第4章正弦交流电路

1、 ti10正弦波正弦波正弦交流电路是指含有正弦电源正弦交流电路是指含有正弦电源(激励激励)而且电路各部分而且电路各部分所产生的电压和电流所产生的电压和电流(响应响应)均按正弦规律变化的电路。均按正弦规律变化的电路。 ti0正弦电压和电流正弦电压和电流 t I、 U0直流直流 电路图上所标的方向均为电压、电流电路图上所标的方向均为电压、电流的的,即代表正半周时的方向。即代表正半周时的方向。实际实际方向方向Rui+Rui+ 正弦量的三要素正弦量的三要素 幅值幅值 初相位初相位 频率频率 i= Imsin( t+ i)T周期周期T：正弦量变化：正弦量变化一周所需要的时间一周所需要的时间角频率角频率

2、=T2 i0tTT/2 t2 = 2 f频率频率 f =T1例：我国和大多数国家的电力标准频率是例：我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。试求其周期和角频率。解：解： T =1f=0.02S = 2 f =314rad/s是交流电任一时刻是交流电任一时刻的值。用小写字母表示如的值。用小写字母表示如i,u,e分别表示电流、电压分别表示电流、电压电动势的瞬时值。电动势的瞬时值。是交流电的幅值。是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。用大写字母加下标表示。如如Im、Um、Em。交流电流通过一个电阻时交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直在一个周期内消耗的电能与某直

3、流电流在同一电阻相同时间内消流电流在同一电阻相同时间内消耗的电能相等，这一直流电流的耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示。如大写字母表示。如I、U、E。i0Im t2 i= Imsin( t+ i)0Ti2dt1TI =Ri2dt=RI2T0TI = 2ImU = 2UmE = 2Em ti0 t=0时的相位角称为时的相位角称为初相位角或初相位初相位角或初相位i= Imsin( t+ )i= Imsin t正弦量所取计时起点不同，其初始值正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0)时的值及到时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。达幅

4、值或某一特定时刻的值就不同。i t0i0= 0i0= Imsin t和和( t+ )称为正弦量的称为正弦量的相位角或相位。相位角或相位。它表明正弦它表明正弦量的进程。量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量的若所取计时时刻不同，则正弦量的初相位不同初相位不同0 tiu= Umsin( t+ 1) ui = Imsin( t+ 2)两个同频率正弦量的相位角两个同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为之差或是初相角之差，称为相位差，用相位差，用 表示表示。 = ( t+ 1)( t+ 2)= 1 2u和和i的相位差的相位差当两个同频率的正弦量计时当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位起

5、点改变时，它们的初相位角改变，但初相角之差不变。角改变，但初相角之差不变。iu 2 1 图中图中 1 2u超期超期i 角角或称或称i滞后滞后 u 角角 ti0i1i2i3i1与与i3反相反相i1与与i2同相同相xy0t=t1, i(t1)= Imsin( t1+ ) t1+ t1 A t1AAA i= Imsin( t+ ) 有向线段长度是有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是时，与横轴的夹角是 ，以以 角速度角速度逆时针方向旋转，它在逆时针方向旋转，它在虚轴上的投影，虚轴上的投影，即为正弦电流的即为正弦电流的瞬时值瞬时值正弦量可用旋转有向线段表示正弦量可用旋转有向线段表示正弦量的相量表

6、示法就是用正弦量的相量表示法就是用复数复数来表示正弦量来表示正弦量0Im ti aA0 b+1+jr模模幅角幅角a=r cos b=r sin r= a2+b2 =arctanba cos +jsin =ej 由欧拉公式，得出：由欧拉公式，得出：A=a+jb=r(cos +jsin )=rej =r 代数式代数式三角式三角式指数式指数式极坐标式极坐标式复数在进行复数在进行加减加减运算时应采用运算时应采用代数式代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数在进行复数在进行乘除乘除运算时应采用运算时应采用指数式指数式或或极坐标式极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅

