定转轴的角动量守恒定律实例：实例：定轴转动角动量守恒定轴转动角动量

35、守恒1定轴转动角动量守恒定轴转动角动量守恒2例例1、一根长、一根长l，质量为，质量为M的均匀直棒，其一的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹，质量为今有一子弹，质量为m，以水平速度，以水平速度v0 射入射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。动时的角速度。分析分析：棒是刚体，不能用质点水平动棒是刚体，不能用质点水平动量守恒来计算，要用角动量计算。量守恒来计算，要用角动量计算。从子弹进入棒到二者开始一起运动所从子弹进入棒到二者开始一起运动所经过的时间极短，在这一过程中棒的经过

36、的时间极短，在这一过程中棒的位置基本不变，仍保持竖直。因此，位置基本不变，仍保持竖直。因此，在子弹冲入过程中，系统所受的外力在子弹冲入过程中，系统所受的外力（重力和轴的支持力）对轴（重力和轴的支持力）对轴O的力矩都的力矩都为零，系统对轴为零，系统对轴O的角动量守恒。的角动量守恒。Ov0vm解：解：以以v 和和 分别表示子弹和棒一起开始分别表示子弹和棒一起开始运动时，棒端点的速度和角速度。以垂运动时，棒端点的速度和角速度。以垂直纸面向外为直纸面向外为Z 轴（转轴轴（转轴O）正向。）正向。根据角动量守恒：根据角动量守恒：初态系统角动量为：初态系统角动量为：00Lmlv子弹对子弹对O轴的轴的角动量，

37、棒角角动量，棒角动量为零。动量为零。解得：解得：末态系统角动量为：末态系统角动量为：2213LmlvJmlMl棒棒对对O轴的轴的角动量角动量22013mlvmlMl033vmmMlOv0vmxROMm例例2、一个质量为、一个质量为M，半径为，半径为R的水平均匀的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘缘上站着一个质量为在盘缘上站着一个质量为m 的人，二者最的人，二者最初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走初都相对地面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转过的角度多大？一周时，盘对地面转过的角度多大？分析：分析：对盘和人组成的系统，对盘和人组成的

38、系统，人在走动时系统所受的对竖人在走动时系统所受的对竖直轴的外力矩为零（摩擦力直轴的外力矩为零（摩擦力是内力），系统对此轴的角是内力），系统对此轴的角动量守恒。可利用角动量守动量守恒。可利用角动量守恒定律求解。恒定律求解。解：解：初态系统角动量为零。初态系统角动量为零。以以 j 和和 J 分别表示人和盘对转轴的转动惯量，以分别表示人和盘对转轴的转动惯量，以 和和 W W 分别表示任一时刻人和盘的角速度。根据角动量守恒，分别表示任一时刻人和盘的角速度。根据角动量守恒，任一时刻系统角动量为：任一时刻系统角动量为：以以 和和Q Q分别表示人和盘对地分别表示人和盘对地面发生的角位移，则有：面发生的角位

39、移，则有：人可视为质点，对轴的转动惯量为：人可视为质点，对轴的转动惯量为：22i ijmrmR盘对轴的转动惯量为：盘对轴的转动惯量为：212JMR,dddtdtQW 0jJW . . 将这些量代入将这些量代入式可得：式可得：2212ddmRMRdtdtQ两边同乘两边同乘dt并积分并积分220012mR dMR dQQ12mMQ2pQ222mmMpQ 2pQQ人人相相对对于于盘盘直直了了一一周周, ,而而盘盘反反向向走走了了 , ,所所以以人人实实际际相相对对于于地地面面参参考考系系走走了了例例3、如图所示的宇宙飞船对于其中心轴的转动、如图所示的宇宙飞船对于其中心轴的转动惯量为惯量为J=5103

40、 kgm2，正以，正以 =0.1 rad/s的角的角速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向的控速度绕中心轴旋转。宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是线距离都是r=1.5m，两喷管的喷气流量恒定，两喷管的喷气流量恒定，共是共是q=2 kg/s。废气的喷射速率。废气的喷射速率(相对飞船周边相对飞船周边) u=50 kg/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。才能使飞船停止旋转。-u-uLgL0 r-u-uLgL0 r分析：分析：废气是从飞船中喷废气是从飞船中喷射出来的，若以飞船

41、和废射出来的，若以飞船和废气为系统，则系统外力气为系统，则系统外力(引引力力)对其中心轴的力矩为零对其中心轴的力矩为零,系统角动量守恒。系统角动量守恒。飞船飞船绕中心轴转动绕中心轴转动,角动量角动量L0=J 。喷出废气。喷出废气后后,废气具一定角动量。因系统废气具一定角动量。因系统L守恒，守恒，L废气废气则则L飞船飞船，当，当L飞船飞船全部转化为全部转化为L废气废气时，飞船时，飞船停止转动。停止转动。废气角动量如何实现增加呢？废气角动量如何实现增加呢？-u-uLgL0 r在喷气过程中，以在喷气过程中，以dm表示表示dt时时间内喷出的气体，这些气体对间内喷出的气体，这些气体对中心的角动量为：中心

42、的角动量为：废气的速度废气的速度u的方向为飞船周边切线方向上，故的方向为飞船周边切线方向上，故rv。dLdm ruv dm的废气产生的角动量为：的废气产生的角动量为：LrpLr mv 飞船周边速率，飞船周边速率，v= r在整个喷射过程中，喷出的废气的总角动量应为：在整个喷射过程中，喷出的废气的总角动量应为：由于由于uv，所以，所以dLdm ru0mgLdm rumru废气角动量的增加靠废气量的增加来实现。飞船每秒废气角动量的增加靠废气量的增加来实现。飞船每秒喷喷2废气，只要知道所需废气总量，就可求出所需废气，只要知道所需废气总量，就可求出所需时间。时间。-u-uLgL0 r解：以废气和飞船作为

