第4讲 事件的独立性2016

1、高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(四) 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民本章学习要求： 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义. 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算. 掌握概率的基本性质及概率加法定理. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理. 了解事件的独立性概念. 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法.第一章 随机事件及其概率第四节 事件的独立性一、事件的独立性二、伯努利概型三、系统的可靠性一、事件的独立性 | |ABP ABP B AP AP ABP AP B A在上一节我们知道了条件概率这个概念，在已知事件 发生的条件下， 发生的可能性为条件概率（）（

2、）（ ）由此得到了一般地概率乘法公式：（） （ ）（） 问题问题什么样地情况呢？地影响，那么会出现了是否发生发生与否不受事件如果事件AB 得正品”，那么为事件“第二次取品”，为事件“第一次取得正中，设回这批产品如果第一次抽取后仍放产品，每次任取一件。次抽取品率的产品中，接连两例如，在一批有一定次BA ）（）（）（乘法公式成为BPAPABP ）（）（ABPBP| .由此引入下述定义. 2| ,| ,. 0 0 1不受任何事件的影响）的发生与否、与任一事件相互独立（、）（）（）（）（则相互独立，事件）（，）（当APBAPBPABPBABPAP相互独立。与则称事件），（）（）（满足、若事件BABPA

3、PABPBA 例1求敌机被击中的概率。乙击中敌机地概率为为机的概率机炮击，已知甲击中敌甲、乙各自同时向一敌. 5 . 0, 6 . 0 . 8 . 03 . 05 . 06 . 0 3 . 05 . 06 . 0 ）（于是）（）（）（的，因此有个随机事件是相互独立敌机”这两击中敌机”与“乙击中根据题意可以认为“甲CPBPAPABP. 为事件“敌机被击中”；为事件“乙击中敌机”；为事件“甲击中敌机”设CBA由加法公式知解解）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP 相互独立。，则称事件）（）（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（有、如果两独立），两两相互独立（也称两，则称事件）（

4、）（）（），（）（）（），（）（）（为三个事件，如果，设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA. . 推推 广广个相互独立的事件。是，成立，则称（都有式和任意的一组（的个事件。如果对于任意是，设nAAAAPAPAPAAAPniiinKKnAAAniiiiiiknkk21)2121)()()( 1)1 12121相互独立。，两两独立，不能得到两两独立；，相互独立，则nnnnAAAAAAAAAAAA21212121, 223010nn21(1 1)121nnninnnnnninCCCCCCnn 代表个等式不相

5、互独立）。者都相互独立，或者都件或相互独立（即这四对事立的，则另外三对也是中有一对是互相独、；、；、若四对事件BABABA 也相互独立。、即证得）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（故）（）（）（相互独立，所以有、因为其余请读者自行证明。也相互独立”、相互独立时、这里仅证明“当BABPAPBPAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAPBPAPABPBABABA11 1 1 1 ., 证证推广推广独立。个事件仍然相互对立事件，则所得事件相应地换成它们的个（相互独立。若其中任意nnmmAAAAn)1, , 321事件独立性的判断 实际应用中，往往根据经验来判断两个事件

6、的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.例2一台发生故障的概率。，求它们中至少有和正常工作的概率分别为床着，第一台、第二台机设两台机床独立地运转93. 0720 .正常工作。台机床分别表示第一台、第二，则障的事件为，第二台发生故的事件为设第一台机床发生故障2121 AAAA.07. 093. 01)(1)2(,28. 072. 01)(1)(211APAPAPAP相互独立。，故由于两台机床独立运转故障”，则表示“至少有一台发生用2121 AAAACC解解解法1.3304. 007. 028. 007. 028. 021212121）（）（）（）（）（）（）（）（由加法公式APA

7、PAPAPAAPAPAPCP解法23304. 093. 072. 01111, 212121212121）（）（）（）（）（独立，于是也相互，相互独立，故APAPAAPCPCPAAAAAAAAC 结结 论论(1) 若A、B、C 相互独立，则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立. (3) n个事件相互独立，则其中任意m个事件的对立事件与剩余事件的组合仍是相互独立的则另外三对相互独立。其中任一对相互独立，与与与与,)2(BABABABA 结结 论论 在实际应用中, 对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断. 一般, 若由实际情况分析, A,B两事件之间没有关联或关联很微

8、弱, 那就认为它们是相互独立的. 例如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认为A,B相互独立了. 两事件相互独立的含义是它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率. 除非两个事件之一的概率为0,否则两个相互独立的事件A与B通常是相容的, 这是因为P(AB)=P(A)P(B)不为零. 计算相互独立事件的交的概率通常是好算的, 只须将它们各自的概率相乘即可. 但经常也要计算到相互独立事件的并的概率, 这时候或者可以用加法定理, 即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(