7、角，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。相加减。有向线段可用复数表示有向线段可用复数表示 = Ia +j Ib=I(cos +jsin )=Iej =I 最大最大值相量值相量有效有效值相量值相量0Im +1+jI IaIbI = Ia m +j Ibm=Im(cos +jsin )=Imej =Im Im相相量量图图相量是相量是正弦交流电的复数，正弦交流正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并电是时间的函数，所以二者之间并。正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量可以用可用复数表示，所以正弦量可以用复数复数来表来表示，称之

8、为示，称之为相量相量。用大写字母上打。用大写字母上打“”表示。表示。若已知若已知 i1= Im1sin( t+ i1)、 i2= Im2sin( t+ i2)，求求 i1 + i2解：（解：（1）用相量图法求解）用相量图法求解1j0 i1 i2ImIm1Im2 正弦电量正弦电量（时间函数）（时间函数）正弦量运算正弦量运算所求正弦量所求正弦量变换变换相量相量（复数）（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算（复数运算（复数运算)（2）用复数式求解）用复数式求解 电压与电流电压与电流同频率同频率、同相位同相位设设i = Imsin t 1.电压电流关系电压电流关系 电压与电流大小关系电压

9、与电流大小关系 U=R Iiu波形图波形图UI 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 U=RIRui+ t0相量图相量图+1+j0则则 u= R i = R Imsin t = Umsin t 瞬时功率瞬时功率 i = Imsin t u= Umsin t 平均功率平均功率 P =I U =RI2 2.功率功率Rui+u t0ip0 tP=U Ip= u i =UI(1 cos2 t)转换成的热能转换成的热能W=P t 设设 i = Imsin t0fXLXL=2 fLu= L Imcos t= Umsin( t+90 ) Um= Im L XL= L 感抗感抗= Im XLdidtu=

10、L 1.电压电流关系电压电流关系由由有有iu+L电感线圈对高频电流的阻碍作电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。用很大，而对直流可视为短路。 iu波形图波形图 t0U +1+j01.电压电流关系电压电流关系 电压超前电流电压超前电流90 i = Imsin tu= Umsin( t+90 )didtu= L iu+L相量图相量图I 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U=I XLjU I 电压与电流相量式电压与电流相量式 = XL波形图波形图2.功率功率iu+Lp = u i =UI sin2 t瞬时功率瞬时功率 i = Imsin tu= Umsin( t+90 )iu t

11、0p t0+当当u、 i同号时（同号时（i 增长）增长）p0 , 电感吸收功率；电感吸收功率； 当当u、 i异号时（异号时（i 减小）减小）p0 , 电容吸收功率；电容吸收功率； 当当u、 i异号时（异号时（u 减小）减小）p0，则电，则电压压超前电超前电流，流，电路呈电电路呈电感感性。性。若若 R时，电路中将出时，电路中将出现分电压大于总电压的现象。现分电压大于总电压的现象。(2)电路呈电阻性电路呈电阻性,电源供给电电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉，路的能量全部被电阻消耗掉，没有能量转换。没有能量转换。f0f0IU URUCUL 串联谐振曲线串联谐振曲线f00fII01I02容性容性感性感

12、性R2R1R2 R1 串联谐振电路的串联谐振电路的 品质因数品质因数QQ=|UC (或或 UL)|U表明电路谐振的表明电路谐振的程度，无量纲。程度，无量纲。UC= UL=QU = 0 LR=R 0 C1R1 L/C=0fII00.707I0f0f2f1通频带通频带f2 f1例：图示电路中，电感例：图示电路中，电感L2=250 H，其导线电阻，其导线电阻R=20 。1. 如果天线上接收的信号有三个，其频率：如果天线上接收的信号有三个，其频率：f1=820103Hz、f2=620103Hz 、f3=1200103Hz。要收。要收到到fi=820103Hz信号节目，电容器的电容信号节目，电容器的电容

13、C调变到多大？调变到多大？2.如果接收的三个信号幅值均为如果接收的三个信号幅值均为10 V，在电容调变到对，在电容调变到对f1发生谐振时，在发生谐振时，在L2中中产生的三个信号电流产生的三个信号电流各是多少毫安？各是多少毫安？对频率为对频率为f1的信号在的信号在电感电感L2上产生的电压上产生的电压是多少伏？是多少伏？L3L2L1C例：图示电路中，电感例：图示电路中，电感L2=250 H，其导线电阻，其导线电阻R=20 。解：解：1.C=150 pFL3L2L1C 1 C1 1 L2=要收听频率为要收听频率为f1信号的节目信号的节目应该使谐振电路对应该使谐振电路对f1发生谐发生谐振，即振，即2.