43、系统。解：以废气和飞船作为系统。系统对中心轴的外力矩为零，系统对中心轴的外力矩为零，系统角动量守恒。系统角动量守恒。初态：初态：废气质量远小于飞船质量，故原来系统对飞船废气质量远小于飞船质量，故原来系统对飞船中心轴的角动量近似等于飞船自身的角动量。中心轴的角动量近似等于飞船自身的角动量。末态：末态：0LJ飞船角动量为零，系统角动量等于废气角动量。飞船角动量为零，系统角动量等于废气角动量。gLmru根据角动量守恒，有：根据角动量守恒，有：JJmrumru所求时间为：所求时间为： 35 100.13.32 1.5 50mJtsqqru例例4、如图所示，一根长、如图所示，一根长l，质量为，质量为m的

44、均匀杆的均匀杆静止在一光滑水平面上。这的中点有一竖直静止在一光滑水平面上。这的中点有一竖直光滑固定轴。一个质量为光滑固定轴。一个质量为m 的小球以水平速的小球以水平速度度 v0 垂直于棒冲击其一端并粘上。求碰撞后垂直于棒冲击其一端并粘上。求碰撞后球的速度球的速度 v 和棒的角速度和棒的角速度 以及由此产碰撞而以及由此产碰撞而损失的机械能。损失的机械能。vOl0vm解：以棒和球为系统。对于轴解：以棒和球为系统。对于轴O，碰撞过程中外力矩为零，角动量碰撞过程中外力矩为零，角动量守恒。守恒。初态：初态：末态：末态：00,2lLLmr vmv棒棒球球221,1212 24LJmlllLmr vmml棒

45、球由系统角动量守恒可得：由系统角动量守恒可得：2201112124mlvmlml解得：解得：0323mvlvrmm063mvmm lvOl0vm由碰撞而损失的机械能为由碰撞而损失的机械能为(势能不变，故不考虑势能不变，故不考虑)：初态机械能：初态机械能：机械能的损失为：机械能的损失为：222202222002011 1122 124611 1122 1243132Emvmlmlmvmvmlmlmm lmmvmm 200,2lEEmv K K棒棒K K球球 222211,1224lJmlJr dmmml棒棒球球末态机械能：末态机械能：2211,22EJEJK K棒棒棒棒K K球球球球例例4、求一

46、质量为、求一质量为m 的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。为轴的转动惯量。解：一球绕解：一球绕Z轴旋转，离球轴旋转，离球心心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆的薄圆盘。其半径为：盘。其半径为：22ZRrdZZRdZrdV)(222ppdZZRdVdm)(22pdZZRdmrdJ2222)(2121p其体积为：其体积为：其质量为：其质量为：其转动惯量为：其转动惯量为：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRRp334RmpdJJRRdZZR222)(21pYXZORrd ZdZZR222)(21p例例1、一根长为、一根长为l、质量为质量为m的均匀细直棒

47、，的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆求它由此下摆 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度，这时棒受轴的力的大小、方向各如何？这时棒受轴的力的大小、方向各如何？ Ogdmdmldl F受力分析：根据题意，棒受轴受力分析：根据题意，棒受轴的力不能忽略，所以棒受两个的力不能忽略，所以棒受两个力：自身的重力和轴对它的作力：自身的重力和轴对它的作用力。用力。棒下摆至棒下摆至 时的角加速度时的角加速度细棒对转轴的转动惯量：细棒对转轴的转动惯量：213Jml只

48、需求出合外力矩只需求出合外力矩M，即可求出角加速度。由于轴对，即可求出角加速度。由于轴对细棒的作用力的作用点在转轴上，所以此力对转轴不细棒的作用力的作用点在转轴上，所以此力对转轴不产生力矩，细棒所受外力矩为重力对转轴产生力矩，细棒所受外力矩为重力对转轴O的力矩。的力矩。分析：分析： Ogdmdmldl FM J根据刚体定轴转动定理：根据刚体定轴转动定理：MdMx dm ggxdmM r FdM x dm g 根据质心的定义：根据质心的定义：如图建立坐标。取棒上一质量为如图建立坐标。取棒上一质量为dm的的质元质元。当棒下摆至。当棒下摆至 时，它时，它所受的重力对轴所受的重力对轴O的力矩为：的力矩

49、为：质元质元dm对对轴轴O的的水水平坐标平坐标整个棒受的重力对轴整个棒受的重力对轴O的力矩应为：的力矩应为：ccxdmxxdmm xm质心的水质心的水平坐标平坐标细棒质心在其中点细棒质心在其中点1cos2cxl1cos2Mmgl所以有：所以有：可得：可得：cMmgx21cos3cos2123mglgMJlml可得：可得： Ogdmdmldl Fxxy棒下摆至棒下摆至 时的角速度时的角速度分析：分析：角加速度角加速度 不是个恒量，而是个与不是个恒量，而是个与 有关有关的变量，不能直接用来求角速度。同时，力矩作的变量，不能直接用来求角速度。同时，力矩作用的细节和时间我们都不知道，只能尝试用守恒用的细节和时间我们都不知道，只能尝试用守恒律来求解