9、A)P(B) 结结 论论 如果是要求多个相互独立的事件的并的概率, 也可利用狄.摩根定理将事件的并转换为事件的交, 也就是考虑事件的逆的概率.)B)P(AP()BAP(B)P(A11)AP()A)P(AP()AAAP()AAP(Annn21212111,ABABABAB对偶律（对偶律（De MorganDe Morgan律）律）： 经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加法定理, 尤其常用的是三个事件的并的加法法则,例如, 常见的求AB+CD+EF 的概率, 则P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDE

10、F)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F 相互之间独立, 则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 一种常见的题型, 就是假设事件A,B,C 相互独立, 但是问其中至少两件发生的概率, 或者至少两件不发生的概率.而A,B,C 至少两件发生的事件为P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC) - P(ABC)+P(ABC) AB+AC+BC =P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC) = P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(

11、C)-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C 至少两事件不发生的事件为.2 2 )C)P(B)P(AP()C)P(BP()C)P(AP()B)P(AP()CBAP()CBP()CAP()BAP()CBCABAP(因此CBCABA二、伯努利概型等价方式 将试验重复进行n 次,如果每次试验的结果都互不影响,即各次试验结果相互独立,则称这n次重复试验是n次重复独立试验.如果在n次重复独立试验中,每次试验的结果只有两个: , 1 (01),.AAP Ap P APPnn 和 ，且则称这 次重复独立的试验为 重伯努利试验，简称伯努利概型 问题问题 ).0(nkkPkAnPAn次的概率恰好出现次重复独立试

12、验中事件要计算，出现的概率为设每个试验中事件（对于伯努利概型）， : ),210()1 (. 1 1 因此有下面定理理种出现方式，按加法定组合计算法可知应有次出现，按次，不考虑在哪试验中出现在于只考虑由应该次试验中不出现的概率现而其余次试验中出在指定的这次试验的独立性，首先，由n、kPPCkPCkknApPnkAnknkknnknknk 在n重伯努利试验中,如果事件A在每一次试验中发生的概率为P(0p1),则事件A在n次重复试验中恰好发生k次的概率为项概率公式。项，所以上述公式称二按二项公式展开式的各恰好是由于nknkknppnkppC1), 2 , 1 , 0()1 ( pqnkqpCkPk

13、nkknn1 )., 2 , 1 , 0(其中n 重伯努里试验成功的次数 在n 重伯努里试验中，记事件A出现的次数为X. X 的可能取值为： 0，1，n. X 取值为 k 的概率为：knkknppCkXP)1 ()(例3 一批产品中有20%的次品.进行重复抽样检查,共有五件样品.计算这五件样品中恰好有三件次品、至多有三件次品的概率.解解按概率公式，得三件次品。现在，两件一件有零件依次为五件样品中恰好设2 . 05 3210、pn、A、A、AA 9933. 00512. 02048. 04096. 03277. 08 . 02 . 0323458 . 02 . 02458 . 02 . 058

14、. 032102334555553210PPPPAAAAP ;0512. 0)8 . 0()2 . 0(3233553CPAP一条自动生产线上产品的一级品率为0.6, 现检查了10件, 求至少有两件一级品的概率. 设B为事件至少有两件一级品. 此为n=10 重伯努利试验, 事件A (抽到一级品) 的概率 p=0.6998040601040110119101010.)(p)(p)BP(P(B)例4解解 一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性. 由元件组成的系统正常工作的概率称为系统的可靠性. 系统的可靠性由系统的元件的可靠性及其联接方式决定. 1ana2a 以下假设各元件正常工作与否是相互独立

15、的，记Ai“表示元件ai正常工作”设 用Bi表示“元件bi正常工作”，设P（Bi）= si .nirAPii, 2 , 1,)( 串联系统由n个元件串联而成，故只要一个元件失效，系统就不正常工作，所以该系统可靠性为1串联系统nnrrrAAAPP21211)(特别地，当时 ， .rrrrn21nrP 1 2并联系统 并联系统由n 个元件并联而成, 只要有一个元件正常工作，系统就不会失效，于是串联系统的可靠性为).1 ()1)(1 (1)(1)(1)(22121212nnnnrrrAAAPAAAPAAAPP特别地，当 时， .rrrrn21nrP)1 (121a2a3a3串并联系统 设有2n个元件