14、 当当C=150 pF， L2=250 H时，时， L2 C电路对三种信号电路对三种信号的电抗值不同，如下表所示的电抗值不同，如下表所示f/Hz8201036201031200103XLXCZI=U/ Z 12901290200.5 A100016606600.015189088510000.01UL=(XL/R)U =645 VL3L2L1C其它频率在电感上的电压不其它频率在电感上的电压不到到30 V，而对，而对f1信号则放信号则放大了大了64.5倍倍C=150 pF， L2=250 H电感线圈和电容器并联谐振电路电感线圈和电容器并联谐振电路= 2LC 1+j RCR+j LZ 1RCL C

15、+j( L1)由于由于 L R，所以，所以由此可得由此可得并联谐振频率并联谐振频率f0 12 LC 01LC 或或Z=1j C(R+j L)+(R+j L)1j CLRC+uii1iC并联谐振电路特征并联谐振电路特征(1) 阻抗模为阻抗模为(2) 电路呈电阻性。电路呈电阻性。(3)支路电流可能会大于总电流。支路电流可能会大于总电流。Z0=LRC比非比非谐振情况下阻抗要大，电谐振情况下阻抗要大，电流流I为最小值。为最小值。0fRf0Z0I所以并联谐振又称电流谐振。所以并联谐振又称电流谐振。Q =I1I0 0 CR1 L=R=Q值越大，谐振时阻抗模越大，选择性也就越强。值越大，谐振时阻抗模越大，选

16、择性也就越强。U I1ICI0功率因数低引起的问题功率因数低引起的问题有功功率有功功率 P=UNIN cos 功率因数功率因数1. 1. 电源设备的容量将不能充分利用电源设备的容量将不能充分利用2. 2. 增加输电线路和发电机绕组的功率损耗增加输电线路和发电机绕组的功率损耗I = U cos P在在P、U一定的情况下，一定的情况下， cos 越低，越低，I 越大损耗越大。越大损耗越大。情况下，情况下，cos 越低，越低，P越小，设备得不到充分利用。越小，设备得不到充分利用。P=UI cos P = r I 2电压与电流的相位电压与电流的相位差角差角(功率因数角功率因数角)在电源设备在电源设备U

17、N、IN一定的一定的提高提高功率因数的方法功率因数的方法已知感性负载的功率及已知感性负载的功率及功率因数功率因数cos 1 若要求把电路功率因数若要求把电路功率因数提高到提高到cos ，则应并联，则应并联电容电容C为为+uiiRLLRCiCI IcIRLU 1 Ucos I= PUcos 1IRL= PP=UIRLcos 1=UIcos Ic= IRLsin 1 Isin Psin Ucos 1Ic=Psin 1Ucos U P(tan 1 tan )=C = U 2P(tan 1 tan )Ic=UXc=U C例：某小水电站有一台额定容量为例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机，的

18、发电机，额定电压为额定电压为220V，额定频率，额定频率f=50Hz，今接一感性负，今接一感性负载载,其功率为其功率为8kW，功率因数，功率因数cos 1=0.6，试问：，试问：1. 发电机的电流是否超过额定值？发电机的电流是否超过额定值？2. 若要把电路功率因数提高到若要把电路功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？并联电容后，发电机的电流是多大？4. 并联电容后，发电机还可接多少只并联电容后，发电机还可接多少只220V、40W的灯泡？的灯泡？解：解：1. 发电机的实际电流发电机的实际电流I1UNcos 1I1= P=80002200.6=60.6A发电机额定电流发电机额定电流INUNIN=10000220=45.45ASN发电机的实际电流超过了发电机的实际电流超过了IN，不允许。不允许。解：解：2. cos 1=0.6 1=53.6o tan 1 =1.33 cos =0.95 =18.2o tan =0.329 C = U 2P(tan 1 tan )8000=314220(1.330.329)=526F3.