16、组成一个系统，它是由2条串联子系统并联而成. 它正常工作时，要求两条串联支路至少有一条正常工作，用A、B分别表示两条支路工作正常，则P（A）=P（A1A2An）= ,P（B）=P（B1B2Bn）= . nrrr 21nsss21).1)(1 (1)(1)(1 (1)()(1)(1)(1)(21213nnsssrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPP因此系统的可靠性为1ana2a1bnb2b特别地，当r1= r2 = = rn = s1= = sn = r 时，)2()1 (123nnnrrrP显然 ，可见并联可使可靠性提高，但元件数量增大. 13PP 4并串联系统 设有2n个元件组成一个系统

17、. 记Ci表示“元件ai和bi至少有一个工作正常”，即Ci = Ai Bi , 则).1)(1 (1)()(iiiiisrBAPCP2a2b1a1bnanb所以，系统的可靠性为.)1)(1 (1 )()()()(12114niiinniisrCPCPCPCPP特别地，当 时（1in）， .rsriinnrrP)2(4 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性. 如图, 设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接. 设第i个元件的可靠性为pi(i=1,2,3,4), 求系统的可靠性.1234例5 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i个元件正常工作, 以A

18、表示系统正常工作.P(A)=P(A1A2)+P(A3A4) - P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4) - p(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1 p2+p3 p4 -p1 p2 p3 p4由系统的独立性, 得系统的可靠性:A=A1A2 A3A4伯努利家族伯努利家族 伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。雅科布雅科布伯努利伯努利（Jakob Bernoulli,1654170

19、5)。巴塞尔大学教授。变分法的创始人之一。曾和莱布尼茨共同获得过微积分学的不少结果，对常微分方程的积分法有贡献，也是概率论的早期研究者，提出了关于大数法则的伯努利定理及伯努利数。 约翰约翰伯努利伯努利（Johann Bernoulli，16671748）。雅科布的弟弟。巴塞尔大学的医学博士。历任荷兰格罗宁根大学和巴塞尔大学教授。也是变分法的创始人之一。在微积、微分方程、几何和力学方面有贡献。丹尼尔丹尼尔伯努利伯努利(Daniel Bernoulli,17001782)。约翰的次子。巴塞尔大学医学博士。曾去俄国彼得堡科学院任教，回国后任巴塞尔大学教授。在流体力学、气体动力学、微分方程和概率论等方

20、面都有贡献。1738年出版流体动力学一书，提出的著名的伯努利定理。他解决的微分方程现称为伯努利方程。 雅可布的弟弟约翰伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）原来也错选了职业，他起先学医，并在年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。我们都知道极限论中有一个“罗比塔法则”，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704)是约翰的一个学生，在年约

21、翰把自己发现的“罗比塔法则”写信告诉了罗比塔，罗比塔将这一法则写进了自己的著作无穷小分析中了。 雅可布和约翰两兄弟有时致力于研究同一个问题，但是由于彼此嫉妒和易于激动，这一情况是很遗憾的。有时两人之间的摩擦爆发成为公开的嫉恨诟骂。年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解

22、答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉和拉格朗日发明了这一类问题的普遍解法，引出了一个数学的新分支变分学。 由于解决“最速降线”问题，兄弟两个因为解法的优劣而争论不休，两人之间的口角纷争达数年之久，其所用言辞之粗野很像市井上的对骂而非科学讨论。这两人之中约翰的脾气似乎更坏，因为多年之后，由于他的二儿子获得了他自己渴望获得的法兰西科学院奖金，约翰竟把他摔出窗外。他的二儿子叫做丹尼尔。伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）起初也像他父亲一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。

23、他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金次之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。 伯努利家族在整个欧洲渐渐出了名，连远在东方俄罗斯的沙皇也有所耳闻。当时文治武功的沙皇喀得林一世正在试图振兴俄罗斯，急需各种优秀人才来俄罗斯工作。年，约翰的两个儿子尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli 1695-1726）和丹尼尔同被沙皇邀请赴彼得堡去。约翰的一个得意门生欧拉也被丹尼尔推荐去了彼得堡。尼古拉在那里提出了一个概率论的问题，后来以“彼得堡问题”闻名于世。可惜的是他在次年就以韶华年光死在那

24、里。岁的丹尼尔在那里解决了黎卡提方程的解。并发表了一系列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。 1、甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛, 已知甲的命中率为0.9, 乙的命中率为0.8, 丙的命中率为0.7, 现每人各投一次, 求:(1)三人中至少有两人投进的概率;(2)三人中至多有两人投进的概率.解: 设A=甲投进, B=乙投进, C=丙投进则三人中至少两人投中的事件为AB+AC+BC三人中至多有两人投进的事件为ABC课堂练习因此0.4960.50410.70.80.91C)P(A)P(B)P(1P(ABC)1)ABCP(2)0.9021.0081.911.0080.560.630.720.70.80.920.70.80.70.90.80.9(C)2P(A)P(B)PP(B)P(C)P(A)P(C)P(A)P(B)2